BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THỜI GIAN (P1)

 

A: LÍ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Thời gian ngắn nhất đi từ x1 đến vị trí cân bằng và đến vị trí biên

Phương pháp chung:

Cách 1: Dùng VTLG

Xác định góc quét tương ứng với sự dịch chuyển: $\Delta \varphi $

Thời gian: $t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }$

 

 Cách 2: Dùng PTLG

 

2. thời gian ngắn nhất đi từ x1 đến x2

Phương pháp chung:

ách 1: Dùng VTLG $\Delta t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }$

Cách 2: Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ x1 đến điểm có li độ x2:

$\Delta t=\left| \arccos \frac{{{x}_{2}}}{A}-\arccos \frac{{{x}_{1}}}{A} \right|\div \omega =\left| \arcsin \frac{{{x}_{2}}}{A}-\arcsin \frac{{{x}_{1}}}{A} \right|\div \omega $

 

 

 Kinh nghiệm: Đi với dạng toán này cũng không nên dùng cách 1 vì mất nhiều thời gian!

B: BÀI TẬP

Ví dụ 1:  Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 10 (cm) và tần số góc 10 (rad/s). Khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ li độ +3,5 cm đến vị trí cân bằng là

A. 0,036 s.              B. 0,121 s.              C. 2,049 s.              D. 6,951 s. 

Hướng dẫn

Cách 1: Dùng VTLG

Thời gian ngắn nhất dao động điều hòa đi từ x = 3,5 cm đến x = 0 bằng thời gian chuyển động tròn đều đi tròn đều đi từ M đến N: $t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }$ mà

$\sin \Delta \varphi =\frac{3,5}{10}\Rightarrow \Delta \varphi \approx 0,3576\left( rad \right)$

Nên $t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }=\frac{0,3576}{10}\approx 0,036\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn A.

 Cách 2: Dùng PTLG

\[{{t}_{1}}=\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{{{x}_{1}}}{A}=\frac{1}{10}\operatorname{asin}\frac{3,5}{10}\approx 0,036\left( s \right)\Rightarrow \] Chọn A.

Ví dụ 2: Vật dao động điều hoà, thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = +A đến vị trí x = A/3 là 0,1 s. Chu kì dao động của vật là

A. 1,85 s.                B. 1,2 s.                            C. 0,51 s.                D. 0,4 s.

Hướng dẫn

\[{{t}_{2}}=\frac{1}{\omega }\arccos \frac{{{x}_{1}}}{A}=\frac{T}{2\pi }\arccos \frac{{{x}_{1}}}{A}\Rightarrow 0,1=\frac{T}{2\pi }\arccos \frac{1}{3}\Rightarrow T\approx 0,51\left( s \right)\Rightarrow \] Chọn C

Ví dụ 3 : Vật dao động điều hoà với biên độ A. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ A/2 đến vị trí có li độ A là 0,2 s. Chu kì dao động của vật là:

A. 0,12 s.                B. 0,4 s.                             C. 0,8 s.                             D. 1,2 s.

Hướng dẫn

Dựa vào trục phân bố thời gian ta tính được thời gian ngắn nhất đi từ x = A/2 đến x = A là T/6. Do đó: $\frac{T}{6}=0,2\Rightarrow T=1,2\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn D.

Chú ý: Khoảng thời gian trong một chu kì vật cách vị trí cân bằng một khoảng

+ Nhỏ hơn x1: $\Delta t=4{{t}_{1}}=4\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{{{x}_{1}}}{A}$

+ Lớn hơn x1 là: $\Delta t=4{{t}_{2}}=4\frac{1}{\omega }\arccos \frac{{{x}_{1}}}{A}$

Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì 1 s với biên độ 4,5 cm. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật cách vị trí cân bằng một khoảng nhỏ hơn 2 cm là

A. 0,29 s.                B. 16,80 s.              C. 0,71 s.                D. 0,15 s.

Hướng dẫn

$\Delta t=4.\frac{1}{\omega }\arcsin \frac{{{x}_{1}}}{A}=4.\frac{T}{2\pi }\arcsin \frac{{{x}_{1}}}{A}=4.\frac{1}{2\pi }\arcsin \frac{2}{4,5}\approx 0,29\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn A.

Kinh nghiệm: Nếu x1 trùng với các giá trị đặc biệt thì nên dựa vào trục phân bố thời gian.

Ví dụ 5: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật cách vị trí cân bằng một khoảng lớn hơn nửa biên độ là

A. T/3.                    B. 2T/3.                            C. T/6.                               D. T/2.

Hướng dẫn

Dựa vào trục phân bố thời gian ta tính được: $\Delta t=4.\frac{T}{6}=\frac{2T}{3}\Rightarrow $ Chọn B.

Ví dụ 6 : Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ x1 > 0. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí cân bằng gấp ba thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí biên x = +A. Chọn phương án đúng.

A. x1 = 0,924.         B. x1 = 0,5A$\sqrt{3}$ .    C. x1 = 0,5A$\sqrt{2}$ .      D. x1 = 0,021A.

Hướng dẫn

Ta có hệ:

Ví dụ 7: Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ x1 (mà x1 $\ne $ 0; ±A), bất kể vật đi theo hướng nào thì cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất $\Delta t$nhất định vật lại cách vị trí cân bằng một khoảng như cũ. Chọn phương án đúng.

A. ${{x}_{1}}=\pm 0,25A.$         B. ${{x}_{1}}=\pm 0,5A\sqrt{3}.$        C. ${{x}_{1}}=\pm 0,5A\sqrt{2}.$         D. ${{x}_{1}}=\pm 0,5A$

Hướng dẫn

Theo yêu cầu của bài toán suy ra: $\Delta t=2{{t}_{1}}=2{{t}_{2}}$ mà ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\frac{T}{4}$ nên ${{t}_{1}}={{t}_{2}}=\frac{T}{8}$

Do đó; \[{{x}_{1}}=A\sin \frac{2\pi {{t}_{1}}}{T}=A\sin \frac{2\pi }{T}\frac{T}{8}=\frac{A}{\sqrt{2}}\Rightarrow \] Chọn C.

 

Chú ý: Bài toán tìm khoảng thời gian để vật đi từ li độ x1 đến x2 là bài toán cơ bản, trên cơ s bài toán này chúng ta có thể làm được rất nhiều các bài toán mở rộng khác nhau như:

* Tìm thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 đến vận tốc hay gia tốc nào đó.

* Tìm khoảng thời gian từ lúc bắt đầu khảo sát dao động đến khi vật qua tọa độ x nào đó lần thứ n .

* Tìm khoảng thời gian từ lúc bắt đầu khảo sát dao động đến khi vật nhận vận tốc hay gia tốc nào đó lần thứ n .

* Tìm vận tốc hay tốc độ trung bình trên một quỹ đạo chuyển động nào đó.

* Tìm khoảng thời gian mà lò xo nén, dãn trong một chu kì chuyển động.

* Tìm khoảng thời gian mà bóng đèn sáng, tối trong một chu kì hay trong một khoảng thời gian nào đó.

* Tìm khoảng thời gian mà tụ điện C phóng hay tích điện từ giá trị q1 đến q2.

* Các bài toán ngược liên quan đến khoảng thời gian,...

Ví dụ 8: Một vật dao động điều hoà có phương trình li độ $x=8\cos \left( 7t+\pi /6 \right)$ cm. Khoảng thời gian tối thiểu để vật đi từ li độ 7 cm đến vị trí có li độ 2 cm là

A. 1/24 s.                B. 5/12 s.                C. 6,65 s.                D. 0,12 s.

Hướng dẫn

$\Delta t=\left| \arccos \frac{{{x}_{2}}}{A}-\arccos \frac{{{x}_{1}}}{A} \right|\frac{1}{\omega }=\left| \arccos \frac{2}{8}-\arccos \frac{7}{8} \right|\frac{1}{2}\approx 0,12\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn D.

Qui trình bấm máy: $shift\,\cos \left( 2\div 8 \right)-shift\,\cos \left( 7\div 8 \right)=\div 7=$

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà có phương trình li độ x = 8cos(7πt + π/6) cm. Khoảng thời gian tối thiểu để vật đi từ li độ $4\sqrt{2}$ cm đến li độ  − 4$\sqrt{3}$  cm là

A. 1/24 s.                B. 5/12 s.                C. 1/6 s.                            D. 1/12 s.

Hướng dẫn

Dựa vào trục phân bổ thời gian ta tính được:

$\Delta t=\frac{T}{24}+\frac{T}{24}+\frac{T}{12}+\frac{T}{12}+\frac{T}{24}=\frac{7T}{24}=\frac{7}{24}\frac{2\pi }{\omega }=\frac{1}{12}\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn D.

Chú ý: Nếu vật chuyển động qua lại nhiều lần thì ta cộng các khoảng thời gian lại.

Ví dụ 10: Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ cực đại về điểm có li độ bằng một nửa biên độ cực đại mà véctơ vận tốc có hướng cùng với hướng của trục toạ độ là

A. T/3.                    B. 5T/6.                            C. 2T/3.                            D. T/6.

Hướng dẫn

Dựa vào trục phân bô thời gian ta tính được: $\Delta t=3.\frac{T}{4}+\frac{T}{12}=\frac{5T}{6}\Rightarrow $ Chọn B       

Ví dụ 11: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa với biên độ A, thời gian ngắn nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ x1 =  −  A đến vị trí có li độ x2 = A/2 là 1 s. Chu kì dao động của con lắc là:

A. 6 s.           B. 1/3 s.                             C. 2 s.                     D. 3 s.

Hướng dẫn

Dựa vào trục phân bổ thời gian ta tính được:

$\Delta t=\frac{T}{4}+\frac{T}{12}=\frac{T}{3}=1\left( s \right)\Rightarrow T=3\left( s \right)\Rightarrow $ Chọn B

Ví dụ 12: Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đoạn thẳng. Trên đoạn thẳng đó có bảy điểm theo đúng thứ tự M1, M2, M3, M4, M5, M6 và M7 với M4 là vị trí cân bằng. Biết cứ 0,05 s thì chất điểm lại đi qua các điểm M1, M2, M3, M4, M5, M6 và M7 (tốc độ tại M1 và M7 bằng 0). Tốc độ của nó lúc đi qua điểm M3 là 20π cm/s. Biên độ A bằng       

A. 4 cm.                 B. 6 cm.                             C. 12 cm.                D. 4 /3 cm.

Hướng dẫn

Dựa vào trục phân bố thời gian. 

$\frac{T}{12}=0,05\Rightarrow T=0,6s\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{10\pi }{3}\left( rad/s \right)$

$\left| {{x}_{{{M}_{3}}}} \right|=\frac{A}{2}\Rightarrow \left| {{v}_{{{M}_{3}}}} \right|=\frac{\omega A\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 20\pi =\frac{\frac{10\pi }{3}A\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A=4\sqrt{3}\left( cm \right)\Rightarrow $ Chọn D.

Ví dụ 13: Vật đang dao động điều hòa dọc theo đường thẳng. Một điểm M nằm cố định trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vật, tại thời điểm t thì vật xa điểm M nhất, sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là Δt thì vật gần điểm M nhất. Độ lớn vận tốc của vật sẽ bằng nửa vận tốc cực đại vào thời điểm gần nhất là

A. $t+\Delta t/3.$             B. $t+\Delta t/6.$              C. $t+\Delta t/4.$                  D. $0,5t+0,25\Delta t.$

Hướng dẫn

Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm M xa nhất đến điểm M gần nhất là nửa chu kỳ nên:$\Delta t=\frac{T}{2}\Rightarrow T=2\Delta t$

Khi $\left| v \right|=\frac{{{v}_{\max }}}{2}$ thì từ $\frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{A}^{2}}{{\omega }^{2}}}=1$

 suy ra $\left| x \right|=\frac{A\sqrt{3}}{2}$ . Thời gian ngắn nhất vật đi từ x = A đến $x=\frac{A\sqrt{3}}{2}$ là $\frac{T}{12}$

Thời điểm gần nhất vật có $v=\frac{{{v}_{\max }}}{2}:t+\frac{T}{12}=t+\frac{\Delta t}{6}\Rightarrow $ Chọn B.

Bài viết gợi ý: