Tính chất chia hết - Ước và bội

Chủ đề nâng cao: TÍNH CHẤT CHIA HẾT –  ƯỚC VÀ BỘI        

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1) Định nghĩa:  Cho hai số tự nhiên a và b (b $\ne 0$).

          $a=b.q\Leftrightarrow a\vdots b\Leftrightarrow $

           a là bội của b

     $\Leftrightarrow $ b là ước của a.

2) Tính chất:  

         1.  Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.

          2.  Nếu $a\vdots b\,\,va\,\,b\vdots c\Rightarrow a\vdots c$

          3. Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.

          4. Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1.

          5. Nếu a $\vdots $ m và b $\vdots $ m thì $a+b\vdots m$và $a-b\vdots m$

          6. Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m

              thì số còn lại cũng chia hết cho m.

          7. Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m

              thì a +b không chia hết cho m và a  - b không chia hết cho m.

          8. Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.

          9. Nếu $a\vdots m,\,\,\,\,b\vdots n\,\,\Rightarrow ab\,\,\vdots \,\,mn$

Hệ Quả:      Nếu $a\vdots \,b\,\,\Rightarrow {{a}^{n}}\vdots \,\,\,{{b}^{n}}$

                     Nếu $a\vdots m,\,\,\,\,a\vdots n\,\,,(m,n)=1\,\,\Rightarrow a\,\,\vdots \,\,mn$

B.Ví dụ: 

Ví dụ 1:Chứng minh rằng:

          a) $\overline{ab}+\,\,\overline{\,ba}$ chia hết cho 11.

          b) $\overline{ab}-\,\,\overline{\,ba}$ Chia hết cho 9 với a > b.

Giải:

1. Ta có  $\overline{ab}+\,\,\overline{\,ba}$= (10a +b) + (10b + a)

                             = 11a + 11b

                             = 11(a + b) $\vdots $ 11            Vậy $\overline{ab}+\,\,\overline{\,ba}$ $\vdots $ 11.

2. Ta có : $\overline{ab}-\,\,\overline{\,ba}$= (10a + b) – (10b + a)

                             = 9a – 9b    = 9 (a – b) $\vdots $ 9

Chú ý :     Nếu  $\overline{ab}+\overline{cd}\,\,\vdots \,\,11\Rightarrow \overline{abcd}\,\,\vdots \,\,11$

Ví dụ 2: Tìm n $\in $N để:

          a) n + 4 $\vdots $ n                        b) 3n + 7 $\vdots $ n                

Giải:

 a) n + 4 $\vdots $ n    ,

vì n $\vdots $ n => 4 $\vdots $ n

              => n $\in $Ư(4) = $\left\{ 1;2;4 \right\}$

           b) 3n + 7 $\vdots $ n; 

                 vì 3n $\vdots $ n   => 7 $\vdots $ n

                  => n $\in $Ư(7) = $\left\{ 1;7 \right\}$          

1. Cho  $\overline{abc}\,-\,\overline{\deg }\,\,\vdots \,\,7.\,\,$chứng minh rằng $\overline{abc\deg }\,\,\vdots \,\,7$

2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.

      3) Cho số  $\overline{abc}\vdots \,\,27$Chứng minh rằng số  $\overline{bca}\,\,\vdots \,\,27$

  4. CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.

5. CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì không chia hết cho 10.

6. Tìm n $\in $N để:

          a) 27 – 5n $\vdots $ n                              b) n + 6 $\vdots $ n + 2                                                         c) 2n + 3 $\vdots $ n – 2                          d) 3n + 1 $\vdots $ 11 – 2n

7. Cmr nếu $\overline{ab}\,+\,\overline{cd}\,+\overline{eg}\,\,\vdots \,11$ thì $\,\overline{abc\deg }\,\,\vdots 11$

8. Cho $\overline{abc}\,\,+\,\,\overline{\deg }\,\,\vdots \,\,37.\,\,$chứng minh rằng $\overline{abc\deg }\,\,\,\vdots \,\,37$

9. Cho 10 ^k – 1 $\vdots $ 19 với k > 1 CMR:  10^2k – 1 $\vdots $ 19

10. Cho n là số tự nhiên. CMR:

                   a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.

                   b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3.

11. Chứng minh rằng nếu $\overline{ab}\,\,=\,\,2\overline{cd\,}\,\,\,\Rightarrow \,\overline{abcd}\,\,\vdots \,\,67$

Giải:

 2.  Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: $\overline{ab}$.( 0 < a $\le $ 9, 0 $\le $ b $\le $ 9, a,b $\in $N)

      Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: $\overline{abba}$

4. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .

    Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) $\vdots $ 3

Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 $\vdots $ 3

   Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.

Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4.

Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.

5. Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.

Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2)$\vdots $ 10

Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.

Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 $\vdots $  10.

 

6. a) 27 – 5n $\vdots $ n ; 5n $\vdots $ n => 27 $\vdots $ n => n $\in $Ư(27) = $\left\{ 1;\,3;\,9;\,27 \right\}$ nhưng 5n < 27 nên n < 6

 Vậy n  $\in $ $\left\{ 1;3 \right\}$

    b) n + 6 $\vdots $ n + 2 => n + 2 + 4 $\vdots $ n + 2, mà n +2 $\vdots $ n + 2  => 4 $\vdots $ n + 2  => n + 2  $\in \left\{ 1;2;4 \right\}$=> n $\in \left\{ 0;2 \right\}$

   c) 2n + 3 $\vdots $ n – 2 => 2(n – 2) + 7 $\vdots $ n -2 => 7 $\vdots $ n - 2  => n – 2  $\in \left\{ 1;7 \right\}$ => n $\in \left\{ 3;9 \right\}$

   d^*) 3n + 1 $\vdots $ 11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) $\vdots $ 11 – 2n => 35 $\vdots $ 11 – 2n

          => 11 – 2n $\in \left\{ 1;5;7;35 \right\}$nhưng vì n < 6 nên   n $\in \left\{ 5;3;2 \right\}$

9. Ta có: 10^2k – 1 = 10^2k – 10^k + 10^k -1 = 10^k(10^k – 1) + (10^k – 1)

   Do 10^k  - 1$\vdots $ 19 nên  10^k(10^k – 1) + (10^k – 1) $\vdots $ 19

  Vây 10^2k – 1 $\vdots $ 19

10. a/  (n + 10 ) (n + 15 )

Khi n chẵn => n = 2k (k $\in $N).

Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.

Khi n lẽ => n = 2k + 1 (k $\in $N).

Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)

                                           = 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.

Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2.

   b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2)

+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2.

+ Trường hợp:  n = 3k  (k $\in $N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.            (1)

 Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2

Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.                                                                             (2)

Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.                                                                    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  A chia hết cho 3.

Vậy A chia hết cho cả 2 và 3.

11. Ta có  $\,\overline{abcd}\,\,=100\overline{ab}\,+\,\overline{cd}$

          Mà:         $\overline{ab}\,\,=\,\,2\overline{cd\,}$

Suy ra:  $\overline{abcd}=2\overline{cdcd}=200\overline{cd}\,+\,\overline{cd}\,=\,201\overline{cd}\,=3.67\overline{cd}\,\,\vdots \,67$

            Vậy:      $\,\overline{abcd}\,\,\vdots \,67$  

CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT

A/ LÝ THUYẾT:

B/ Ví du:

Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5 và cho 27. biết rằng hai chữ số ở giữa của nó là 97.

Giải: Gọi n là số phải tìm. Vì n chia hết cho 5 và cho 27 nên n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 và chia hết cho 9, do đó ta có số 

 Vây số 2970 là số phải tìm.

Ví dụ 2: Cho số tự nhiên $\overline{ab}$ bằng ba lần tích các chữ số của nó.

1. CMR: b chia hết cho a.    b.  Giả sử b = ka (k $\in $N) CM: k là ước của 10.

Giải:    a) Theo đề bài ta có:            $\overline{ab}$ = 3ab

                                      => 10a + b = 3ab           (1)

                                      => 10a + b  $\vdots $ a         =>             b$\vdots $ a

          b) Do b = ka nên k < 10. Thay b = ka vào (1), ta có:

                                            10a + ka = 3a.ka

                                      => a(10 + k) =      3ak. a

                                      => 10 + k = 3ak   => 10 + k  $\vdots $ k

                                      => 10 $\vdots $ k                  Vậy k là ước của 10.

Ví dụ 3:  Chứng minh rằng: với n $\in $ N thì số 9²ⁿ – 1 chia hết cho cả 2 và 5.

Giải:  Có:  9²ⁿ – 1 = (9²)ⁿ – 1 = 81ⁿ  - 1 = ….1 -  1 = …0

         Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.

C/ BÀI TẬP:

1. Thay các  chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:

          a/ Số $\overline{275x}\,$chia hết cho 5; cho 25; cho125.

          b/ Số $\overline{9xy4}$ chia hết cho 2, cho4, cho 8.

2 . Cho n $\in $N, chứng minh rằng:

  a/  5ⁿ – 1$\vdots $ 4                        b/  n² + n + 1 không chia hết cho 4.

  c/ 10ⁿ  - 1 $\vdots $ 9                      d/ 10ⁿ + 8 $\vdots $ 9

3. Chứng minh rằng:

          a/ 10²⁸ + 8 $\vdots $ 72                            b/ 8⁸ + 2²⁰ $\vdots $ 17

4. CMR với mọi số tự nhiên n thì n ² + n + 6  không chia hết cho 5.

5. CMR: a/ 942⁶⁰ – 351³⁷chia hết cho 5.

             b/ 99⁵ - 98⁴ + 97³ - 96² chia hết cho 2 và 5.

Giải:

1. 

              b/ $\overline{9xy4}\vdots 2\Leftrightarrow x,\,y\in \left\{ 0;1;2;...;9 \right\}$ ;   $\overline{9xy4}\vdots 4\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;1;2;...;9 \right\},y\in \left\{ 0,2,4,6,8 \right\}$

                  $\overline{9xy4}\vdots 8\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;2;4;6;8 \right\};y\in \left\{ 2;6 \right\}\,\,hoa\ddot{e}c\,x\in \left\{ 1;3;5;7;9 \right\};\,y\in \left\{ 0;4;8 \right\}$

2.  a/     + Với n = 0, ta có: 5⁰ – 1 = 1 – 1 = 0$\vdots $ 4

          + Với n = 1, ta có: 5¹ -1 = 5 – 1 = 4 $\vdots $ 4.

          + Với n > 1, ta có: 5ⁿ = …5 nên 5ⁿ – 1 = …5 – 1 = … 4$\vdots $ 4

 Vậy với n $\in $N, 5ⁿ – 1$\vdots $ 4 .

   b/  Ta có n² + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n² + n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4.

4.  Với mọi số tự nhiên n thì n ² + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6. Do đó n ² + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5.

5. a/ 942⁶⁰ – 351³⁷= 942^4.15 – 351³⁷= ….6¹⁵ - …1 = …6 - …1 = …5 $\vdots $ 5

     b/ 99⁵ - 98⁴ + 97³ - 96² = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0

      Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.

SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ.

                 PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

A/ LÝ THUYẾT:

+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.

+ Để chứng tỏ số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a.

+ Cách xác định số lượng ước của một số: Khi phân tích M ra thừa số nguyên tố, ta có

M = a^x.b^y….c^z thì các ước của M là (x + 1)(y + 1)…(z + 1).

+ Nếu ab $\vdots \,P$với P là số nguyên tố thì hoặc a $\vdots P$ hoặc b $\vdots P$.

   Đặc biệt: Nếu aⁿ $\vdots P$ thì a $\vdots P$

B/ VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Cho A = 5 + 5² + 5³ +……+5¹⁰⁰

1. Số A là số nguyên tố hay hợp số?
2. Số A có phải là số chính phương không?

Giải:    a)  Có A > 5; A $\vdots $ 5 ( Vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5) nên A là hợp số.

Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 , p + 4 cũng là số nguyên tố.

Giải: Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên.

Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là số nguyên tố.

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài.

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số, trái với đề bài.

Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.

C/ BÀI TẬP:      

1. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số đó?
2. Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không?
3. Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố.
   1. p + 2 và p + 10.
   2. P + 10 và p + 20.

      4)  Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p + 1chia hết cho 6.

      5)  Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + 8 là hợp số.

      6)  Cho a, n $\in $N*, biết a^{n$\vdots $} 5. Chứng minh: a² + 150 $\vdots $ 25.

Giải:

1) Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012 là số chẳn nên một trong ba số nguyên tố đó phải có một số chẳn. Đó là số 2. số 2 là số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đã cho.

2) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 là số lẽ nên một trong hai số nguyên tố đó phải là số 2 khi đó số thứ hai là: 2003 – 2 = 2001 chia hết cho 3 nên là hợp số.

 Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng bằng 2003.

3) a/ Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên.

Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 2 = 5; p + 10 = 13 đều là số nguyên tố.

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số, trái với đề bài.

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài.

Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.

  b/  Vì p là số nguyên tố nên p có một trong ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k là số tự nhiên.

Nếu p = 3k thì p = 3 (Vì p là số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 đều là số nguyên tố.

Nếu p = 3k + 1 thì p + 20 = 3k + 21 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 20 là hợp số, trái với đề bài.

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số, trái với đề bài.

Vậy p = 3 là số nguyên tố cần tìm.

4) Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẽ, => p + 1 là số chẵn nên p + 1$\vdots $ 2      (1)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k $\in $N)

Dạng p = 3k + 1 không xãy ra.

Dạng p = 3k + 2 cho ta p + 1 = 3k + 3$\vdots $ 3                                                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra p + 1 $\vdots $ 6 

5) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2. (k $\in $N)

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 nên là hợp số, trái với đề bài.

Vậy p có dạng 3k + 1 khi đó p + 8 = 3k + 9 chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp số.

6) Có a^{n$\vdots $} 5 mà 5 là số nguyên tố nên a $\vdots $ 5 => a² $\vdots $ 25.

    Mặt khác 150$\vdots $25 nên a² + 150 $\vdots $25.

 

 

 

Bài viết gợi ý: