tổng hợp các bài toán hình học nâng cao lớp 7

Câu 2:

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm hai tam giác ABC và tam giác A'B'C' cho trước.

Chứng minh rằng : GG'< $\frac{1}{3}$ (A A'+BB'+CC')

Câu 4:

Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia

AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.

a) Chứng minh rằng : BE = CD.

b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.

c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK \[\le \] BC

thẳng DE

Câu 6:

Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.

c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC

Câu 7:

Cho tam giác vuông ABC: \[\widehat{A}={{90}^{0}}\], đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho

CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.

Chứng minh: AE = BC.

Câu 8:

Cho tam giác ABC nhọn có đường phân gác trong AD. Chứng minh rằng:

$AD=\frac{2.AB.AC.\cos \frac{A}{2}}{AB+AC}$

Câu 12:

Cho tam giác ABC dựng tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đường thẳng ấy bằng 60⁰, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.

Câu 13:

Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) và có H là trực tâm. Gọi A', B', C' là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB. Qua H, vẽ đường thẳng d bất kì. Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng của d qua các cạnh của DABC đồng quy tại một điểm trên (O).

Câu 14:

Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh PD, QE, RF đồng quy. Gọi J là điểm đồng quy, chứng minh I là trung điểm của mỗi đường.

Câu 15:

Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.

a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.

b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các DMAB; MAC là tam giác vuông cân.

c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.

Lời giải chi tiết

Câu 2:

Gọi M,M',I,I' theo thứ tự trung điểm BC;B'C';AG;A"G" . Ta có:

Vậy

Câu 4:

Để cm BE = CD

$\Uparrow $

Cần cm \[\Delta \]ABE = \[\Delta \]ADC (c.g.c)

Để cm M, A, N thẳng hàng.

$\Uparrow $

Cần cm \[\widehat{BAN}=\widehat{BAM}={{180}^{0}}\]

$\Uparrow $

Có \[\widehat{BAN}+\widehat{NAD}={{180}^{0}}\] $\Rightarrow $ Cần cm \[\widehat{MAB}=\widehat{NAD}\]

Để cm \[\widehat{MAB}=\widehat{NAD}\]

$\Uparrow $

Cần cm \[\Delta \]ABM = \[\Delta \]ADN (c.g.c)

Gọi là giao điểm của BC và Ax

$\Rightarrow $ Để cm BH + CK \[\le \] BC

$\Uparrow $

Cần cm \[BH\le BI;CK\le CI\]

Vì BI + IC = BC

BH + CK có giá trị lớn nhất = BC

khi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC

Câu 6:

a) Để cm DM = EN

$\Uparrow$

Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)

$\Uparrow$

Có BD = CE (gt) , $\widehat{D}=\widehat{E}={{90}^{0}}$ ( MD, NE$\bot$BC)

$\widehat{BCA}=\widehat{CBA}$( ∆ABC cân tại A)

Để Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trung

điểm I của MN $\Rightarrow$ Cần cm IM = IN

$\Uparrow$

Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I $\Rightarrow$ Cần cm O là điểm cố định

Để cm O là điểm cố định

$\Uparrow$

Cần cm OC $\bot$ AC

$\Uparrow$

Cần cm $\widehat{OAC}=\widehat{OCN}={{90}^{0}}$

$\Uparrow$

Cần cm : $\widehat{OBA}=\widehat{OCA}$ và $\widehat{OBM}=\widehat{OCM}$

$\Uparrow$

Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)

Câu 7:

Cho tam giác vuông ABC: \[\widehat{A}={{90}^{0}}\], đường cao AH, trung tuyến AM.

Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA.

Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho

CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song

với AC cắt đường thẳng AH tại E.

Chứng minh: AE = BC.

a) Ta có : \[\Delta AMB=\Delta DMC(c-g-c)\]

\[\Rightarrow AB=DC\]

Suy ra \[\Delta ABC=\Delta CDA(c-c-c)\]

Mặt khác : \[\Delta ACI:\widehat{ACI}={{90}^{0}};AC=CI\]: vuông cân

\[\Delta \text{ACJ}=\Delta \text{ICJ}\]( CH -CGV)

\[\Rightarrow \widehat{\text{ACJ}}=\widehat{\text{ICJ}}\] hay CJ là phân giác của \[\widehat{ACI}\] hay \[\Delta \text{ACJ}\] vuông cân tại J.

Nên AJ = AC

Câu 8:

S_ABD+S_ACD=S_ABC

Câu 12:

Xét các tam giác bằng nhau

* Chứng minh AN = MC = BP

Xét hai tam giác ABN và MBC có:

AB = MB; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)

\[\widehat{ABN}=\widehat{MBC}\] ( cùng bằng \[{{60}^{0}}+\widehat{ABC}\] )

Tương tự:

AB = AM; BC = BN (Các cạnh của tam giác đều)

⇒ BP = MC (**)

Từ (*) và (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm).

* Chứng minh

Trong ∆APC có ${{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{A}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{2}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{2}}={{180}^{0}}$ mà ${{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{1}}={{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{1}}$

Trong ∆PCK có ${{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{2}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{2}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{K}}_{2}}={{180}^{0}}$

⇒ ${{60}^{0}}+({{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{C}}_{1}}+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{P}}_{2}})+{{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{K}}_{2}}={{180}^{0}}$ ⇒ \[{{60}^{0}}+{{60}^{0}}+\widehat{{{K}_{2}}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{K}_{2}}}={{60}^{0}}\] (1)

Tương tự: ∆ ABN = ∆ MBC ⇒ \[\widehat{{{N}_{1}}}=\widehat{{{C}_{3}}}\] mà \[\widehat{{{N}_{1}}}+\widehat{{{N}_{2}}}={{60}^{0}}\]

⇒ \[\widehat{{{N}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}={{60}^{0}}\] mà \[\widehat{{{C}_{4}}}={{60}^{0}}\]

⇒ ∆ NKC có \[\widehat{{{N}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}+\widehat{{{C}_{4}}}+\widehat{{{K}_{3}}}={{180}^{0}}\] ⇒ \[\widehat{{{K}_{3}}}={{60}^{0}}\] (2)

Tương tự: ∆ AC N = ∆ PCB ⇒ \[\widehat{{{P}_{2}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\] mà \[\widehat{{{P}_{1}}}+{{\widehat{P}}_{2}}={{60}^{0}}\]

⇒ \[\widehat{{{P}_{1}}}+\widehat{{{A}_{2}}}={{60}^{0}}\] mà \[\widehat{{{A}_{1}}}={{60}^{0}}\] ⇒ Trong ∆ AKP có \[\widehat{{{K}_{1}}}={{60}^{0}}\] (3)

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh

* Chứng minh AN. MC, BP đồng quy

Giả sử MC Ç BP = K ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng

Theo chứng minh trên ta có: \[\widehat{{{K}_{2}}}={{60}^{0}},\widehat{{{K}_{3}}}={{60}^{0}},\widehat{{{K}_{1}}}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}+\widehat{{{K}_{2}}}+\widehat{{{K}_{3}}}={{180}^{0}}\]

⇒ A,K,N thẳng hàng \[\]

Vậy AN, MC, BP đồng quy (đpcm)

Câu 13: