Tính chất của dãy số bằng nhau
I . Lí thuyết :
1 . Từ \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\] ta suy ra \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\left( b\ne d,b\ne -d \right)\]
Từ \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{m}{n}\]ta suy ra \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{m}{n}=\frac{a+c+m}{b+d+n}=\frac{a-c+m}{b-d+n}\]
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa )
2 . Khi các dãy tỉ số \[\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{7}\], ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 7. Ta cũng viết a:b:c = 2:3:7.
3 . Sai lầm cần tránh :
II . Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Cho 3x = 4y và y – x = 5. Tính x và y
Giải
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
\[\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{y-x}{3-4}=\frac{5}{-1}=-5\]
Suy ra x = -5. 4 = -20 ; y = -5.3 = -15
Ví dụ 2 : Tìm các số a,b,c biết rằng :
2a = 3b = 4c và a – b + c = 35
Giải
Ta có 2a = 3b = 4c nên \[\frac{2a}{12}=\frac{3b}{12}=\frac{4c}{12}\], suy ra \[\frac{a}{6}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}\]
Áp dụng tính chất dủa dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\[\frac{a}{6}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=\frac{a-b+c}{6-4+3}=\frac{35}{5}=7\]
Vậy a = 7.6 = 42 ; b = 7.4 = 28 ; c = 7.3 = 21
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng từ tỉ thức :
\[\frac{{{a}^{2k}}+{{b}^{2k}}}{{{c}^{2k}}+{{d}^{2k}}}=\frac{{{a}^{2k}}-{{b}^{2k}}}{{{c}^{2k}}-{{d}^{2k}}}(k\in N)\]
Ta có thể suy ra \[\frac{a}{b}=\pm \frac{c}{d}\]
Giải
Ta có : \[\frac{{{a}^{2k}}+{{b}^{2k}}}{{{c}^{2k}}+{{d}^{2k}}}=\frac{{{a}^{2k}}-{{b}^{2k}}}{{{c}^{2k}}-{{d}^{2k}}}=\frac{{{a}^{2k}}+{{b}^{2k}}+{{a}^{2k}}-{{b}^{2k}}}{{{c}^{2k}}+{{d}^{2k}}+{{c}^{2k}}-{{d}^{2k}}}=\frac{2{{a}^{2k}}}{2{{c}^{2k}}}=\frac{{{a}^{2k}}}{{{c}^{2k}}}\left( 1 \right)\]
Lại có : \[\frac{{{a}^{2k}}+{{b}^{2k}}}{{{c}^{2k}}+{{d}^{2k}}}=\frac{{{a}^{2k}}-{{b}^{2k}}}{{{c}^{2k}}-{{d}^{2k}}}=\frac{{{a}^{2k}}+{{b}^{2k}}-{{a}^{2k}}+{{b}^{2k}}}{{{c}^{2k}}+{{d}^{2k}}-{{c}^{2k}}+{{d}^{2k}}}=\frac{2{{b}^{2k}}}{2{{d}^{2k}}}=\frac{{{b}^{2k}}}{{{d}^{2k}}}\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) suy ra : \[\frac{{{a}^{2k}}}{{{c}^{2k}}}=\frac{{{b}^{2k}}}{{{d}^{2k}}}\Rightarrow \frac{{{a}^{2k}}}{{{b}^{2k}}}=\frac{{{c}^{2k}}}{{{d}^{2k}}}\]
\[\Rightarrow {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2k}}={{\left( \frac{c}{d} \right)}^{2k}}\Rightarrow \frac{a}{b}=\pm \frac{c}{d}\]
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Cho tỉ lệ thức \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\]. Chứng tỏ rằng ta được hai tỉ lệ thức khác :
\[\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\] và \[\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\]
Bài 2 : Cho tỉ lệ thức \[\frac{x}{7}=\frac{y}{3}\]. Tính x và y biết :
a , x + y = 110;
b , x – y = 50.
Bài 3 : Học sinh lớp 7A chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ 3 tỉ lệ với 2, 3, 4. Tìm số học sinh của mỗi tổ, nếu số học sinh lớp 7A là 45 học sinh .
Bài 4 : Tìm các số a, b, c biết : \[\frac{a}{4}=\frac{b}{5}=\frac{c}{2}\] và a + b – c = 21.
Bài 5: Chia số 234 thành ba phần tỉ lệ với 2 ; 3; 4.
Bài 6 : Ba bạn An , Bảo , Chi có số viên bi lần lượt tỉ lệ với 4 ; 5 ; 6. Biết rằng An có ít hơn Chi là 4 viên. Tính số viên bi của mỗi bạn.
Bài 7 : Tìm các số a, b, c biết rằng : \[\frac{a}{5}=\frac{b}{6};\frac{b}{8}=\frac{c}{7}\]và a + b – c = 69.
Bài 8 : Trên quãng đường AB, ba oto khởi hành cùng một lúc từ A và chạy với vận tốc theo thứ tự tỉ lệ với 3 ; 4 ; 5. Tính quãng đường mỗi xe đã chạy được từ lúc khởi hành đến lúc xe dẫn đầu cách xe đi sau cùng là 20km.
