Bài Tập Viết Phương Trình Dao Động Điều Hòa

BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà theo trục Ox (O là vị trí cân bằng) với chu kì 2,09 (s). Lúc t = 0 chất điểm có li độ là +3 cm và vận tốc là $+9\sqrt{3}$ cm/s. Viết phương trình dao động của chất điểm.

Hướng dẫn

Cách 1:

$\Rightarrow x=6\cos \left( 3t-\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right)$

Cách 2: Dùng máy tính Casio 570ES Thao tác bấm máy;

Thao tác bấm máy:

Bấm nhập: ${{x}_{0}}-\frac{{{v}_{0}}}{\omega }i$ với ${{x}_{0}}=3cm;{{v}_{0}}=+9\sqrt{3}\,cm/s$ và $\omega =3\left( rad/s \right)$

sẽ được $6\angle -\frac{1}{3}\pi $

Kết quả này có nghĩa là:

$x=6\cos \left( 3t-\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right)$

Quy trình giải nhanh:

1) Để viết phương trình dao động dạng hàm cos khi cho biết x₀, v₀ và ω ta nhập:

${{x}_{0}}-\frac{{{v}_{0}}}{\omega }i\xrightarrow[{}]{shift23=}A\angle \varphi \Leftrightarrow x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$

2) Để viết phương trình dao động dạng hàm sin khi cho biết x₀, v₀ và ω ta nhập:

${{x}_{0}}+\frac{{{v}_{0}}}{\omega }i\xrightarrow[{}]{shift\,23}A\angle \varphi \Leftrightarrow x=A\sin \left( \omega t+i \right)$

Lúc t = 0, nếu vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì x₀ = 0 và v₀ = ωA.

Lúc t = 0, nếu vật qua vị trì cân bằng theo chiều âm thì${{x}_{0}}=0$ và ${{v}_{0}}=-\omega A$ .

Lúc t = 0, nếu vật qua vị trí biên dương thì x₀ = +A và v₀ = 0.

Lúc t = 0, nếu vật qua vị trí biên âm thì x₀ = − A và v₀ = 0.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà theo phương ngang trong 100 s nó thực hiện được 50 dao động và cách vị trí cân bằng 5 cm thì có tốc độ $5\pi \sqrt{3}$ (cm/s). Lấy π² = 10. Viết phương trình dao động điều hoà của vật dạng hàm cos, nếu chọn gốc thời gian là lúc:

a) Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

b) Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

c) Vật đi qua vị trí có tọa độ − 5cm theo chiều âm với vận tốc $5\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right)$

Hướng dẫn

Chu kỳ: $T=\frac{\Delta t}{n}=\frac{100}{50}=2\left( s \right).$ Tần số góc: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right)$

Biên độ $\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=10\left( cm \right)$

a) $0-\frac{\pi .10}{\pi }i\xrightarrow[{}]{shift\,23=}10\angle -\frac{1}{2}\pi \Leftrightarrow x=10\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\left( cm \right)$

b) $0-\frac{-\pi .10}{\pi }i\xrightarrow[{}]{shift\,23}10\angle \frac{1}{2}\pi \Leftrightarrow x=10\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)cm$

c) $-5-\frac{5\sqrt{3}\pi }{\pi }i\xrightarrow[{}]{shift}10\angle \frac{2}{3}\pi \Leftrightarrow x=10\cos \left( \pi t+\frac{2\pi }{3} \right)\left( cm \right)$

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Lúc t = 0, li độ ${{x}_{0}}=-\sqrt{2}(cm)$ vận tốc ${{v}_{0}}=-\pi \sqrt{2}(cm/s)$ và gia tốc ${{a}_{0}}=\sqrt{2}{{\pi }^{2}}(cm/{{s}^{2}})$. Viết phương trình dao động của vật dưới dạng hàm số cos

A. x = 2cos(πt − π/3) cm. B. x = 4cos(πt + 5π/6) cm.

C. x = 2cos(πt + 3π/4) cm. D. x = 4cos(πt − π/6) cm.

Hướng dẫn

Tần số góc: $\omega =\sqrt{-\frac{{{a}_{0}}}{{{x}_{0}}}}=\pi \left( rad/s \right)$

Nhập số liệu theo công thức: ${{x}_{0}}-\frac{{{v}_{0}}}{\omega }i$ sẽ được:

\[-\sqrt{2}-\frac{-\pi \sqrt{2}}{\pi }i\xrightarrow[{}]{shift\,23}2\angle \frac{3}{4}\pi \Leftrightarrow x=2\cos \left( \pi t+\frac{3\pi }{4} \right)\left( cm \right)\Rightarrow \] Chọn C.

Chú ý: Với các bài toán số liệu không tường minh thì không nên dùng phương pháp số phức.

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc ω. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí có toạ độ dương và có vận tốc bằng − ωA/2. Phương trình dao động của vật là

A. x = Asin(ωt − π/6). B. x = Acos(ωt – 2π/3).

C. x = Acos(ωt + π/6). D. x = Asin(ωt + π/3).

Hướng dẫn

$\Rightarrow $ Chọn C.

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hoà, khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật qua vị trí cân bằng là 0,5 s; quãng đường vật đi được trong 0,5 s là 8 cm. Tại thời điểm t = 1,5 s vật qua li độ $x=2\sqrt{3}$ cm theo chiều dương. Phương trình dao động là:

A. x = 8cos(2πt − π/3) cm. B. x = 4cos(2πt + 5π/6) cm.

C. x = 8cos(2πt + π/6) cm. D. x = 4cos(2πt − π/6) cm.

Hướng dẫn

Ví dụ 6: (ĐH − 2011) Một chất điểm dao động điêu hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là $40\sqrt{3}$ cm/s. Lấy π² = 3,14. Phương trình dao động của chất điểm là

A. x= 6cos(20t − π/6) (cm). B. x = 4cos(20t + π/3) (cm).

C. x = 4cos(20t − π/3) (cm). D. x = 6cos(20t + π/6) (cm).

Hướng dẫn

Không cần tính toán đã biết chắc chắn ω = 20 (rad/s). Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm nên chuyển động tròn đều phải nằm ở nửa trên vòng tròn

=> chỉ có thể là B hoặc D.

Để ý x₀ = Acosφ thì chỉ B thỏa mãn => chọn B.

Bình luận: Đối với hình thức thi trắc nghiệm gặp bài toán viết phương trình dao động nên khai thác thế mạnh của VTLG và chú ý loại trừ trong 4 phương án (vì vậy có thể không dùng đến một vài số liệu của bài toán).

Ví dụ 7: Một con lắc lò xo dao động điêu hoà với biên độ A = 5 cm, chu kì T = 0,5 s. Phương trình dao động của vật với gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí x = 2,5 cm theo chiều dương là

A. x = 5cos(4πt − π/6) (cm). B. x = 5cos(4πt − π/3) (cm).

C. x = 5cos(2πt + 5π/6) (cm). D. x = 5cos(πt + π/6) (cm).

Hướng dẫn

Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2,5 cm theo chiều dương nên chuyển động tròn đều phải nằm ở nửa dưới vòng tròn => chỉ có thể là A hoặc B! Không cần tính toán đã biết chắc chắn ω = 4π (rad/s)!

Để ý x₀ = Acosφ thỉ chỉ B thỏa mãn => chọn B.

Chú ý: Bốn trường hợp đặc biệt cần nhớ đế tiết kiệm thời gian khi làm bài:

1) Nếu chọn gốc thời gian là lúc vật ở biên dương (x = +A) thì pha dao động và phương trình li độ lần lượt là:

2) Nếu chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm thì pha dao động và phương trình li độ lần lượt là:

3) Nếu chọn gốc thời gian là lúc vật ở biên âm (x = − A) thì pha dao động và phương trình li độ lần lượt là:

4) Nếu chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì pha dao động và phương trình li độ lần lượt là:

Ví dụ 8: Vật dao động điều hòa với tần số góc 2π (rad/s), vào thời điểm t = 0, quả cầu đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Vào thời điểm t = 1/12 (s) quả cầu có li độ z = 5 cm. Phương trình dao động là

A. x = 10sin(2πt + π) cm. B. x = 10sin(2πt) cm.

C. x = 5sin(2πt + π/2) cm. D. x = 5sin(2πt) cm.

Hướng dẫn

Khi t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương nên: $x=A\sin 2\pi t$

${{x}_{\left( \frac{1}{12} \right)}}=A\sin 2\pi .\frac{1}{12}\Leftrightarrow 5cm=A\sin \frac{\pi }{6}\Rightarrow A=10cm\Rightarrow $ Chọn B.

Ví dụ 9: (ĐH − 2013): Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 10 cm,

chu kì 2 s. Tại thời điểm t = 0 s vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:

A. $x=10\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,\left( cm \right).$ B. $x=10\cos \left( 2\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\,\left( cm \right).$

C. $x=10\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\,\left( cm \right).$ D. $x=10\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,\left( cm \right).$

Hướng dẫn

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right)$. Tại thời điểm t = 0 s vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương $\Rightarrow x=A\sin \varphi =A\cos \left( \pi t-\pi /2 \right)\Rightarrow $ Chọn D.

Kinh nghiệm: Nếu bài toán cho biết w, v₀, a₀ thì ta tính ωA trước rồi đến ω, φ theo quy trình như sau:

Nếu $x=A\sin \left( \omega t+\alpha \right)$ thì biến đổi dạng cos: $x=A\cos \left( \omega t+\alpha -\frac{\pi }{2} \right)$

Ví dụ 10: Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương trình $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$ cm (t đo bằng giây). Vật có khối lượng 500 g, cơ năng của con lắc bằng 0,01 (J). Lấy mốc thời gian khi vật có vận tốc 0,1 m/s và gia tốc là − 1 m/s². Pha ban đầu của dao động là

A. 7π/6. B. –π/3. C. π/6. D. –π/6.

Hướng dẫn

Ví dụ 11: Một vật dao động điều hoà theo phương trinh: x = Acos(ωt + φ) cm (t đo bằng giây). Khi t = 0 vật đi qua vị trí $x=+3\sqrt{2}$ cm, theo chiều âm và tại đó động năng bằng thế năng. Tính φ.

A. π/6. B. 3π/4. C. 2π/3. D. π/4.

Hướng dẫn

$\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{4}\Rightarrow $ Chọn D.

Ví dụ 12: Một vật dao động điều hoà trên trục Ox với tần số f = 4 Hz, theo phương trình x = Acos(ωt + φ). Khi t = 0 thì x = 3 cm và sau đó 1/24 s thì vật lại trở về toạ độ ban đầu. Phương trình dao động của vật là

A. x = $3\sqrt{3}$cos(8πt − π/6) cm. B. x = $2\sqrt{3}$ cos(8πt − π/6) cm.

C. x = 6cos(8πt + π/6) cm. D. x = $3\sqrt{2}$ cos(8πt + π/3) cm.

Hướng dẫn

* Ta có: ω = 2πf = 8π (rad/s); T = l/f = 1/4 s > Δt = 1/24 s

=> Trong thời gian Δt = 1/24 s vật chưa quay hết được một vòng.

* Góc quét:

$\Delta \alpha =2\left| \varphi \right|=\omega \Delta t=8\pi /24=\pi /3\Rightarrow \varphi =-\pi /6.$

* Biên độ$A={{x}_{0}}/\cos \varphi =3/\cos \left( -\pi /6 \right)=2\sqrt{3}$.

$\Rightarrow $ ChọnB

Ví dụ 13: (THPTQG − 2017) Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc v theo thời gian t của một vật dao động điều hòa. Phương trình dao động của vật là

A. $x=\frac{3}{4\pi }\cos \left( \frac{20\pi }{3}t+\frac{\pi }{6} \right)\left( cm \right)$ B. $x=\frac{3}{4\pi }\cos \left( \frac{20\pi }{3}t-\frac{\pi }{6} \right)\left( cm \right)$

C. $x=\frac{3}{8\pi }\cos \left( \frac{20\pi }{3}t-\frac{\pi }{6} \right)\left( cm \right)$ D. $x=\frac{3}{8\pi }\cos \left( \frac{20\pi }{3}t+\frac{\pi }{6} \right)\left( cm \right)$

Hướng dẫn

* Chu kì: T = 6 ô = 6.0,1/4 = 0,3 s $\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{20\pi }{3}\left( rad/s \right)$

* Khi t = 0 thì v_max/2 và đang đi theo chiều âm nên $v=5\cos \left( \frac{20\pi t}{3}+\frac{\pi }{3} \right)\left( cm/s \right)$ (cm/s)

* Đối chiếu với: