- Lý thuyết
1. Qui đồng mẫu số các phân số.
- Là biến đổi các phân số sao cho chúng vẫn giữ nguyên giá trị nhưng có cùng chung 1 mẫu.
- Qui tắc: + Rút gọn các phân số đến tối giản + Tìm 1 bội chung của các mẫu (BCNN)
+ Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu + Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. VD quy đồng 5/8 ; 4/25 ; 7/42
2. So sánh phân số.
- Cùng mẫu số: Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn, có tử bé hơn thì bé hơn, tử số bằng nhau thì bằng nhau
- Cùng tử số: Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn
- Tử số và mẫu số khác nhau: Quy đồng để đưa về cùng tử số hoặc mẫu số rồi so sánh.
- Ba cách để so sánh 2 phân số: + Qui đồng mẫu rồi so sánh các tử với nhau + Qui đồng tử rồi so sánh các mẫu với nhau. + Chọn 1 phân số làm trung gian.
- So sánh phân số với 1: * a/b < 1 $\Leftrightarrow $ a < b * a/b = 1 $\Leftrightarrow $ a = b * a/b > 1 $\Leftrightarrow $ a > b
II. Bài tập
Bài 1: a/ Quy đồng mẫu các phân số sau: \[\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{38};\frac{-1}{12}\]
b/ Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số sau: \[\frac{9}{30};\frac{98}{80};\frac{15}{1000}\]
Hướng dẫn
a/ 38 = 2.19; 12 = 22.3 BCNN(2, 3, 38, 12) = 22. 3. 19 = 228
\[\frac{1}{2}=\frac{114}{228};\frac{1}{3}=\frac{76}{228};\frac{1}{38}=\frac{6}{228};\frac{-1}{12}=\frac{-19}{288}\]
b/ \[\frac{9}{30}=\frac{3}{10};\frac{98}{80}=\frac{49}{40};\frac{15}{1000}=\frac{3}{200}\] BCNN(10, 40, 200) = 23. 52 = 200
\[\frac{9}{30}=\frac{3}{10}=\frac{6}{200};\frac{98}{80}=\frac{94}{40}=\frac{245}{200};\frac{15}{100}=\frac{30}{200}\]
Bài 2: Các phân số sau có bằng nhau hay không? a/ \[\frac{-3}{5}\] và \[\frac{39}{-65}\]; b/ \[\frac{-9}{27}\] và \[\frac{-41}{123}\]
c/ \[\frac{-3}{4}\] và \[\frac{4}{-5}\] d/ \[\frac{2}{-3}\] và \[\frac{-5}{7}\]
Hướng dẫn
- Có thể so sánh theo định nghĩa hai phân số bằng nhau hoặc quy đồng cùng mẫu rồi so sánh
- Kết quả:
a/ \[\frac{-3}{5}\] = \[\frac{39}{-65}\]; b/ \[\frac{-9}{27}\] = \[\frac{-41}{123}\] c/ \[\frac{-3}{4}\] > \[\frac{4}{-5}\] d/ \[\frac{2}{-3}\] > \[\frac{-5}{7}\]
Bài 3: Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số:
a/ \[\frac{25.9-25.17}{-8.80-8.10}\] và \[\frac{48.12-48.15}{-3.270-3.30}\] b/ \[\frac{{{2}^{5}}.7+{{2}^{5}}}{{{2}^{5}}{{.5}^{2}}-{{2}^{5}}.3}\] và \[\frac{{{3}^{4}}.5-{{3}^{6}}}{{{3}^{4}}.13+{{3}^{4}}}\]
Hướng dẫn
a/ \[\frac{25.9-25.17}{-8.80-8.10}\] = \[\frac{125}{200}\] ; \[\frac{48.12-48.15}{-3.270-3.30}\] = \[\frac{32}{200}\] b/ \[\frac{{{2}^{5}}.7+{{2}^{5}}}{{{2}^{5}}{{.5}^{2}}-{{2}^{5}}.3}=\frac{28}{77}\] ; \[\frac{{{3}^{4}}.5-{{3}^{6}}}{{{3}^{4}}.13+{{3}^{4}}}=\frac{-22}{77}\]
Bài 4: Tìm tất cả các phân số có tử số là 15 lớn hơn \[\frac{3}{7}\] và nhỏ hơn \[\frac{5}{8}\]
Hướng dẫn
Gọi phân số phải tìm là \[\frac{15}{a}\] (a \[\ne 0\]), theo đề bài ta có
\[\frac{3}{7}<\frac{15}{a}<\frac{5}{8}\]. Quy đồng tử số ta được \[\frac{15}{35}<\frac{15}{a}<\frac{15}{24}\]
Vậy ta được các phân số cần tìm là \[\frac{15}{34}\] ; \[\frac{15}{33}\]; \[\frac{15}{32}\] ;\[\frac{15}{31}\] ;\[\frac{15}{30}\] ;\[\frac{15}{29}\] ;\[\frac{15}{28}\] ;\[\frac{15}{27}\] ;\[\frac{15}{26}\] ;\[\frac{15}{25}\]
Bài 5: Tìm tất cả các phân số có mẫu số là 12 lớn hơn \[\frac{-2}{3}\] và nhỏ hơn \[\frac{-1}{4}\]
Hướng dẫn
Cách thực hiện tương tự. Ta được các phân số cần tìm là \[\frac{-7}{12}\]; \[\frac{-6}{12}\];\[\frac{-5}{12}\];\[\frac{-4}{12}\]
Bài 6: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự
a/ Tămg dần: \[\frac{-5}{6};\frac{7}{8};\frac{7}{24};\frac{16}{17};\frac{-3}{4};\frac{2}{3}\] b/ Giảm dần:\[\frac{-5}{8};\frac{7}{10};\frac{-16}{19};\frac{20}{23};\frac{214}{315};\frac{205}{107}\]
Hướng dẫn
a/ ĐS: \[\frac{-5}{6};\frac{-3}{4};\frac{7}{24};\frac{2}{3};\frac{7}{8};\frac{16}{17}\] b/ \[\frac{205}{107};\frac{20}{23};\frac{7}{10};\frac{214}{315};\frac{-5}{8};\frac{-16}{19}\]
Bài 7: Quy đồng mẫu các phân số sau:
a/ \[\frac{17}{20}\], \[\frac{13}{15}\] và \[\frac{41}{60}\] b/ \[\frac{25}{75}\], \[\frac{17}{34}\] và \[\frac{121}{132}\]
Hướng dẫn
a/ Nhận xét rằng 60 là bội của các mẫu còn lại, ta lấy mẫu chung là 60.
Ta được kết quả \[\frac{17}{20}\] = \[\frac{51}{60}\] \[\frac{13}{15}\] = \[\frac{52}{60}\] \[\frac{41}{60}\]= \[\frac{41}{60}\]
b/ - Nhận xét các phân số chưa rút gọn, ta cần rút gọn trước ta có
\[\frac{25}{75}\] = \[\frac{1}{3}\], \[\frac{17}{34}\] = \[\frac{1}{2}\] và \[\frac{121}{132}\]= \[\frac{11}{12}\]
Kết quả quy đồng là: \[\frac{4}{12};\frac{6}{12};\frac{11}{12}\]
Bài 8: Cho phân số \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Hỏi phân số \[\frac{a}{a+b}\] có phải là phân số tối giản không?
Hướng dẫn
Giả sử a, b là các số tự nhiên và ƯCLN(a, b) = 1 (vì \[\frac{a}{b}\] tối giản)
nếu d là ước chung tự nhiên a của a + b thì
(a + b)\[\vdots \]d và a \[\vdots \] d
Suy ra: [(a + b) – a ] = b \[\vdots \] d, tức là d cũng bằng 1.
kết luận: Nếu phân số \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản thì phân số \[\frac{a}{a+b}\] cũng là phân số tối giản.
Bài 9: Quy đồng mẫu số
a/ 3/8 ; 19/120 ; 8/15 b/ 5/12 ; 3/8 ; 5/18 ; 23/24
c/ 1/2 ; 2/3 ; 3/4 ; 4/5 ; 5/6 ; 6/7 ; 7/8 ; 8/9 ; 9/10
d/ 25/75 ; 17/34 ; 121/132 e/ 1078/2541 ; 9764/36615 ; 56272/263775.
f/ 4/5 ; 3/10 ; 5/12 ; 19/30 ; 1/3 ; 5/6 ¾
g/ 1/7 ; 1/6 ; 9/14 ; 5/12 ; 16/21 ; 1/3 ; 7/8
Bài 10: Tìm các phân số có tử là 3, > 1/8 nhưng < 1/7
Hướng dẫn
Phân số cần tìm có dạng 3/x (x \[\in \] N*) . Ta có: 1/8 < 3/x < 1/7 => 8 > x/3 > 7
Hay 21 < x < 24. Vậy 3/22 và 3/23
Bài 11: Tìm các phân số có tử là 1000, > 1/9 nhưng < 1/8. Có tất cả bao nhiêu phân số như vậy?
Hướng dẫn ( như bài 1 có 999 phân số)
Bài 12: Tìm phân số a/b biết rằng nếu thêm 6 vào tử và thêm 21 vào mẫu của nó thì giá trị của phân số a/b không đổi. Có bao nhiêu phân số như vậy?
Hướng dẫn
Các phân số thỏa mãn đề bài có dạng 2k/7k (k \[\in \] N*)
Bài 13: Cho phân số a/b < 1. Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên
n ≠ 0 vào cả tử và mẫu.
Hướng dẫn
a/b < 1 $\Leftrightarrow $ a < b $\Leftrightarrow $ a.n < b.n $\Leftrightarrow $ a.b + a.n < a.b + b.n $\Leftrightarrow $ a.(b + n) < b(a + n)
$\Leftrightarrow $ a/b < (a + n)/(b + n)
Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b < 1 thì giá trị của phân số đó tăng thêm.
Bài 14: Cho phân số a/b > 1. Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên
n ≠ 0 vào cả tử và mẫu.
Hướng dẫn
a/b > 1 $\Leftrightarrow $ a > b $\Leftrightarrow $ a.n > b.n $\Leftrightarrow $ a.b + a.n > a.b + b.n $\Leftrightarrow $ a.(b + n) > b(a + n)
$\Leftrightarrow $ a/b > (a + n)/(b + n)
Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b > 1 thì giá trị của phân số đó giảm đi.
Bài 15: So sánh 2 phân số sau:
A = (19991999 + 1)/(19992000 + 1) B = (19991998 + 1)/(19991999 + 1)
Hướng dẫn
Rõ ràng A < 1. Ta có : a/b < 1 $\Leftrightarrow $ a < b $\Leftrightarrow $ a.n < b.n $\Leftrightarrow $ a.b + a.n < a.b + b.n $\Leftrightarrow $ a.(b + n) < b(a + n) $\Leftrightarrow $ a/b < (a + n)/(b + n) (n \[\in \] N*)
Ta có: A = (19991999 + 1)/(19992000 + 1) < (19991999 + 1) + 1998/(19992000 + 1) + 1998
= (19991999 + 1999)/(19992000 + 1999) = (19991998 + 1) .1999/(19991999 + 1) .1999
= (10001998 + 1) /(19991999 + 1) = B . Vậy A < B.
Bài 16: So sánh: (1315 + 1)/(1316 + 1) và (1316 + 1)/(1317 + 1)
Bài 17: Tìm tất cả các phân số có mẫu là số có 1 chữ số và mỗi phân số này đều lớn hơn 7/9 và < 8/9.
Bài 18: CMR: với d, b ≠ 0; nếu a/b < c/d thì a/b < (a + c)/(b + d) < c/d
