Chuyên đề về hàm số bậc nhất y = ax + b

I. Định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng : y = f(x) = ax + b (a ≠0). Trong đó các hệ số gọi là :

b: tung độ góc ; a: hệ số góc.

II. Khảo sát hàm số bậc nhất

1. TXĐ: R.

2. Tính đơn điệu: Hàm số y = a(x) + b (a ≠0) xác định với mọi x thuộc R.

• Nếu hệ số a > 0 thì hàm số đồng biến.

• Nếu hệ số a < 0 thì hàm số nghịch biến.

3. Đồ thị của hàm số y = a(x) + b (a ≠0) là một đường thẳng:

• Cắt trục tung tại điểm có tung độ b, b gọi là tung độ góc.

• Song song đồ thị của hàm số y = ax.

III. Vị trí tương đối hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng \[\left( {{D}_{1}} \right)y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}\left( {{a}_{1}}\ne 0 \right)\] và \[\left( {{D}_{2}} \right)y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}\left( {{a}_{2}}\ne 0 \right)\]

(D1) song song (D2) khi: \[{{a}_{1}}={{a}_{2}}\] và \[{{b}_{1}}\ne {{b}_{2}}\]

(D1) trùng nhau (D2) khi: \[{{a}_{1}}={{a}_{2}}\] và \[{{b}_{1}}={{b}_{2}}\]

(D1) cắt nhau (D2) khi: \[{{a}_{1}}\ne {{a}_{2}}\]

IV. Phương pháp tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

• Bước 1. Gọi \[A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\] là giao điểm của \[\left( {{d}_{1}} \right):y={{f}_{1}}\left( x \right)\] và \[\left( {{d}_{2}} \right):y={{f}_{2}}\left( x \right)\]

• Bước 2. Phương trình hoành độ giao điểm: \[{{f}_{1}}\left( {{x}_{0}} \right)={{f}_{2}}\left( {{x}_{0}} \right)\]

• Bước 3. Giải phương trình tìm được \[{{x}_{0}}\], suy ra \[{{y}_{0}}\].

Tìm được \[A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\]

Giải bài tập mẫu:

Bài 1: Trên cùng một hệ trục tọa độ cho 2 đường thẳng: \[y=-2x\left( {{D}_{1}} \right)\]; \[y=x+3\left( {{D}_{2}} \right)\]

1. Vẽ \[\left( {{D}_{1}} \right)\] và \[\left( {{D}_{2}} \right)\] trên cùng hệ trục tọa độ.

2. Tìm tọa độ giao điểm A của \[\left( {{D}_{1}} \right)\] và \[\left( {{D}_{2}} \right)\] bằng phép toán.

Giải.

Vẽ \[\left( {{D}_{1}} \right):y=-2x\]

TXĐ: R; a = -2 < 0 \[\Rightarrow \] hàm số nghịch biến.

Bảng giá trị:

Đồ thị \[\left( {{D}_{1}} \right)\]là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A(1;-2).

Vẽ \[\left( {{D}_{2}} \right):y=x+3\]

TXĐ: R; a = 1 > 0 \[\Rightarrow \] hàm số đồng biến.

Bảng giá trị:

Đồ thị \[\left( {{D}_{2}} \right)\] là đường thẳng đi qua điểm B(0;3) và C(1;4).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( {{D}_{1}} \right)\] và \[\left( {{D}_{2}} \right)\]:

-2 = x + 3

\[\Leftrightarrow \] x = -1 \[\Rightarrow \]y = -1 + 3 = 2. Vậy: \[\left( {{D}_{1}} \right)\] cắt \[\left( {{D}_{2}} \right)\] tại M(-1;2).

Bài 2: Cho 2 đường thẳng: \[y=4x-5\left( {{D}_{1}} \right)\]; \[y=-2x+3\left( {{D}_{2}} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với \[\left( {{D}_{1}} \right)\] và cắt \[\left( {{D}_{2}} \right)\] tại điểm có tung độ bằng 5.

Giải.

Phương trình đường thẳng (D) có dạng: y = ax + b

\[\left( D \right)\text{//}\left( {{D}_{1}} \right):y=4x-5\Rightarrow a=4\]

\[\Rightarrow \left( D \right):y=4x+b\] ta có: \[\left( {{D}_{1}} \right)\] cắt \[\left( {{D}_{2}} \right)\] tại \[A\left( {{x}_{A}};5 \right)\]

\[A\left( {{x}_{A}};5 \right)\in \left( {{D}_{2}} \right):y=-2x+3\Leftrightarrow 5=-2{{x}_{A}}+3\]

\[\Leftrightarrow {{x}_{A}}=2:-2=-1\]

mà: \[A\left( -1;5 \right)\in \left( D \right):y=4x+b\]

\[\Leftrightarrow \] 5 = 4(-1) + b

\[\Leftrightarrow \] b = 9

Vậy \[\left( D \right):y=4x+9\]

Bài 3: Cho 2 đường thẳng: \[y=-3x+1\left( {{D}_{1}} \right)\]; \[y=2x+3\left( {{D}_{2}} \right)\], đường thẳng (D) vuông góc với \[\left( {{D}_{1}} \right)\] tại giao điểm của \[\left( {{D}_{1}} \right)\] và \[\left( {{D}_{2}} \right)\].

Giải.

Phương trình đường thẳng (D) có dạng: y = ax + b

(D) vuông góc \[\left( {{D}_{1}} \right)\]: \[y=-3x+1\] nên: \[-3.a=-1\Leftrightarrow a=\frac{1}{3}\]

\[\Rightarrow (D):y=\frac{1}{3}x+b\]

Phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( {{D}_{1}} \right)\] và \[\left( {{D}_{2}} \right)\]:

-3x + 1 = 2x – 9

\[\Leftrightarrow \] x = 2 \[\Rightarrow \] y = 2.2 – 9 = -5

\[\left( {{D}_{1}} \right)\] cắt \[\left( {{D}_{2}} \right)\] tại A(2;-5)

\[A\left( 2;-5 \right)\in \left( D \right):y=\frac{1}{3}x+b\]

\[\Leftrightarrow -5=\frac{1}{3}.2+b\]

\[\Leftrightarrow b=-\frac{17}{3}\]

Bài 4: Cho đường thẳng: y = (m – 1)x + 3m + 2 (Dm) ;