Tam giác cân

Tam giác cân

I – Lý thuyết :

1 . Tam giác cân :

- Định nghĩa : Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân \[\Delta ABC;AB=AC\Rightarrow \Delta ABC\]cân tại đỉnh A. BC là cạnh đáy , AB và AC là cạnh bên.

- Tính chất :

\[\Delta ABC;AB=AC;M\in BC;MB=MC\]

\[\Rightarrow B=C;{{A}_{1}}={{A}_{2}};AM\bot BC\]

Trong tam giác cân đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì chính là đường phân giác, đường cao.

- Cách chưng minh một tam giác là tam giác cân (Dấu hiệu nhận biết tam giác cân ).

+ Cách 1 :

\[\Delta ABC;AB=AC\Rightarrow \Delta ABC\,\]cân

+ Cách 2 :

\[\Delta ABC\,;\,\widehat{B}=\widehat{C}\Rightarrow AB=AC\Rightarrow \Delta ABC\]cân

Chứng minh

Kẻ AH\[\bot \] BC

Xét ∆ABH và ∆ACH có :

B=C ( giả thiết )

AH là cạnh chung

\[{{H}_{1}}={{H}_{2}}=90{}^\circ \]

\[\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH\,(g.c.g)\]

\[\Rightarrow \,AB=AC\](hai cạnh tương ứng )

\[\Rightarrow \,\Delta ABC\]cân.

Chứng minh

BE, CE lần lượt là các đường cao ( các đường trung tuyến , đường phân giác )thì BD = CE

Trường hợp BD và CE lần lượt là các đường trung tuyến

Xét ∆ABD và ∆ACE có :

AB = AC ( vì ∆ABC cân )

AE = AD = \[\frac{1}{2}AB\](tính chất đường trung tuyến )

A chung

\[\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE\,(c.g.c)\]

\[\Rightarrow BD=CE\] ( hai cạnh tương ứng )

2 . Tam giac vuông cân :

- Định nghĩa :

\[\Delta ABC;AB=AC;A=90{}^\circ \Rightarrow B=C=45{}^\circ \]

- Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân :

+ Theo định nghĩa

+ Theo tính chất

3 . Tam giác đều :

- Định nghĩa :

\[\Delta ABC;AB=AC=BC\Rightarrow \Delta ACB\]đều

- Tính chất :

\[\Delta ABC;AB=AC=BC\Rightarrow A=B=C=60{}^\circ \]

- Dấu hiệu nhận biết tam giác đều :

+ Chứng minh ba cạnh bằng nhau : \[\Delta ABC;AB=AC=BC\]

+ Theo tính chất : A = B = C

+ Chứng minh tam giác cân có một góc bằng 60°

Trường hợp 1 : \[\Delta ABC;AB=AC;A=60{}^\circ \]

Trường hợp 2 : \[\Delta ABC;AB=AC;B=60{}^\circ \]

\[\Rightarrow B=C=60{}^\circ \Rightarrow A=180{}^\circ -120{}^\circ =60{}^\circ \]

II – Bài tập :

1 . Bài toán ví dụ :

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC cân tại A,\[\widehat{BAC}=40{}^\circ \], đường cao AH. Các điểm E,F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH,AC sao cho \[\widehat{EBA}=\widehat{FBC}=30{}^\circ \]. Chứng minh rằng : AE = AF.

Giải

Trên nửa mặt phẳng bờ AB, chứa C, lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều.

Trong tam giác ABC, theo đề bài ta có :

\[\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{(180{}^\circ -40{}^\circ )}{2}=70{}^\circ \]

\[\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{ABC}-\widehat{FBC}=70{}^\circ -30{}^\circ =40{}^\circ \]

Vậy \[\widehat{ABF}=\widehat{BAF}\Rightarrow \Delta ABF\] cân tại F \[\Rightarrow FA=FB\]

Dựng điểm K, KA = KB. Vậy KF là đường trung trực của AB => KF là đường phân giác của \[\widehat{AKB}\,\]( vì \[\Delta ABK\,\]đều ) \[\Rightarrow \widehat{FKB}=30{}^\circ \Rightarrow \widehat{FKB}=\widehat{EBA}\] (1) ( theo giả thiết )

\[\Delta ABC\]cân tại A,\[\widehat{BAC}=40{}^\circ \], AH là đường cao \[\Rightarrow \widehat{BAE}=\frac{40{}^\circ }{2}=20{}^\circ \].

Mặt khác \[\widehat{KAF}=\widehat{KAB}-\widehat{FAB}=60{}^\circ -40{}^\circ =20{}^\circ \]

Vậy \[\widehat{KAF}=\widehat{BAE}\,\,(2)\]. Chú ý rằng \[\Delta ABK\]đều nên \[\,AB=AK\,\,\,(3)\]

Từ (1),(2) và (3) => \[\Delta KAF=\Delta BAE\] => AF = AE (đcmp).

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC ( H ∈ BC).

a, HB = HC;

b, AH là tia phân giác của góc BAC.

Giải

a, Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta ACH\], có :

AH chung

\[\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH\,(c.g.c)\]

\[\Rightarrow HB=HC\]( hai cạnh tương ứng )

b, Ta có :\[\Delta ABH=\Delta ACH\,\]

\[\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}\]( Hai góc tương ứng )

2 . Bài tập tự luyện :

Bài 1: Cho tam giác ABC có \[\widehat{A}=90{}^\circ \], AB = AC , điểm D thuộc cạnh AB. Đường thẳng qua B và vuông góc với CD cắt đường thẳng CA ở K. Chứng rằng AK = AD.

Bài 2: Cho tam giác ABC cố \[\widehat{B}=\widehat{C}\]. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Tia phân giác của góc C cắt AB ở E. So sánh độ dài của các đoạn thẳng BD và CE.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ \[BD\bot AC,CE\bot AB\,\]\[(D\in AC,E\in AB)\]. Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

a, BD =CE;

b, \[\Delta OEB=\Delta ODC\];

c, AO là tia phân giác của góc BAC.

Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = AC và \[\widehat{A}=90{}^\circ \]. Qua đỉnh A kẻ đường thẳng xy sao cho xy không cắt đoạn thẳng BC. Kẻ BD và CE vuông góc với xy.

a, \[\Delta ABD=\Delta ACE\],

b, DE = BD + CE.

Bài 5: Cho tam giác ABC có \[\widehat{B}=50{}^\circ \]. Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của góc B ở E.

a, Chúng minh tam giác AEB là tam giác cân;

b, Tính BAE.

Bài 6: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ). Gọi Am là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác đó. Chúng minh Am // BC.

Bài 7: Cho tam giac ABC vuông cân ở A. Trên đáy BC lấy hai điểm M,N sao cho BM = CN = AB.

a, Chứng minh AMN là tam giác đều;

b, Tính MAN.

Bài 8: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên tia đối AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh:

a, DE // BC;

b, BE = CD;