Chuyên đề: DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
I/ NHẬN XÉT MỞ ĐẦU:
Khi giải các bài toán về phân số, ta thường gặp các bài toán tính tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo quy luật. VD:
3 + 3 + 3 + .... + 3
4.7 7.10 10. 13 73.76
Dễ nhận thấy các phân số có tử không thay đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở dưới mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu sau.
Phương pháp chung để giải các bài toán dạng này là dùng công thức:
m = 1 _ 1
b. ( b+m) b b+m
Khi đó ta có thể viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số , số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp. Kết quả còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuói cùng, khi đó phép tính thực hiện được dễ dàng.
Nếu mỗi số hạng phức tạp hơn, chẳng hạn:
2m
b. ( b+m ).(b+ 2m )
thì ta dùng công thức:
2m = 1 _ 1
b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng phát hiện được ngay quy luật mà phải qua một số phép biến đổi dựa trên tính chất cơ bản của phân số như nhân cả tử và mẫu với cùng một số để tìm quy luật của mẫu, áp dụng hợp lý tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để biến đổi tử đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu...
II/ CÁC VÍ DỤ :
VD1: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4 ..........
b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176..........
Giải
Trước hết ta có nhận xét sau:
Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là:
a/ 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +.........+ 1/ 100.101
Các phân số trong tổng có tử bằng nhau và đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu nên ta dùng công thức biến đổi:
m/ b. ( b+ m ) = 1/ b - 1/ b+m
Vậy 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +.........+ 1/ 100.101 = 1 – 1/ 101 = 100/ 101
b/ Trước hết ta viết các mẫu thành tích theo quy luật:
6 = 1.6 ; 66 = 6. 11 ; 176 = 11. 16......
số hạng thứ n của dãy có dạng : ( 5n – 4 ) ( 5n + 1 )
=> số hạng thứ 100 của dãy có dạng : ( 5. 100 – 4 ) ( 5. 100 + 1 ) = 496 . 501
lại có 1- 1/6 = 5/ 1.6 ; 1/6 – 1/11 = 5/ 6.11
Từ đó: 1/6 + 1/ 66 + 1/ 176 + .... + 1/ 496. 501 = 1/5 .( 1 – 1/6 + 1/6 - 1/11 + 1/11 - .......+ 1/ 496 - 1/ 501 ) = 1/5 . ( 1 – 1/500) = 1/5 . 500/ 501 = 100/ 501
VD2: Tính tổng
B= 1/ 1.2.3 + 1/ 2.3 4 + 1/ 3.4.5 + .... + 1/ 48.49.50
NX: Mỗi số hạng của tổng có dạng
2m = 1 _ 1
b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Mà ta có : 1/ 1.2 - 1/ 2.3 = 2/ 1.2.3
1/ 2.3 - 1/3.4 = 2/ 2.3.4
Từ đó => B = 1/2 . ( 2/ 1.2.3 + 2/ 2,3.4 + ... + 2/ 48. 49. 50 ) = 1/2 .( 1/ 1.2 – 1/ 2.3 + 1/ 2.3 - .....- 1/ 49.50)
= 1/2. ( 1/ 1.2 – 1/ 49.50 ) = 1/ 2 . 1224/ 2450 = 306/ 1225.
VD3: Tính tổng
C = 1/10 + 1/15 + 1/21 + ... + 1/ 120
Ta nhận xét thấy mẫu của các số hạng trong tổng khi phân tích thành tích thì không có quy luật nào cả nên không áp dụng được công thức. Tuy nhiên nếu nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng với 2 ( Không làm thay đổi giá trị của phân số) thì sẽ dễ dàng viết được các mẫu theo quy luật.
Nhân cả tử và mẫu của C với 2, khi đó
C = 2/ 20 + 2/ 30 + 2/ 42 +... + 2/ 240
= 2/ 4.5 + 2/ 5.6 + 2/ 6.7 +... + 2/ 15.16
= 2. ( 1/ 4.5 + 1/ 5.6 + 1/ 6.7 + ... + 1/ 15.16)
= 2. ( 1/4- 1/5 + 1/5 - ... – 1/ 16)
= 2. ( 1/4 - 1/16) = 2. 3/16 = 3/ 8.
VD4 Tính giá trị của biểu thức
a/ P = 1+ 1/3 + 1/5 + ... + 1/97 + 1/99
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
NX: Trước hết ta ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp để làm xuất hiện mẫu chung giống với mẫu của các phân số tương ứng ở số chia như sau:
P = ( 1 + 1/99) + ( 1/3 + 1/97) + ... + ( 1/ 49 + 1/ 50)
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100/ 1.99 + 100/ 3.97 + 100/ 5. 95 + ... + 100/ 49.51
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100. ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + .... + 1/ 49. 51 )
2 . ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + .... + 1/ 49. 51 )
= 100/ 2 = 50
Vậy giá trị của biểu thức P = 50
b/ Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
99/1 + 98/2 + 97/3 +... + 1/99
NX: Trong VD này chúng ta lại phải biến đổi số chia để làm xuát hiện các biểu thức có thể rút gọn được với các biểu thức trên tử. Ta có:
Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
100-1 + 100-2 + 100- 3 +... + 100- 99
1 2 3 99
= 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
(100/1 + 100/ 2 + 100/3 +... + 100/ 99) – ( 1/1 + 2/2 + 3/3 +... + 99/99)
= 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
100 + 100. ( 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/99) – 99
= 1/ 100
Vậy giá trị của biểu thức Q = 1/ 100
VD 5: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy
\[1\frac{1}{3}\]\[\]; 1\[\frac{1}{8}\] ; 1\[\frac{1}{15}\] ; 1\[\frac{1}{24}\] ; 1\[\frac{1}{35}\]....
NX: Ta viết lại các só hạng của dãy :
\[\frac{4}{3}\]; \[\frac{9}{8}\]; \[\frac{16}{15}\]; \[\frac{25}{24}\]; \[\frac{36}{35}\]...
<=> \[\frac{{{2}^{2}}}{1.3}\]; \[\frac{{{3}^{2}}}{2.4}\]; 
; 
; 
...
Số thứ 98 có dạng : \[\frac{{{99}^{2}}}{98.100}\]
Gọi tích của 98 số trong dãy là A, ta có :
A= \[\frac{{{2}^{2}}}{1.3}.\frac{{{3}^{2}}}{2.4}.\frac{{{4}^{2}}}{3.5}.\frac{{{5}^{2}}}{4.6}.\frac{{{6}^{2}}}{5.7}....\frac{{{99}^{2}}}{98.100}\] =\[\frac{(2.3.4.5....99).(2.3.4.5....99)}{(1.2.3.4....98).(3.4.5.6....100)}\]
TS thứ nhất của A TS thứ 2 của A
=
=
III/ ÁP DỤNG:
Bài 1: Tính tổng:
a, A= \[\frac{6}{15.18}\] + \[\frac{6}{18.21}\] + \[\frac{6}{21.24}\] + ... + \[\frac{6}{87.90}\]
b, B= \[\frac{{{3}^{2}}}{8.11}\] + \[\frac{{{3}^{2}}}{11.14}\] + \[\frac{{{3}^{2}}}{14.17}\] + ... + \[\frac{{{3}^{2}}}{197.200}\]
c, C= \[\frac{1}{25.27}\] + \[\frac{1}{27.29}\] + \[\frac{1}{29.31}\] + ...+\[\frac{1}{73.75}\]
d, D= \[\frac{15}{90.94}\] + \[\frac{15}{94.98}\] + \[\frac{15}{98.102}\] + ... + \[\frac{15}{146.150}\]
*/Giải
a, A= \[\frac{6}{15.18}\] + \[\frac{6}{18.21}\] + \[\frac{6}{21.24}\] + ... + \[\frac{6}{87.90}\]
= 2.\[\left( \frac{3}{15.18}+\frac{3}{18.21}+\frac{3}{21.24}+...+\frac{3}{87.90} \right)\]
= 2.\[\left( \frac{1}{15}-\frac{1}{18}+\frac{1}{18}-\frac{1}{21}+...+\frac{1}{87}-\frac{1}{90} \right)\]= 2.\[\left( \frac{1}{15}-\frac{1}{90} \right)\]=2.\[\left( \frac{5}{90} \right)\]=\[\frac{1}{9}\]
b, B= \[\frac{{{3}^{2}}}{8.11}\] + \[\frac{{{3}^{2}}}{11.14}\] + \[\frac{{{3}^{2}}}{14.17}\] + ... + \[\frac{{{3}^{2}}}{197.200}\]
=3.\[\left( \frac{3}{8.11}+\frac{3}{11.14}+\frac{3}{14.17}+...+\frac{3}{197.200} \right)\]
=3.\[\left( \frac{1}{8}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{14}+...+\frac{1}{197}-\frac{1}{200} \right)\]= 3.\[\left( \frac{1}{8}-\frac{1}{200} \right)\]=\[\frac{9}{25}\]
c, C= \[\frac{1}{25.27}\] + \[\frac{1}{27.29}\] + \[\frac{1}{29.31}\] + ...+\[\frac{1}{73.75}\]
= \[\frac{1}{2}.\left( \frac{2}{25.27}+\frac{2}{27.29}+\frac{2}{29.31}+...+\frac{2}{73.75} \right)\]
=\[\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{25}-\frac{1}{27}+\frac{1}{27}-\frac{1}{29}+\frac{1}{29}\_\frac{1}{31}+...+\frac{1}{73}-\frac{1}{75} \right)\]
=\[\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{25}-\frac{1}{75} \right)\]= \[\frac{1}{75}\]
d, D= \[\frac{15}{90.94}\] + \[\frac{15}{94.98}\] + \[\frac{15}{98.102}\] + ... + \[\frac{15}{146.150}\]
=\[\frac{15}{4}.\left( \frac{4}{90.94}+\frac{4}{94.98}+\frac{4}{98.102}+...+\frac{4}{146.150} \right)\]
=\[\frac{15}{4}.\left( \frac{1}{90}-\frac{1}{94}+\frac{1}{94}-\frac{1}{98}+\frac{1}{98}-\frac{1}{102}+...+\frac{1}{146}-\frac{1}{150} \right)\]
= \[\frac{15}{4}.\left( \frac{1}{90}-\frac{1}{150} \right)\]=\[\frac{1}{60}\]
Bài 2: CMR: Với mọi n \[\in \] N thì ta luôn có:
\[\frac{1}{6}+\frac{1}{66}+\frac{1}{176}+...+\frac{1}{(5n+1)(5n+6)}\] = \[\frac{n+1}{5n+6}\]
*/Giải
Biến đổi VT ta có:
\[\frac{1}{6}+\frac{1}{66}+\frac{1}{176}+...+\frac{1}{(5n+1)(5n+6)}\] =\[\frac{1}{5}.\left( \frac{5}{1.6}+\frac{5}{6.11}+\frac{5}{11.16}+...+\frac{5}{(5n+1)(5n+6)} \right)\]
= \[\frac{1}{5}.\left( 1-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\text{-}\frac{1}{11}+\frac{1}{11}\text{-}\frac{1}{16}+...+\frac{1}{5n+1}\text{-}\frac{1}{5n+6}\text{ } \right)\]
= \[\frac{1}{5}.\left( 1-\frac{1}{5n+6} \right)\] = \[\frac{1}{5}.\left( \frac{5(n+1)}{5n+6} \right)\] =\[\frac{n+1}{5n+6}\] =VP => đpcm
Bài 3: Tìm x \[\in \]N biết:
a, x - \[\frac{20}{11.13}-\frac{20}{13.15}-\frac{20}{15.17}-...-\frac{20}{53.55}\] = \[\frac{3}{11}\]
b, \[\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x(x+1)}\]= \[\frac{2}{9}\]
*/Giải:
a, x - \[\frac{20}{11.13}-\frac{20}{13.15}-\frac{20}{15.17}-...-\frac{20}{53.55}\] = \[\frac{3}{11}\]
<=> x = \[\frac{3}{11}+\frac{20}{11.13}+\frac{20}{13.15}+\frac{20}{15.17}+...+\frac{20}{53.55}\]
<=> x = \[\frac{3}{11}+10\left( \frac{2}{11.13}+\frac{2}{13.15}+\frac{2}{15.17}+...+\frac{2}{53.55} \right)\]
<=> x = \[\frac{3}{11}+10\left( \frac{1}{11}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-...+\frac{1}{53}-\frac{1}{55} \right)\]
<=> x = \[\frac{3}{11}+10\left( \frac{1}{11}-\frac{1}{55} \right)\] = \[\frac{3}{11}+\frac{8}{11}\] =1
b, \[\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x(x+1)}\]= \[\frac{2}{9}\]
<=> \[\frac{2}{42}+\frac{2}{56}+\frac{2}{72}+...+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{2}{9}\]
<=> 2.\[\left( \frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right)=\frac{2}{9}\]
<=> 2.\[\left( \frac{1}{6}-\frac{1}{x+1} \right)=\frac{2}{9}\]
<=>\[\frac{1}{x+1}=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}\] <=> x+1 = 18
<=> x = 17
Bài 4: CMR:
a, A=\[\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{18.19.20}\] < \[\frac{1}{4}\]
b, B= \[\frac{36}{1.3.5}+\frac{36}{3.5.7}+\frac{36}{5.7.9}+...+\frac{36}{25.27.29}\] < 3
*/Giải:
a, A=\[\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{18.19.20}\] < \[\frac{1}{4}\]
Ta có:
A = \[\frac{1}{2}.\left( \frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{18.19.20} \right)\]
= \[\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{18.19}-\frac{1}{19.20} \right)\]
= \[\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{1.2}-\frac{1}{19.20} \right)=\frac{1}{2}.\frac{189}{380}\]=\[\frac{189}{760}\]
Mà \[\frac{189}{760}<\frac{189}{756}=\frac{1}{4}\] => A < \[\frac{1}{4}\]
b, B= \[\frac{36}{1.3.5}+\frac{36}{3.5.7}+\frac{36}{5.7.9}+...+\frac{36}{25.27.29}\] < 3
Ta có:
B = 9.\[\left( \frac{4}{1.3.5}+\frac{4}{3.5.7}+\frac{4}{5.7.9}+...+\frac{4}{25.27.29} \right)\]
= 9.\[\left( \frac{1}{1.3}-\frac{1}{3.5}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{5.7}+\frac{1}{5.7}-\frac{1}{7.9}+...+\frac{1}{25.27}-\frac{1}{27.29} \right)\]
= 9.\[\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{783} \right)=9.\frac{260}{783}=\frac{260}{87}\]
Mà \[\frac{260}{87}<\frac{261}{87}=3\] =>B < 3
Bài 5: CMR:
a, M = \[\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1\] (n\[\in \]N; n\[\ge \]2)
b, N = \[\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{1}{{{6}^{2}}}+\frac{1}{{{8}^{2}}}+...+\frac{1}{{{(2n)}^{2}}}<4\] (n\[\in \]N; n\[\ge \]2)
c, P = \[\frac{2!}{3!}+\frac{2!}{4!}+\frac{2!}{5!}+...+\frac{2!}{n!}<1\] (n\[\in \]N; n\[\ge \]3)
*/Giải:
a, M = \[\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1\]. áp dụng phương pháp làm trội
Ta có: M = \[\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{n.n}\] < \[\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1).n}\]
<=> M < \[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}\]
Mà \[1-\frac{1}{n}<1\]
=>M <1
b, N = \[\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{1}{{{6}^{2}}}+\frac{1}{{{8}^{2}}}+...+\frac{1}{{{(2n)}^{2}}}<4\]
Ta có: N = \[\frac{1}{{{2}^{2}}}.\left( \frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\]
Mà \[\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}\] <1 (theo phần a)
=> N <\[\frac{1}{{{2}^{2}}}\].1=\[\frac{1}{4}\]
c, P = \[\frac{2!}{3!}+\frac{2!}{4!}+\frac{2!}{5!}+...+\frac{2!}{n!}<1\]
Ta có: P=2!\[\left( \frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{n!} \right)\]=2!(\[\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{(n-2)(n-1)n}\]
=> P < 2.\[\left( \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{(n-1).n} \right)\]
<=> P < 2.\[\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{n} \right)=1-\frac{2}{n}<1\]
_________________________________________________
.
