Các dạng toán về quy đồng phân số có giải chi tiết

Lý thuyết

1. Qui đồng mẫu số các phân số.

- Là biến đổi các phân số sao cho chúng vẫn giữ nguyên giá trị nhưng có cùng chung 1 mẫu.

- Qui tắc: + Rút gọn các phân số đến tối giản + Tìm 1 bội chung của các mẫu (BCNN)

+ Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu + Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. VD quy đồng 5/8 ; 4/25 ; 7/42

2. So sánh phân số.

- Cùng mẫu số: Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn, có tử bé hơn thì bé hơn, tử số bằng nhau thì bằng nhau

- Cùng tử số: Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn

- Tử số và mẫu số khác nhau: Quy đồng để đưa về cùng tử số hoặc mẫu số rồi so sánh.

- Ba cách để so sánh 2 phân số: + Qui đồng mẫu rồi so sánh các tử với nhau + Qui đồng tử rồi so sánh các mẫu với nhau. + Chọn 1 phân số làm trung gian.

- So sánh phân số với 1: * a/b < 1 $\Leftrightarrow$ a < b * a/b = 1 $\Leftrightarrow$ a = b * a/b > 1 $\Leftrightarrow$ a > b

II. Bài tập

Bài 1: a/ Quy đồng mẫu các phân số sau: $\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{38};\frac{-1}{12}$

b/ Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số sau: $\frac{9}{30};\frac{98}{80};\frac{15}{1000}$

Hướng dẫn

a/ 38 = 2.19; 12 = 2².3 BCNN(2, 3, 38, 12) = 2². 3. 19 = 228

$\frac{1}{2}=\frac{114}{228};\frac{1}{3}=\frac{76}{228};\frac{1}{38}=\frac{6}{228};\frac{-1}{12}=\frac{-19}{288}$

b/ $\frac{9}{30}=\frac{3}{10};\frac{98}{80}=\frac{49}{40};\frac{15}{1000}=\frac{3}{200}$ BCNN(10, 40, 200) = 2³. 5² = 200

$\frac{9}{30}=\frac{3}{10}=\frac{6}{200};\frac{98}{80}=\frac{94}{40}=\frac{245}{200};\frac{15}{100}=\frac{30}{200}$

Bài 2: Các phân số sau có bằng nhau hay không? a/ $\frac{-3}{5}$ và $\frac{39}{-65}$ ; b/ $\frac{-9}{27}$ và $\frac{-41}{123}$

c/ $\frac{-3}{4}$ và $\frac{4}{-5}$ d/ $\frac{2}{-3}$ và $\frac{-5}{7}$

Hướng dẫn

- Có thể so sánh theo định nghĩa hai phân số bằng nhau hoặc quy đồng cùng mẫu rồi so sánh

- Kết quả:

a/ $\frac{-3}{5}$ = $\frac{39}{-65}$ ; b/ $\frac{-9}{27}$ = $\frac{-41}{123}$ c/ $\frac{-3}{4}$ > $\frac{4}{-5}$ d/ $\frac{2}{-3}$ > $\frac{-5}{7}$

Bài 3: Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số:

a/ $\frac{25.9-25.17}{-8.80-8.10}$ và $\frac{48.12-48.15}{-3.270-3.30}$ b/ $\frac{{{2}^{5}}.7+{{2}^{5}}}{{{2}^{5}}{{.5}^{2}}-{{2}^{5}}.3}$ và $\frac{{{3}^{4}}.5-{{3}^{6}}}{{{3}^{4}}.13+{{3}^{4}}}$

Hướng dẫn

a/ $\frac{25.9-25.17}{-8.80-8.10}$ = $\frac{125}{200}$ ; $\frac{48.12-48.15}{-3.270-3.30}$ = $\frac{32}{200}$ b/ $\frac{{{2}^{5}}.7+{{2}^{5}}}{{{2}^{5}}{{.5}^{2}}-{{2}^{5}}.3}=\frac{28}{77}$ ; $\frac{{{3}^{4}}.5-{{3}^{6}}}{{{3}^{4}}.13+{{3}^{4}}}=\frac{-22}{77}$

Bài 4: Tìm tất cả các phân số có tử số là 15 lớn hơn $\frac{3}{7}$ và nhỏ hơn $\frac{5}{8}$

Hướng dẫn

Gọi phân số phải tìm là $\frac{15}{a}$ (a $\ne 0$ ), theo đề bài ta có

$\frac{3}{7}<\frac{15}{a}<\frac{5}{8}$ . Quy đồng tử số ta được $\frac{15}{35}<\frac{15}{a}<\frac{15}{24}$

Vậy ta được các phân số cần tìm là $\frac{15}{34}$ ; $\frac{15}{33}$ ; $\frac{15}{32}$ ; $\frac{15}{31}$ ; $\frac{15}{30}$ ; $\frac{15}{29}$ ; $\frac{15}{28}$ ; $\frac{15}{27}$ ; $\frac{15}{26}$ ; $\frac{15}{25}$

Bài 5: Tìm tất cả các phân số có mẫu số là 12 lớn hơn $\frac{-2}{3}$ và nhỏ hơn $\frac{-1}{4}$

Hướng dẫn

Cách thực hiện tương tự. Ta được các phân số cần tìm là $\frac{-7}{12}$ ; $\frac{-6}{12}$ ; $\frac{-5}{12}$ ; $\frac{-4}{12}$

Bài 6: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự

a/ Tămg dần: $\frac{-5}{6};\frac{7}{8};\frac{7}{24};\frac{16}{17};\frac{-3}{4};\frac{2}{3}$ b/ Giảm dần: $\frac{-5}{8};\frac{7}{10};\frac{-16}{19};\frac{20}{23};\frac{214}{315};\frac{205}{107}$

Hướng dẫn

a/ ĐS: $\frac{-5}{6};\frac{-3}{4};\frac{7}{24};\frac{2}{3};\frac{7}{8};\frac{16}{17}$ b/ $\frac{205}{107};\frac{20}{23};\frac{7}{10};\frac{214}{315};\frac{-5}{8};\frac{-16}{19}$

Bài 7: Quy đồng mẫu các phân số sau:

a/ $\frac{17}{20}$ , $\frac{13}{15}$ và $\frac{41}{60}$ b/ $\frac{25}{75}$ , $\frac{17}{34}$ và $\frac{121}{132}$

Hướng dẫn

a/ Nhận xét rằng 60 là bội của các mẫu còn lại, ta lấy mẫu chung là 60.

Ta được kết quả $\frac{17}{20}$ = $\frac{51}{60}$ $\frac{13}{15}$ = $\frac{52}{60}$ $\frac{41}{60}$ = $\frac{41}{60}$

b/ - Nhận xét các phân số chưa rút gọn, ta cần rút gọn trước ta có

$\frac{25}{75}$ = $\frac{1}{3}$ , $\frac{17}{34}$ = $\frac{1}{2}$ và $\frac{121}{132}$ = $\frac{11}{12}$

Kết quả quy đồng là: $\frac{4}{12};\frac{6}{12};\frac{11}{12}$

Bài 8: Cho phân số $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Hỏi phân số $\frac{a}{a+b}$ có phải là phân số tối giản không?

Hướng dẫn

Giả sử a, b là các số tự nhiên và ƯCLN(a, b) = 1 (vì $\frac{a}{b}$ tối giản)

nếu d là ước chung tự nhiên a của a + b thì

(a + b) $\vdots$ d và a $\vdots$ d

Suy ra: [(a + b) – a ] = b $\vdots$ d, tức là d cũng bằng 1.

kết luận: Nếu phân số $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản thì phân số $\frac{a}{a+b}$ cũng là phân số tối giản.

Bài 9: Quy đồng mẫu số

a/ 3/8 ; 19/120 ; 8/15 b/ 5/12 ; 3/8 ; 5/18 ; 23/24

c/ 1/2 ; 2/3 ; 3/4 ; 4/5 ; 5/6 ; 6/7 ; 7/8 ; 8/9 ; 9/10

d/ 25/75 ; 17/34 ; 121/132 e/ 1078/2541 ; 9764/36615 ; 56272/263775.

f/ 4/5 ; 3/10 ; 5/12 ; 19/30 ; 1/3 ; 5/6 ¾

g/ 1/7 ; 1/6 ; 9/14 ; 5/12 ; 16/21 ; 1/3 ; 7/8

Bài 10: Tìm các phân số có tử là 3, > 1/8 nhưng < 1/7

Hướng dẫn

Phân số cần tìm có dạng 3/x (x $\in$ N^*) . Ta có: 1/8 < 3/x < 1/7 => 8 > x/3 > 7

Hay 21 < x < 24. Vậy 3/22 và 3/23

Bài 11: Tìm các phân số có tử là 1000, > 1/9 nhưng < 1/8. Có tất cả bao nhiêu phân số như vậy?

Hướng dẫn ( như bài 1 có 999 phân số)

Bài 12: Tìm phân số a/b biết rằng nếu thêm 6 vào tử và thêm 21 vào mẫu của nó thì giá trị của phân số a/b không đổi. Có bao nhiêu phân số như vậy?

Hướng dẫn

Các phân số thỏa mãn đề bài có dạng 2k/7k (k $\in$ N^*)

Bài 13: Cho phân số a/b < 1. Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên

n ≠ 0 vào cả tử và mẫu.

Hướng dẫn

a/b < 1 $\Leftrightarrow$ a < b $\Leftrightarrow$ a.n < b.n $\Leftrightarrow$ a.b + a.n < a.b + b.n $\Leftrightarrow$ a.(b + n) < b(a + n)

$\Leftrightarrow$ a/b < (a + n)/(b + n)

Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b < 1 thì giá trị của phân số đó tăng thêm.

Bài 14: Cho phân số a/b > 1. Hỏi phân số thay đổi như thế nào nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên

n ≠ 0 vào cả tử và mẫu.

Hướng dẫn

a/b > 1 $\Leftrightarrow$ a > b $\Leftrightarrow$ a.n > b.n $\Leftrightarrow$ a.b + a.n > a.b + b.n $\Leftrightarrow$ a.(b + n) > b(a + n)

$\Leftrightarrow$ a/b > (a + n)/(b + n)

Vậy nếu ta thêm cùng 1 số tự nhiên n ≠ 0 vào cả tử và mẫu của phân số a/b > 1 thì giá trị của phân số đó giảm đi.

Bài 15: So sánh 2 phân số sau:

A = (1999¹⁹⁹⁹ + 1)/(1999²⁰⁰⁰ + 1) B = (1999¹⁹⁹⁸ + 1)/(1999¹⁹⁹⁹ + 1)

Hướng dẫn

Rõ ràng A < 1. Ta có : a/b < 1 $\Leftrightarrow$ a < b $\Leftrightarrow$ a.n < b.n $\Leftrightarrow$ a.b + a.n < a.b + b.n $\Leftrightarrow$ a.(b + n) < b(a + n) $\Leftrightarrow$ a/b < (a + n)/(b + n) (n $\in$ N^*)