Viết Phương Trình Dao Động Điều Hòa

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

A: CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Thực chất của viết phương trình dao động điều hòa là xác định các đại lượng A, ω và $\varphi $ của phương trình $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$

Cách 1:

Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác ${{x}_{0}}=A\cos \varphi ;{{v}_{0}}>0$ thuộc dưới trên vòng tròn, v₀ < 0, thuộc nửa trên vòng tròn

Cách 3: Dùng máy tính cầm tay Casio Fx 570es

Cơ sở:

Một dao động điều hòa $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$ có thể biểu diễn bằng một số phức

$\overline{x}=A\angle \varphi =A{{e}^{i\varphi }}=A\cos \varphi +i.A\sin \varphi =a+bi$

Phương pháp: $\overline{x}={{x}_{0}}-\frac{{{v}_{0}}}{\omega }i=A\angle \varphi \Leftrightarrow x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$

Thao tác bấm máy:

Bấm nhập: ${{x}_{0}}-\frac{{{v}_{0}}}{\omega }i$

(Màn hình sẽ hiện$A\angle \varphi $ , đó là biên độ A và pha ban đầu φ).

B: BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà theo phương ngang trong 100 s nó thực hiện được 50 dao động và cách vị trí cân bằng 5 cm thì có tốc độ $5\pi \sqrt{3}$ (cm/s). Lấy π² = 10. Viết phương trình dao động điều hoà của vật dạng hàm cos, nếu chọn gốc thời gian là lúc:

a) Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

b) Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

c) Vật đi qua vị trí có tọa độ − 5cm theo chiều âm với vận tốc $5\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right)$

Hướng dẫn

Chu kỳ: $T=\frac{\Delta t}{n}=\frac{100}{50}=2\left( s \right).$ Tần số góc: $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right)$

Biên độ $\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=10\left( cm \right)$

a) $0-\frac{\pi .10}{\pi }i\xrightarrow[{}]{shift\,23=}10\angle -\frac{1}{2}\pi \Leftrightarrow x=10\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\left( cm \right)$

b) $0-\frac{-\pi .10}{\pi }i\xrightarrow[{}]{shift\,23}10\angle \frac{1}{2}\pi \Leftrightarrow x=10\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)cm$

c) $-5-\frac{5\sqrt{3}\pi }{\pi }i\xrightarrow[{}]{shift}10\angle \frac{2}{3}\pi \Leftrightarrow x=10\cos \left( \pi t+\frac{2\pi }{3} \right)\left( cm \right)$

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Lúc t = 0, li độ ${{x}_{0}}=-\sqrt{2}(cm)$ vận tốc ${{v}_{0}}=-\pi \sqrt{2}(cm/s)$ và gia tốc ${{a}_{0}}=\sqrt{2}{{\pi }^{2}}(cm/{{s}^{2}})$. Viết phương trình dao động của vật dưới dạng hàm số cos

A. x = 2cos(πt − π/3) cm. B. x = 4cos(πt + 5π/6) cm.

C. x = 2cos(πt + 3π/4) cm. D. x = 4cos(πt − π/6) cm.

Hướng dẫn

Tần số góc: $\omega =\sqrt{-\frac{{{a}_{0}}}{{{x}_{0}}}}=\pi \left( rad/s \right)$

Nhập số liệu theo công thức: ${{x}_{0}}-\frac{{{v}_{0}}}{\omega }i$ sẽ được:

\[-\sqrt{2}-\frac{-\pi \sqrt{2}}{\pi }i\xrightarrow[{}]{shift\,23}2\angle \frac{3}{4}\pi \Leftrightarrow x=2\cos \left( \pi t+\frac{3\pi }{4} \right)\left( cm \right)\Rightarrow \] Chọn C.

Ví dụ 3: (ĐH − 2011) Một chất điểm dao động điêu hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là $40\sqrt{3}$ cm/s. Lấy π² = 3,14. Phương trình dao động của chất điểm là

A. x= 6cos(20t − π/6) (cm). B. x = 4cos(20t + π/3) (cm).

C. x = 4cos(20t − π/3) (cm). D. x = 6cos(20t + π/6) (cm).

Hướng dẫn

Không cần tính toán đã biết chắc chắn ω = 20 (rad/s). Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2 cm theo chiều âm nên chuyển động tròn đều phải nằm ở nửa trên vòng tròn

=> chỉ có thể là B hoặc D.

Để ý x₀ = Acosφ thì chỉ B thỏa mãn => chọn B.

Ví dụ 4: Vật dao động điều hòa với tần số góc 2π (rad/s), vào thời điểm t = 0, quả cầu đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Vào thời điểm t = 1/12 (s) quả cầu có li độ z = 5 cm. Phương trình dao động là

A. x = 10sin(2πt + π) cm. B. x = 10sin(2πt) cm.

C. x = 5sin(2πt + π/2) cm. D. x = 5sin(2πt) cm.

Hướng dẫn

Khi t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương nên: $x=A\sin 2\pi t$

${{x}_{\left( \frac{1}{12} \right)}}=A\sin 2\pi .\frac{1}{12}\Leftrightarrow 5cm=A\sin \frac{\pi }{6}\Rightarrow A=10cm\Rightarrow $ Chọn B.

Ví dụ 5: (ĐH − 2013): Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 10 cm,

chu kì 2 s. Tại thời điểm t = 0 s vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:

A. $x=10\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,\left( cm \right).$ B. $x=10\cos \left( 2\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\,\left( cm \right).$

C. $x=10\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\,\left( cm \right).$ D. $x=10\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,\left( cm \right).$

Hướng dẫn

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right)$. Tại thời điểm t = 0 s vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương $\Rightarrow x=A\sin \varphi =A\cos \left( \pi t-\pi /2 \right)\Rightarrow $ Chọn D.

C: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình x = Acos(ωt + φ), tại thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ x = 0,5.A và đang chuyển động về gốc tọa độ thì pha ban đầu φ bằng:

A. –π/6. B. π/6. C. + π/3. D. – π/3

Bài 2: Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 4cos(πt + φ) cm. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ 2 cm và đang chuyển động ngược chiều dương của trục toạ độ. Pha ban đầu của dao động điều hòa là

A. −π/6. B. π/6. C. + π/3. D. − π/3.

Bài 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc ω. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí mà vận tốc bằng 0 và sau đó nó đi theo chiều âm. Phương trình dao động của vật là

A. x = Asin(ωt). B. x = Acos(ωt − π/2).

C. x = Asin(ωt + π/2). D. x = Acos(ωt + πt).

Bài 4: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc ω. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí mà vận tốc bằng 0 và sau đó nó đi theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là

A. x = Asin(ωt). B. x = Acos(ωt − π/2).

C. x = Asin(ωt + π/2). D. x = Acos(ωt + πt).

Bài 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc ω. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí có toạ độ âm và có vận tốc bằng −ωA/2. Phương trình dao động là

A. x = Asin(ωt). B. x = Asin(ωt – 2π /3).

C. x = Asin(ωt + 2π/3). D. x = Asin(ωt + π).

Bài 6: Một vật có khối lượng 500 g, dao động với cơ năng 10 (mJ), theo phương trình: x = Asin(ωt + φ) cm (t đo bằng giây), ở thời điểm t = 0, nó có vận tốc 0,1 (m/s) và gia tốc −$\sqrt{3}$(m/s²). Tính A và φ

A. 4 cm, π/2. B. 2 cm, π/3. C. 4 cm, π/4. D. 2 cm, −π/3.

Bài 7 : Con lắc lò xo có khối lượng 1 kg, dao động điều hòa với cơ năng 125 mJ theo phương trình x = Acos(ωt + φ) cm. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc 25 cm/s và gia tốc −6,25$\sqrt{3}$ m/s². Pha ban đầu φ bằng

A. −π/6. B. π/6. C. −π/3. D. π/3.

Bài 8: Một vật dao động điều hòa với tần số 10/π Hz. Khi t = 0 vật có li độ −4 cm và có vận tốc −80 cm/s. Phương trình dao động của vật là :

A. x = 4cos(20t + π/4 )(cm). B. x = 4sin(20t + π/4) (cm),

C. x = $4\sqrt{2}$cos(20t + 3π/4) (cm). D. x = $4\sqrt{2}$sin(20t − π/4) (cm).

Bài 9: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang trên đoạn thẳng dài 2a với chu kì 2 s. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí x = a/2 theo chiều âm của quỹ đạo. Khi t = 1/6 (s) li độ dao động của vật là

A. 0. B. −a. C. +a/2. D. −ạ/2.

Bài 10: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, trong đoạn thẳng MN dài 16 cm. Chọn gốc tọa độ vị trí cân bằng O, t = 0 lúc vật cách vị trí cân bằng 4 cm và đang chuyển động nhanh dần theo chiều dương. Pha ban đầu của dao động trong phương trình dạng cos là

A. φ = π/6. B. φ = −π/3. C. φ = π/3. D. φ = −2π/3.

Bài 11: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = Acos(ωt + φ). Ở thời điểm ban đầu t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Biết rằng, trong khoảng thời gian 1/60 s đầu tiên, vật đi được đoạn đường bằng 0,5A$\sqrt{3}$. Tần số góc ω và pha ban đầu φ của dao động lần lượt là

A. 10π rad/s và π/2. B. 20π rad/s và π/2.

C. 10π rad/s và −π/2. D. 20π rad/s và −π/2.

Bài 12: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất cách nhau 0,2 m là 0,75 s. Chọn thời điểm t = 0 là lúc vật chuyển động nhanh dần theo chiều dương Ox và có độ lớn vận tốc là 0,2π/3 (m/s). Phương trình dao động của vật là

A. x = 10cos(4πt/3 + π/3) (cm). B. x = 10cos(4πt/3 – 5π/6) (cm).

C. x = 10cos(3πt/4 + π/3) (cm). D. x = 10cos(4πt/3 − π/3) (cm).

Bài 13: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(ωt + φ) trên một quỹ đạo thẳng dài 10 cm. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí x = 2,5 cm và đi theo chiều dương thì pha ban đầu của dao động là

A. π/3. B. π/6. C. −π/3. D. 2π/3.

Bài 14: Con lắc lò xo dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng. Trục tọa độ có gốc vị trí cân bằng, phương dọc theo trục của lò xo. Khi vật đi qua vị trí cân bằng, vận tốc có độ lớn 20π cm/s. Gia tốc khi vật tới biên là 2 m/s². Thời điểm ban đầu của vật có li độ − $10\sqrt{2}$cm và chuyển động về biên. Lấy π² = 10. Phương trình dao động của vật là

A. x = 20cos(πt + π/4) (cm). B. x = 20cos(πt – 3π/4) (cm).

C. X = 20sin(πt – 3π/4) (cm). D. x = 20sin(πt − π/4) (cm).

Bài 15: Con lắc lò xo có khối lượng m = 100 g. dao động điều hòa x = Acos(ωt + φ) với biên độ A = 2 cm. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc v = 20$\sqrt{3}$cm/s và gia tốc a = 4 m/s². Pha ban đầu của dao dộng là

A. − π/6. B. π/6. C. −π/3. D. −2π/3.

Bài 16: Con lắc lò xo có khối lượng m = 100 g, dao động điều hòa x = Acos(ωt + φ) với cơ năng 32 mJ. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc v = 40$\sqrt{3}$ cm/s và gia tốc a = 8 m/s². Pha ban đầu của dao động là

A. − π/6. B. π/6. C. −2π/3. D. −π/3.

Bài 17: Một vật dao động điều hòa cứ sau 0,25 s thì động năng lại bằng thế năng. Quãng đường vật đi được trong 0,5 s là 16 cm. chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:

A. x = 8cos(2πt − π/2) (cm). B. x = 4cos(4πt + π/2) (cm),

C. x = 8cos(2πt + π/2) (cm). D. x = 4cos(4πt − π/2) (cm).

Bài 18: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 0,2 kg và lò xo có độ cứng k = 80 N/m dao động điều hòa theo phương nằm ngang. Lấy gốc thời gian t = 0 là lúc vật nặng có vận tốc v₀ = 0,2m/s và gia tốc a₀ =$4\sqrt{3}$ m/s². Phương trình dao động của con lắc lò xo là

A. x = 2cos(20t + π/6) (cm). B. x = 2cos(20t − π/6) (cm),

C. x = 2cos(20t + 5π/6) (cm). D. x = 2cos(20t – 5π/6) (cm).

Bài 19: Một con lắc lò xo có m = 500 g, dao động điều hòa với cơ năng 10 mJ. Lấy gốc thời gian khi vật có vận tốc 0,1 m/s và gia tốc là −$\sqrt{3}$m/s². Pha ban đầu của dao động là

A. π/2. B. −π/6. C. −π/4. D. −π/3.

Bài 20: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox với tẩn số f = 4 Hz, biết toạ độ ban đầu của vật là x = 3 cm và sau đó 1/24 s thì vật lại trở về toạ độ ban đầu. Phương trình dao động của vật là

A. x = $3\sqrt{3}$ cos(8πt − π/6) cm. B. x = $2\sqrt{3}$cos(8πt − π/6) cm.

C. x = 6cos(8πt + πt/6) cm. D. x = $3\sqrt{2}$cos(8πt + π/3) cm.

Bài 21: Tại thời điểm ban đầu (t = 0), vật dao động điều hòa chuyên độnn qua vị trí x = 2cm ra xa vị trí cân bằng với tốc độ 20 cm/s. Biết chu kì của dao động T = 0.628 s. Viết phương trình dao động cho vật?

A. $x=2\sqrt{2}\cos \left( 10t+3\pi /4 \right)cm.$ B. $x=2\sqrt{2}\cos \left( 10t+\pi /4 \right)cm.$

C. $x=2\sqrt{2}\cos \left( 10t-\pi /4 \right)cm.$ D. $x=2\sqrt{2}\cos \left( 10t-3\pi /4 \right)cm.$

Bài 22: Treo vật khối lượng m = 100 g vào lò xo thẳng đứng độ cứng k = 100 N/m. Kéo vật đến vị trí lò xo bị dãn 3 cm rồi thảnhẹ cho vật chuyển động. Lấy g = 10 m/s². Chọn trục toạ độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên, gốc thời gian là lúc thả vật. Phương trình chuyển động của vật

A. x = 4cosl0πt cm. B. x = 3cos10πt cm.

C. x = 4cos(10πt + π) cm. D. x = 2cos(10πt + π) cm.

Bài 23: Một vật dao động điều hòa với biên độ 6 cm, chu kì 0,05 s. Chọn gốc thời gian là lúc vật có li độ x = −$3\sqrt{3}$ cm theo chiều âm. Phương trình dao động của vật là

A. x = 6cos(40πt − π/3) cm. C. x = 6cos(40πt + 5πt/6) cm.

B. x = 6cos(40πt + 2π/3) cm. D. x = 6cos(40πt + π/3) cm.

Bài 24: Một vật dao động điều hoà: Ở li độ x₁ = −2 cm vật có vận tốc ${{v}_{1}}=8\pi \sqrt{3}$ cm/s, ở li độ ${{x}_{2}}=2\sqrt{3}$ cm vật có vận tốc ${{v}_{2}}=8\pi $ cm/s. Chọn t = 0 là thời điểm vật có li độ x = −A/2 và đang chuyển động xa vị trí cân bằng. Phương trình dao động của vật là

A. x = 4cos(4πt + 2π/3) cm. B. x = 8cos(4πt + πt/3) cm.

C. x = 4cos(4πt – 2π/3) cm. D. x = 8cos(4πt − π/3) cm.

Bài 25: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m = 100 gam và lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m dao động điều hòa với biên độ 9cm. Lấy gốc thời gian là lúc con lắ đang đi theo chiều dương của trục tọa độ, tại đó thế năng bằng ba lần động năng và có tốc độ đang giảm. Lấy π² = 10. Phương trình dao động của con lắc là:

A. x = 9cos(10πt − π/6) cm. B. x = 9cos(10πt + π/6) cm.

C. x = 9cos(10πt – 5π/6) cm. D. x = 9cos(10πt + 5π/6) cm.

Bài 26: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì 1 s. Tại thời điểm t = 2,5 s tính từ lúc bắt đầu dao động, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −2 cm và vận tốc v = − $4\pi \sqrt{3}$ cm/s. Phương trình dao động của chất điểm có thể là

A. x = 4cos(2πt + 2π/3) cm. B. x = 4cos(2πt – 2π/3) cm.

C. x = 4cos(2πt − π/3) cm. D. x = 4cos(2πt + π/3) cm..

ĐÁP ÁN

1.C	2.C	3.C	4.D	5.B	6.B	7.A	8.C	9.A	10.D
11.D	12.B	13.C	14.C	15.D	16.C	17.A	18.D	19.B	20.B
21.C	22.D	23.C	24.A	25.A	26.C