SỐ PHỨC
A/ Lý thuyết
1.Khái niệm số phức
a) Dạng đại
số: z = a + bi
Trong đó: $a,b\in R$ ,
a là phần thực, b là phần ảo
i
là đơn vị ảo, ${{i}^{2}}=-1$
- z là số thực
ó b = 0, z là số thuần ảo khi a = 0
- Số 0 vừa
là số thực, vừa là số ảo
- Hai số phức
bằng nhau: 
b) Dạng lượng
giác: $z=r(\sin \alpha +i\cos \alpha )$(r>0) là dạng lượng giác của z=a+bi
-$\varphi $
là một acgumen của z, $\varphi =(Ox,OM)$
-$\left| z
\right|=1\Leftrightarrow z=\cos \varphi +i\sin \varphi $ $(\varphi \in R)$
2. Biểu diễn hình học
Số phức z =
a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hay bởi $\overrightarrow{u}(a;b)$ trong mặt
phẳng phức
3. Cộng trừ nhân chia hai số phức
-
$(a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$
-
$(a+bi)-(a'+b'i)=(a-a')+(b-b')i$
-
$\overrightarrow{u}$
biểu diễn $z$ ,$\overrightarrow{u'}$ biểu diễn$z'$ thì $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'}$
biểu diễn $z+z'$ và $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u'}$ biểu diễn $z-z'$
-
$(a+bi)(a'+b'i)=(aa'-bb')+(ab'+ba')i$
-
$k(a+bi)=ka+kbi$
$(k\in R)$
-
${{z}^{-1}}=\frac{1}{{{\left|
z \right|}^{2}}}\overline{z}$ $(z\ne 0)$
-
$\frac{z'}{z}=z'{{z}^{-1}}=\frac{z'\overline{z}}{{{\left|
z \right|}^{2}}}=\frac{z'\overline{z}}{z\overline{z}}$
-
$\frac{z'}{z}=w\Leftrightarrow
z'=wz$
4. Số phức liên hợp
-
Số
phức liên hợp của $z=a+bi$ là $\overline{z}=a-bi$
-
$\overline{\overline{z}}=z;\overline{z\pm
z'}=\overline{z}\pm
\overline{z'};\overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'};\overline{\left(
\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}=\frac{\overline{{{z}_{1}}}}{\overline{{{z}_{2}}}}$
-
$z$
là số thực khi $z=\overline{z}$
-
Z
là số ảo khi $z=-\overline{z}$
5. Modun của số phức
$z=a+bi$
-
$\left|
z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{z\overline{z}}=\left|
\overrightarrow{OM} \right|$
-
$\left|
z \right|=0$ ó $z=0$
-
$\left|
z.z' \right|=\left| z \right|.\left| z' \right|$
-
$\left|
\frac{z}{z'} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| z' \right|}$
-
$\left|
\left| z \right|-\left| z' \right| \right|\le \left| z+z' \right|\le \left| z
\right|+\left| z' \right|$
6. Căn bậc hai của số phức
-
$z=x+yi$
là căn bậc hai của số phức \[\text{w=a+bi}\] ó${{z}^{2}}=\text{w}$ ó
-
\[\text{w}=0\]
có đúng 1 căn bậc hai là $z=0$
-
\[\text{w}\ne
0\] có đúng hai căn bậc hai đối nhau
-
Hai
căn bậc hai của $a>0$ là $\pm \sqrt{a}$
-
Hai
căn bậc hai của $a<0$ là $\pm \sqrt{a}.i$
7. Phương trình bậc hai của số phức
$A{{z}^{2}}+Bz+C=0$
(A, B, C là các số phức cho trước,$A\ne 0$ )
$\vartriangle
={{B}^{2}}-4AC$
-
$\vartriangle
\ne 0$: có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1,2}}=\frac{-B\pm \delta }{2A}$ , ($\delta
$ là 1 căn bậc hai của $\vartriangle $ )
-
$\vartriangle
=0$ : có 1 nghiệm kép ${{z}_{1}}={{z}_{2}}=-\frac{B}{2A}$
-
${{z}_{0}}$
là một nghiệm của phương trình thì $\overline{{{z}_{0}}}$ cũng là nghiệm
8. Nhân, chia số phức lượng giác
-
$z.z'=rr'.\left[
\cos (\varphi +\varphi ')+i\sin (\varphi -\varphi ') \right]$
-
$\frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}\left[
\cos (\varphi -\varphi ')+isin(\varphi -\varphi ') \right]$
9. Công thức Moa-vrơ
- 
-
${{(cos\varphi
+isin\varphi )}^{n}}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi $
10. Căn bậc hai của số phức dưới dạng
lượng giác
Số phức $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ $(r>0)$ có căn bậc hai là:
B/ Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho số phức $z=4+11i$ .Tìm phần thực
và phần ảo của số phức z
A A.Phần thực bằng 4 phần ảo bằng 11i
B.Phần thực bằng 4 phần ảo bằng -11
C C.Phần thực bằng 4 phần ảo bằng 11
D D. Phầ thực bằng -4 phần ảo bằng 11
Đáp án C
Câu 2: Tìm số phức liên hợp của số phức $z=i(4+11i)$
A A. $-11+4i$
B B. $-11-4i$
C C. $11+4i$
D D. $11-4i$
HD: $z=-11+4i$
Đáp án B
Câu 3: Tìm số thực x, y thõa mãn $3+(4-y)i=(x-6)+11i$
A A. $x=9;y=-7$
B B. $x=-9;y=-7$
C C. $x=-7;y=9$
D D. $x=7;y=9$
HD: Ta có hệ
phương trình 
Đáp án A
Câu 4: Cho số phức $z=i+1$ . Tính môđun của
số phức \[\text{w}=\frac{\overline{z}+i}{z-1}\]
A A. $\left| \text{w} \right|=-1$
B B. $\left| \text{w} \right|=1$
C C. $\left| \text{w} \right|=\sqrt{2}$
D D. $\left| \text{w} \right|=2$
HD: \[\text{w}=\frac{1-i+i}{1-i-1}=-i\]
$\Rightarrow $ $\left| \text{w} \right|=1$
Đáp án B
Câu 5: Cho số phức $z={{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{2017}}$ . Tính${{z}^{5}}+{{z}^{6}}+{{z}^{7}}+{{z}^{8}}$\
A.1
B.2
C.0
D.-1
HD: Ta có $z={{i}^{2017}}=i$
$\Rightarrow
{{i}^{5}}+{{i}^{6}}+{{i}^{7}}+{{i}^{8}}$ =0
Đáp án C
C/ Bài tập tự luyện
Câu 1: Số phức $1+(1+i)+{{(1+i)}^{2}}+...+{{(1+i)}^{20}}$ bằng
A A. $-{{2}^{10}}$
B B. $-{{2}^{10}}+({{2}^{10}}+1)i$
C C. ${{2}^{10}}+({{2}^{10}}+1)i$
D D. ${{2}^{10}}+{{2}^{10}}i$
Câu 2: Số phức $z=1+(a+2)i$ là số thuần thực
khi
A A. $a>-2$
B B. $a=-1$
C C. $a=-2$
D D. $a<-1$
Câu 3: Số phức $z=1+ai$ có môđun bằng $\sqrt{10}$
khi
A A. $a=3$
B B. $a=\pm 3$
C C. $a=-3$
D D. $a=\sqrt{10}$
Câu 4: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là nghiệm
của phương trình ${{z}^{2}}+z+1=0$ . Tính giá trị biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}
\right|+\left| {{z}_{2}} \right|$
A A -2
B B -1
C. 0
D D. 2
Câu 5: Cho số phức z thõa mãn $\left|
z-1-2i \right|=3$.Tìm tâm và bán kính của đường tròn biểu diễn các số phức z
A A. $I(-1;-2);R=3$
B B. $I(1;2);R=3$
C C. $I(1;-2);R=3$
D D. $I(-1;2);R=3$
Câu 6: Gọi $\varphi
$ là góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM, M là điểm biểu diễn số phức z = (2
– i)(1 + i)
Tính $\sin
2\varphi $
A.0,8
-B.0,6
C.-0,8
D.-0,6
Câu 7: Trên
mặt phẳng Oxy điểm M là điểm biểu diễn số phức z = -1 + 2i. Gọi $\varphi $ là
góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM. TÍnh $\tan 2\varphi $
A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$-1$
Câu 8: Tìm
căn bâc hai của số phức $4+6\sqrt{5}i$
A.$\pm (3\pm
\sqrt{5}i)$
B.$3+\sqrt{5}i;-3+\sqrt{5}i$
C.$3+\sqrt{5}i;-3+\sqrt{5}i$
D.$3-\sqrt{5}i$
Câu 9: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}$ là các
nghiệm của phương trình
Tính $A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}}
\right|}^{2}}$
A.$2\sqrt{10}$
B.20
C.$3\sqrt{10}$
D.2
Câu 10: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}};{{z}_{4}}$ là 4
nghiệm của phương trình ${{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0$ . Tính tổng
$T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left|
{{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|$
A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.$4+2\sqrt{3}$
D.$2+2\sqrt{3}$
ĐÁP ÁN
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
B |
C |
B |
D |
B |
B |
C |
A |
B |
C |
