SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. Lý thuyết
I- Định nghĩa
Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II- Tính chất
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n \[\in \] N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n \[\in \] N ).
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
B. Bài tập minh họa
Dạng 1: Chứng minh là một số là số chính phương
|
Câu 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + \[{{y}^{4}}\] là số chính phương. |
Giải:
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + \[{{y}^{4}}\]
= (\[{{x}^{2}}\,+\,5xy+4{{y}^{2}})({{x}^{2}}\,+5xy\,+6{{y}^{2}})+{{y}^{4}}\]
Đặt \[{{x}^{2}}\,+5xy+\,5{{y}^{2}}\,=t\,\,\,\,\,\,\,\,(t\in Z)\] thì
A = (\[t-{{y}^{2}})(t+{{y}^{2}})\,+{{y}^{4}}={{t}^{2}}-{{y}^{4}}+{{y}^{4}}={{t}^{2}}={{({{x}^{2}}+5xy+5{{y}^{2}})}^{2}}\]
Vì x, y, z \[\in \] Z nên \[{{x}^{2}}\in Z,\,\,\,\,\,5xy\in Z,\,\,\,\,5{{y}^{2}}\,\in \,\,Z\,\,\,\Rightarrow \,{{x}^{2}}+5xy+5{{y}^{2}}\,\in \,Z\]
Vậy A là số chính phương.
|
Câu 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. |
Giải:
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n \[\in \] Z). Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (\[{{n}^{2}}\,+3n)({{n}^{2}}\,+3n\,+\,2)\,+\,1\,\,\,\,\,\,(*)\]
Đặt \[{{n}^{2}}\,+\,3n\,=t\,\,\,\,(t\,\in N)\] thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n \[\in \] N nên n2 + 3n + 1 \[\in \] N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
|
Câu 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương. |
Giải:
Ta có: k(k + 1)(k + 2) = \[\frac{1}{4}\]k (k + 1)(k + 2). 4= \[\frac{1}{4}\]k(k + 1)(k + 2). \[\left[ (k+3)-(k-1) \right]\]
= \[\frac{1}{4}\]k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - \[\frac{1}{4}\] k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.
Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
|
Câu 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương n2 + 2n + 12 |
Giải:
Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k \[\in \] N)
\[\Rightarrow \] (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 \[\Leftrightarrow \]k2 – (n + 1)2 = 11 \[\Leftrightarrow \] (k + n + 1)(k – n - 1) = 11
|
Câu 2: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương n(n + 3) |
Giải:
Đặt n(n + 3) = a2 (n \[\in \] N) \[\Rightarrow \] n2 + 3n = a2 \[\Leftrightarrow \] 4n2 + 12n = 4a2
\[\Leftrightarrow \](4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
\[\Leftrightarrow \] (2n + 3)2 – 4a2 = 9
\[\Leftrightarrow \](2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Dạng 3: Tìm số chính phương
|
Câu 1: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị. |
Giải:
Đặt \[\overline{abcd\,}\,=\,{{k}^{2}}\] ta có \[\overline{ab}-\overline{cd}=1\] và k \[\in \] N, 32 \[\le \] k < 100
Suy ra : 101\[\overline{cd}\] = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) \[\Rightarrow \] k + 10 \[\vdots \] 101 hoặc k – 10 \[\vdots \] 101
Mà (k – 10; 101) = 1 \[\Rightarrow \] k + 10 \[\vdots \] 101
Vì 32 \[\le \] k < 100 nên 42 \[\le \] k + 10 < 110 \[\Rightarrow \] k + 10 = 101 \[\Rightarrow \] k = 91
\[\Rightarrow \] \[\overline{abcd}\] = 912 = 8281
|
Câu 2: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. |
Giải:
Gọi số chính phương phải tìm là: \[\overline{aabb}\] = n2 với a, b \[\in \] N, 1 \[\le \] a \[\le \] 9; 0 \[\le \] b \[\le \] 9
Ta có: n2 = \[\overline{aabb}\] = 11. \[\overline{a0b}\] = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1)
Nhận xét thấy \[\overline{aabb}\] \[\vdots \] 11 \[\Rightarrow \] a + b \[\vdots \] 11
Mà 1 \[\le \] a \[\le \] 9; 0 \[\le \] b \[\le \] 9 nên 1 \[\le \] a + b \[\le \] 18 \[\Rightarrow \] a + b = 11
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương
Bằng phép thử với a = 1; 2;…; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn \[\Rightarrow \] b = 4
Số cần tìm là: 7744
|
Câu 3: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương. |
Giải:
Gọi số phải tìm là \[\overline{abcd}\] với a, b, c, d nguyên và 1 \[\le \] a \[\le \] 9; 0 \[\le \] b, c, d \[\le \] 9
\[\overline{abcd}\] chính phương \[\Rightarrow \] d \[\in \left\{ 0,\,1,\,4,\,5,\,6,\,9 \right\}\]
d nguyên tố \[\Rightarrow \] d = 5
Đặt \[\overline{abcd}\] = k2 < 10000 \[\Rightarrow \] 32 \[\le \] k < 100
k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 \[\Rightarrow \] k tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương \[\Rightarrow \] k = 45
\[\Rightarrow \] \[\overline{abcd}\] = 2025
Vậy số phải tìm là: 2025
C. Bài tập rèn luyện
Bài 1: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n \[\in \] N và n >1
không phải là số chính phương.
Bài 3: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.
Bài 4: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.
Bài 5 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
Bài 6 : Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.
Bài 7: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
Bài 8: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu.
