Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ 1 - PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

 A.  MỤC TIÊU:

* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:

Định lí bổ sung:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì $\frac{\text{f(1)}}{\text{a - 1}}$ và $\frac{\text{f(-1)}}{\text{a + 1}}$ đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

1. Ví dụ 1: 3x² – 8x + 4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x² – 8x + 4 =  3x² – 6x  – 2x  + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x² – 8x + 4 =  (4x² – 8x  + 4)  - x² = (2x – 2)² – x² = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)

= (x – 2)(3x – 2)

Ví dụ 2:   x³ – x² - 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = $\pm 1;\pm 2;\pm 4$, chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm  của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta  tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2

Cách 1:

x³ – x² – 4 = $\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}-2x \right)+\left( 2x-4 \right)={{x}^{2}}\left( x-2 \right)+x(x-2)+2(x-2)$  = $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)$

Cách 2: ${{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4={{x}^{3}}-8-{{x}^{2}}+4=\left( {{x}^{3}}-8 \right)-\left( {{x}^{2}}-4 \right)=(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)-(x-2)(x+2)$

                             = $\left( x-2 \right)\left[ \left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)-(x+2) \right]=(x-2)({{x}^{2}}+x+2)$

Ví dụ 3: f(x) =  3x³ –  7x² + 17x – 5

Nhận xét: $\pm 1,\pm 5$ không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không  có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ

Ta nhận thấy x = $\frac{1}{3}$ là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là  3x – 1. Nên

f(x) =  3x³ –  7x² + 17x – 5 = $3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+2x+15x-5=\left( 3{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)-\left( 6{{x}^{2}}-2x \right)+\left( 15x-5 \right)$

       = ${{x}^{2}}(3x-1)-2x(3x-1)+5(3x-1)=(3x-1)({{x}^{2}}-2x+5)$

Vì ${{x}^{2}}-2x+5=({{x}^{2}}-2x+1)+4={{(x-1)}^{2}}+4>0$ với mọi x nên không phân tích được thành

nhân tử nữa

Ví dụ 4: x³ + 5x² + 8x  + 4

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1

x³ + 5x² + 8x  + 4 = (x³ + x² ) + (4x² + 4x) + (4x + 4) = x²(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x² + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)²

Ví dụ 5: f(x) = x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 4x² + 2

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:

x⁵ – 2x⁴ + 3x³ – 4x² + 2 = (x – 1)(x⁴  - x³  + 2 x²   - 2 x  - 2)

Vì x⁴  - x³  + 2 x²   - 2 x  - 2  không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa

Ví dụ 6: x⁴ + 1997x² + 1996x + 1997 = (x⁴ + x² + 1) + (1996x² + 1996x + 1996)

=  (x² + x  + 1)(x² - x  + 1) + 1996(x² + x  + 1)

=  (x² + x  + 1)(x² - x  + 1 + 1996) = (x² + x  + 1)(x² - x  + 1997)

Ví dụ 7: x² -  x - 2001.2002 = x² -  x - 2001.(2001 + 1)

= x² -  x – 2001² - 2001 = (x² – 2001²) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)

II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương

Ví dụ 1: 4x⁴ + 81 = 4x⁴  + 36x² + 81 - 36x² = (2x² + 9)² – 36x²

= (2x² + 9)² – (6x)² = (2x² + 9 + 6x)(2x² + 9 – 6x)

= (2x² + 6x + 9 )(2x² – 6x + 9)

Ví dụ 2: x⁸ + 98x⁴ + 1 = (x⁸ + 2x⁴ + 1 ) + 96x⁴

= (x⁴ + 1)² + 16x²(x⁴ + 1) + 64x⁴ - 16x²(x⁴ + 1) + 32x⁴

= (x⁴ + 1 + 8x²)²  – 16x²(x⁴ + 1 – 2x²) = (x⁴ + 8x²  + 1)²  - 16x²(x² – 1)²

= (x⁴ + 8x²  + 1)²  - (4x³ – 4x )²

= (x⁴ + 4x³ + 8x²  – 4x + 1)(x⁴ - 4x³ + 8x²  + 4x + 1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1: x⁷ + x² + 1 = (x⁷ – x)  + (x² + x + 1 ) =  x(x⁶ – 1) + (x² + x + 1 )

=  x(x³  - 1)(x³ + 1) + (x² + x + 1 ) = x(x – 1)(x² + x + 1 ) (x³ + 1) + (x² + x + 1)

=  (x² + x + 1)[x(x – 1)(x³ + 1) + 1] = (x² + x + 1)(x⁵ –  x⁴  +  x²  - x + 1)

Ví dụ 2: x⁷ + x⁵ + 1 = (x⁷ – x ) + (x⁵ – x² ) + (x²  + x + 1)

= x(x³ – 1)(x³ + 1) + x²(x³ – 1) + (x²  + x + 1)

= (x²  + x + 1)(x – 1)(x⁴ + x) + x² (x – 1)(x²  + x + 1) + (x²  + x + 1)

= (x²  + x + 1)[(x⁵ – x⁴ + x² – x) + (x³ – x² ) + 1] = (x²  + x + 1)(x⁵ – x⁴ + x³ – x + 1)

Ghi nhớ:

Các đa thức có dạng x^{3m + 1} + x^{3n + 2} + 1 như: x⁷ + x² + 1 ; x⁷ + x⁵ + 1 ; x⁸ + x⁴ + 1 ;

x⁵ + x + 1 ; x⁸ + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là  x² + x + 1

III. ĐẶT BIẾN PHỤ

Ví dụ 1:    x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128

              =  (x² + 10x) + (x² + 10x  + 24) + 128

Đặt  x² + 10x + 12 =  y, đa thức có dạng

     (y – 12)(y + 12) + 128 = y² – 144 + 128 = y² – 16 = (y + 4)(y – 4)

=  ( x² + 10x + 8 )(x²  + 10x  + 16 ) =  (x + 2)(x + 8)( x² + 10x + 8 )

Ví dụ 2:  A = x⁴ + 6x³ + 7x² – 6x + 1

Giả sử x $\ne $ 0 ta viết

x⁴ + 6x³ + 7x² – 6x + 1 =  x² ( x² + 6x + 7 – \[\frac{\text{6}}{\text{x}}\text{ + }\frac{\text{1 }}{{{\text{x}}^{\text{2}}}}\]) = x² [(x² + \[\frac{\text{1 }}{{{\text{x}}^{\text{2}}}}\]) + 6(x - \[\frac{\text{ 1 }}{\text{x}}\]) + 7 ]

Đặt  x - \[\frac{\text{ 1 }}{\text{x}}\] = y  thì  x² + \[\frac{\text{1 }}{{{\text{x}}^{\text{2}}}}\] = y² + 2, do đó

A = x²(y² + 2 + 6y + 7) = x²(y + 3)²  =  (xy + 3x)²  = [x(x - \[\frac{\text{ 1 }}{\text{x}}\])² + 3x]² = (x² + 3x – 1)²

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

A = x⁴ + 6x³ + 7x² – 6x + 1 = x⁴ + (6x³ – 2x² ) + (9x² – 6x + 1 )

    =  x⁴ + 2x²(3x – 1) + (3x – 1)²   = (x² + 3x – 1)²

Ví dụ 3:    A = $({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}){{(x+y+z)}^{2}}+{{(xy+yz\text{+zx)}}^{\text{2}}}$

= $\left[ ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})+2(xy+yz\text{+zx)} \right]({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})+{{(xy+yz\text{+zx)}}^{\text{2}}}$

Đặt  ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ = a, xy + yz + zx = b ta có

A =  a(a + 2b) + b² = a² + 2ab + b²  = (a + b)²   =  ( ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ + xy + yz + zx)²

Ví dụ 4: B = $2({{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}})-{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})}^{2}}-2({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}){{(x+y+z)}^{2}}+{{(x+y+z)}^{4}}$

Đặt  x⁴ + y⁴ + z⁴ = a,  x² + y²  + z² = b, x + y + z = c ta có:

B = 2a – b² – 2bc² + c⁴ = 2a – 2b²  + b² - 2bc² + c⁴ = 2(a – b²) + (b –c²)²

Ta lại có: a – b² =  - 2(${{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}}$) và b –c² = - 2(xy + yz + zx) Do đó;

B = - 4(${{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}}$) + 4 (xy + yz + zx)²

   =  $-4{{x}^{2}}{{y}^{2}}-4{{y}^{2}}{{z}^{2}}-4{{z}^{2}}{{x}^{2}}+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}+4{{y}^{2}}{{z}^{2}}+4{{z}^{2}}{{x}^{2}}+8{{x}^{2}}yz+8x{{y}^{2}}z+8xy{{z}^{2}}=8xyz(x+y+z)$

III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Ví dụ:  2x⁴ - 3x³ - 7x² + 6x + 8

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là  x - 2 do đó ta có:

    2x⁴ - 3x³ - 7x² + 6x + 8 = (x - 2)(2x³ + ax² + bx + c)

=  2x⁴ + (a - 4)x³ + (b - 2a)x² + (c - 2b)x - 2c  $\Rightarrow $

Suy ra:  2x⁴ - 3x³ - 7x² + 6x + 8 = (x - 2)(2x³ + x² - 5x  - 4)

Ta lại có 2x³ + x² - 5x  - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1 nhân tử là  x + 1 nên  2x³ + x² - 5x  - 4 = (x + 1)(2x²  - x - 4)

Vậy: 2x⁴ - 3x³ - 7x² + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x²  - x - 4)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

 

1) x3 - 7x + 6 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 3) x3 - 6x2 - x + 30 4) 2x3 - x2 + 5x + 3 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4 6) x2 + 2xy + y2  - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x4 - 32x2 + 1 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2

10)  64x4 + y4 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 12) x3 + 3xy + y3 - 1 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 14)  x8 + x + 1 15) x8 + 3x4 + 4 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 17) x4 - 8x + 63

Bài viết gợi ý: