Đơn thức đa thức

Câu 1:

Cho A = \[\frac{-4a{{x}^{2}}{{y}^{5}}}{{{(b+1)}^{3}}}\]

\[\]Trong các trường hợp nào A là đơn thức? trong trường hợp đó cho biết hệ số bậc của đơn thức ?

a/ a;b là hằng số b/ a là hằng số ? c/ b là hằng số ?

Câu 2:

Cho biết (x - 1) . f(x) = ( x+4 ) . f(x+8) .

Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 2 nghiệm ?

Câu 3:

Cho đa thức P(x) = a x³ + bx² + cx + d ( a khác 0)

Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3)

Câu 4:

Cho

\[f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\]

với a, b, c là các số hữu tỉ.

Chứng tỏ rằng:

\[f(-2).f(3)\le 0\]

. Biết rằng

\[13a+b+2c=0\]

Câu 5:

Cho đa thức

\[f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\]

với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.

Câu 6:

Chứng minh rằng: f(x)

\[=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\]

có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

Câu 7:

Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) =

\[{{(3-4x+{{x}^{2}})}^{2004}}.\ {{(3+4x+{{x}^{2}})}^{2005}}\]

Câu 8:

Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:

\[{{x}^{2011}}-2012{{x}^{2010}}+2012{{x}^{2009}}-2012{{x}^{2008}}+....-2012{{x}^{2}}+2012x-1\]

Câu 9:

Cho đa thức f(x) =ax³+bx²+cx+d. Với f(0) và f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm là số nguyên

Câu 10:

chứng minh hằng đẳng thức

A=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=ab+bc+ca-x²

Biết rằng 2x=a+b+c

Câu 11:

Rút gọn biểu thức:

A=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

Câu 12:

Chứng minh hằng đẳng thức:

A= (100+a)(100+b)=(100+a+b).100+ab

Từ đó suy ra quy tắc nhân nhẩm hai số lớn hơn 100

Câu 13:

Cho các đơn thức: -5x²y³ ; 3xy²z ; 23x²y³; 10x²y²z ; - 14xy²z³ ; 35x²y²z ; 4x²y³ ; xy²z³

Hãy sắp xếp các đơn thức sau thành đơn thức đồng dạng
Thu gọn bằng cách tính tổng các đơn thức đồng dạng ở các nhóm trên

Câu 14:

Tìm số tự nhiên n sao cho n+8 n+1
Tìm số tự nhiên n lớn nhất có hai chữ số sao cho n²-n 5

Câu 15:

Thu gọn các phép tính sau:

x(x+2)+y(y+3)+x²+2y²+4y
x(x+3)+y(y-4)+y²+x²-8y
(x+y)x +(x+y)y
(x+y)x + (x-y)y

Lời giải chi tiết

Câu 1:

a/ Nếu a,b là hằng số thì A là đơn thức . Có hệ số

\[\frac{-4a}{{{(b+1)}^{3}}}\]

;

Bậc 2 đối với biến x. Bậc 5 đối với biến y và bậc 7 (=2+5) Đ/với tập hợp các biến.

b/ Néu chỉ có a là hằng số thì A không phải là đơn thức .Vì A có chứa phép chia phép cộng đối với biến b.

c/ Nếu b là hằng thì A là đơn thức có hệ số là

\[\frac{-4b}{(b+1)}.\]

Câu 2:

Vì (x-1).f(x) = (x+4).f(x+8) với mọi x nên suy ra :

Khi x- 1 thì : 0.f(1)=5.f(9) => f(9) = 0

=> x=9 là một nghiệm

Khi x=-4 thì: -5.f(-4)=0.f(4)=>f(4)= 0

=>x=-4 là một nghiệm

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm 9 và -4 .

Câu 3:

ta có P(1) = 100 $\Rightarrow$ a + b + c + d = 100

P(-1) = 50 $\Rightarrow$ - a + b – c + d = 50

P( 0) = 1 $\Rightarrow$ d = 1

P(2) = 8a + 4b + c + d = 120

Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P(x)

Câu 4:

f( -2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c $\Rightarrow$ f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)

Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0

$\Rightarrow$ ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)

Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)² $\le$ 0

Câu 5:

f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c

Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên $\Rightarrow$ c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên

$\Rightarrow$ a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên $\Rightarrow$ 2a , 2b nguyên

Câu 6:

f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d

Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x $\Rightarrow$ d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số nguyên . Do d nguyên $\Rightarrow$ a + b + c nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên $\Rightarrow$2b nguyên $\Rightarrow$ 6a nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự.

Câu 7:

Giả sử A( x) = a_o + a₁x + a₂x² + …..+ a₄₀₁₈x⁴⁰¹⁸

Khi đó A(1) = a_o + a₁ +a₂ + …….+ a₄₀₁₈

do A(1) = 0 nên a_o + a₁ +a₂ + …….+ a₄₀₁₈ = 0

Câu 8:

Đặt A =

\[{{x}^{2011}}-2012{{x}^{2010}}+2012{{x}^{2009}}-2012{{x}^{2008}}+....-2012{{x}^{2}}+2012x-1\]

\[{{x}^{2010}}(x-2011)-{{x}^{2009}}(x-2011)-{{x}^{2008}}(x-2011)+....-x(x-2011)+x-1\]

$\Rightarrow$ tại x = 2012 thì A = 2011

Câu 9:

Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là n. Ta có:

F(n)= an³+bn²+cn+d=0

F(0)=d là số lẻ

F(1)=a+b+c+d là số lẻ

Nếu n là số chẵn: suy ra an³+bn²+cn là số chẵn mà d lẻ ⇒f(n) là số lẻ. Điều này vô lí vì f(n)=0
Nếu n là số lẻ: suy ra n³-1; n²-1; n-1 là số chẵn.

Xét f(n)-f(1)=a(n³-1)+b(n²-1)+c(n-1) là số chẵn

Nhưng f(n)-f(1)=0-f(1)=-f(1) là số lẻ, điều này vô lí

Vậy f(x) không có nghiệm nguyên

Câu 10:

Ta hãy biến đổi vế trái của biểu thức A ta được:

VT= x²-bx-ax+ab+x²-cx-bx+bc+x²-ax-cx+ac

=3x²-2x(a+b+c)++(ab+bc+ca)

Thay a+b+c=2x ta được:

VT=3x²-4x²+ab+bc+ca=-x²+ab+bc+ca (đpcm)

Câu 11:

Nhân phá ra cuối cùng ta được: A=a³+b³+c³- 3abc

Câu 12:

Chứng minh:

Ta có VT= 100²+100b+100a+ab=(100+a+b).100+ab=VP (đpcm)

Quy tắc nhân nhẩm hai số lớn hơn 100 một chút

Gọi x là số bất kì lớn hơn 100 , ta gọi hiệu x-100 là phần hơn. Muốn nhân 2 số lớn hơn 100 ta lấy số này cộng với phần hơn của số kia rồi viết tiếp vào sau tích của hai phần hơn (bằng 2 chữ số)

Ví dụ 112.103=11536(115=112+03;36=12.03)

102.106=10608 (106=102+04;08=02.04)

Câu 13: