Định lý Talet và ứng dụng

ĐỊNH LÝ TALET VÀ ỨNG DỤNG

A. Lý thuyết

I. Đoạn thẳng tỉ lệ.

a.Tỉ số hai đoạn thẳng.

- Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị đo.

Như vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn.

b. Đoạn thẳng tỉ lệ

- Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’

nếu ta có tỉ lệ thức thức: \[\frac{\text{AB}}{\text{CD}}=\frac{\text{A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{C }\!\!'\!\!\text{ D }\!\!'\!\!\text{ }}\] hay\[\frac{\text{AB}}{\text{A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }}=\frac{\text{CD}}{\text{C }\!\!'\!\!\text{ D }\!\!'\!\!\text{ }}\]

- Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng có các tính chất như của tỉ lệ thức giữa các số.

          *1. Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ.

\[\frac{\text{AB}}{\text{CD}}=\frac{\text{A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{C }\!\!'\!\!\text{ D }\!\!'\!\!\text{ }}\Leftrightarrow AB.C'D'=A'B'.CD\]

           *2. Có thể hoán vị các trung, ngoại tỉ:

*3. Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\[\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}=\frac{\text{AB}\pm \text{ A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{CD}\pm \text{C }\!\!'\!\!\text{ D }\!\!'\!\!\text{ }}(CD\ne CD')\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{CD}}=\frac{\text{A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{C }\!\!'\!\!\text{ D }\!\!'\!\!\text{ }}\Leftrightarrow \frac{\text{AB}\pm \text{ CD}}{\text{CD}}=\frac{\text{A }\!\!'\!\!\text{ B }\!\!'\!\!\text{ }\pm \text{ C }\!\!'\!\!\text{ D }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{C }\!\!'\!\!\text{ D }\!\!'\!\!\text{ }}\]

II. Định lý Ta-lét trong tam giác.

a.Định lý  thuận:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

b. Định lý  đảo.

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

c. Hệ quả:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác đã cho.

Chú ý: Định lý Ta-lét thuận, đảo và hệ quả vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại:

3. Định lý Ta-lét tổng quát:

a. Định lý  thuận:

           Nhiều đường thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kỳ nhữngđoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Hướng chứng minh:

Ta có thể chứng minh định lý  này bằng cách qua A kẻ một đường thẳng song song với d’. Đường thẳng này cắt b, c theo thứ tự tại\[B'',C''\]. Dễ dàng chứng minh được\[AB''=A'B',\text{ }B''C''\text{ }=\text{ }B'C'\]. Sau đó áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác vào \[\vartriangle ACC''\]để có: 

b. Định lý  đảo.

          Cho 3 đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d’ tại các điểm theo thứ tự; A, B, C và A’, B’, C’ thoả mãn tỉ lệ thức:$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$mà 2 trong 3 đường thẳng a, b, c là song song với nhau thì 3 đường thẳng a, b, c song song với nhau.

c. Hệ quả (các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song)

Hệ quả 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trên hai đường thẳng song song những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Hướng chứng minh:

Ta có thể chứng minh hệ quả này bằng cách xét các tam giác AOB và AOC có AB//A’B’ và AC//A’C’. Theo hệ quả định lý Ta-lét trong tam giác ta có: $\frac{AB}{A'B'}=\frac{OA}{OA'}$ và$\frac{AC}{A'C'}=\frac{OA}{OA'}$ từ đó suy ra: $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$(đpcm)

Hệ quả 2: Nếu nhiều đường thẳng không song song định ra trên hai đường thẳng song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm .

Hướng chứng minh:

Gọi d₁, d₂, d₃ là ba đường thẳng không song song cắt hai đường thẳng song song a và b lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’ thỏa mãn:

Ta có thể chứng minh định lý  bằng cách gọi giao điểm của hai đường thẳng d₁, d₂ là O. Ta chứng minh d₃ cũng đi qua O.

Gọi C”  là giao điểm của OC và đường thẳng b. Ta chưng minh $C'\equiv C''$. Thật vậy, vì AC//A’C’ nên  hệ quả 1 ta có: $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C''}$ mà theo giả thiết ta có : $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$ . Từ đó suy ra $C'\equiv C''$. Hay d₃ đi qua O hay ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ đồng quy.

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng

 Dạng bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng là dạng bài tập hay và khó. Nếu như ở lớp 7, các hệ thức về đoạn thẳng còn đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh đoạn thẳng này bằng tổng hai đoạn thẳng khác,… thì lên lớp 8, 9 học sinh sau khi học xong về diện tích đa giác, định lý Ta-lét, tam giác đồng dạng, hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông và các kiến thức về đường tròn thì lớp bài tập về chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng và phong phú. Đối với các bài toán lớp 8, 9 thì định lý Ta-lét và các trường hợp đồng dạng của tam giác là những công cụ để giải toán

Câu 1:Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:                     c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.

Giải:

a) Từ $A{{E}^{2}}=EK.EG\Leftrightarrow \frac{AE}{EK}=\frac{EG}{AE}$.Vậy cần tìm mối liên hệ giữa các tỉ số $\frac{AE}{EK}$ và$\frac{EG}{AE}$với$\frac{BE}{ED}$ .

b) Từ$\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\Leftrightarrow \frac{AE}{AK}+\frac{AE}{AG}=1$

Từ đó tìm mối liên hệ của các tỉ số $\frac{AE}{AK};\frac{AE}{AG}$ với các tỉ số $\frac{DE}{DB}$và $\frac{BE}{BD}$

c) Vì giả thiết chỉ cho hình bình hành có các cạnh không đổi nên ta biểu diễn mối quan hệ của tích BK.DG với các cạnh của hình bình hành$BK.DG=AB.AD\Leftrightarrow \frac{BK}{AD}=\frac{BE}{ED}=\frac{AB}{DG}$.

Lời giải tóm tắt:

a/ Vì BK//AD và AB//DG nên theo hệ quảđịnh lý Ta-lét ta có:

$\frac{EK}{AE}=\frac{EB}{ED}=\frac{AE}{EG}\Rightarrow A{{E}^{2}}=EK.EG$ (đpcm)

b/ Từ$\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}$ suy ra: $\frac{AE}{AK}+\frac{AE}{AG}=1$

Vì BK//AD và AB//DG nên theo định lý Ta-lét ta có :

$\frac{AE}{AK}=\frac{DE}{DB},\frac{AE}{AG}=\frac{BE}{BD}$ nên $\frac{AE}{AK}+\frac{AE}{AG}=\frac{DE}{DB}+\frac{BE}{DB}=\frac{BD}{BD}=1$(đpcm)

c/ Vì BK//AD và KC//AD nên theo định lý Ta-lét ta có

          $\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{CG}$  (1)

          $\frac{KC}{AD}=\frac{CG}{DG}$  (2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được: $\frac{BK}{AD}=\frac{AB}{DG}\Rightarrow BK.DG=AB.AD$ (không đổi)

Câu 2: Cho D ABC, O là một điểm thuộc miền trong tam giác, qua O kẻ HF//BC, DE//AB, MK//AC với H, K Î AB; E, M Î BC; D, F Î AC.           Chứng minh rằng:                    a) \[\frac{\text{AK}}{\text{AB}}+\frac{BE}{\text{BC}}+\frac{CF}{\text{CA}}=1\]                      b) \[\frac{\text{DE}}{\text{AB}}+\frac{FH}{\text{BC}}+\frac{MK}{\text{CA}}=2\]

Giải:

a) KM//AC\[\Rightarrow \frac{\text{AK}}{\text{AB}}=\frac{\text{MC}}{\text{BC}}\]

          Qua F kẻ FI//AB, I Î BC:\[\frac{\text{CF}}{\text{CA}}=\frac{\text{CI}}{\text{CB}}=\frac{\text{EM}}{\text{BC}}\]

vậy suy ra: \[\frac{\text{AK}}{\text{AB}}+\frac{BE}{\text{BC}}+\frac{CF}{\text{CA}}=\frac{MC}{\text{BC}}+\frac{BE}{\text{BC}}+\frac{EM}{\text{BC}}=\frac{BC}{\text{BC}}=1\]

Vậy   \[\frac{\text{AK}}{\text{AB}}+\frac{BE}{\text{BC}}+\frac{CF}{\text{CA}}=1\] (Đpcm)

          b) FH//BC =>\[\frac{\text{FH}}{\text{BC}}=\frac{\text{AH}}{\text{AB}}\]

           KM//AC =>\[\frac{\text{KM}}{\text{AC}}=\frac{\text{BK}}{\text{AB}}\]

\[\frac{\text{FH}}{\text{BC}}+\frac{MK}{\text{AC}}+\frac{DE}{\text{AB}}=\frac{AH}{\text{AB}}+\frac{BK}{\text{AB}}+\frac{AK+BH}{\text{AB}}=\frac{AH+HB}{\text{AB}}+\frac{AK+KB}{\text{AB}}=2\]

nên ta được: (Đpcm)

Câu 3: Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b. Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng:$\frac{1}{OE}=\frac{1}{OG}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Giải:

Vì OE//AB nên theo hệ quả định lý  Ta-lét ta có: $\frac{OE}{AB}=\frac{DE}{DA}\Leftrightarrow \frac{OE}{a}=\frac{DE}{DA}$ (1)

Vì OE//CD nên theo hệ quả định lý  Ta-lét ta có: $\frac{OE}{DC}=\frac{AE}{DA}\Leftrightarrow \frac{OE}{b}=\frac{AE}{DA}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: $\frac{OE}{a}+\frac{OE}{b}=\frac{DE}{DA}+\frac{AE}{DA}=1$.

Do đó: $OE(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=1$ hay$\frac{1}{OE}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$Chứng minh tương tự ta có$\frac{1}{OG}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, nhiều đường thẳng đồng quy, nhiều điểm thẳng hang

Ở lớp 7 để chứng minh hai đường thẳng song song thì ta phải tìm các mối quan hệ về góc hoặc các mối quan hệ giữa các đường thẳng. Để chứng minh đồng quy ta thường áp dụng tính chất của các đường trong tam giác, ...Đến lớp 8, sau khi học song định lý Ta-lét đảo, từ hệ thức về độ dài đoạn thẳng cũng cho ta kết luận 2 đường thẳng song song.

          D ABC, \[.\frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}=>MN//BC\]

Như vậy định lý Ta-lét đảo cho ta thêm một cách chứng minh 2 đường thẳng song song.

Câu 1: D ABC, trung tuyến AM, phân giác AMC cắt AC tại H, phân giác góc AMB cắt AB tại K. Chứng minh rằng HK // BC.

Giải:

Theo giả thiết: MK là phân giác của $\widehat{\text{AMB}}$ =>\[\frac{\text{AK}}{\text{KB}}=\frac{\text{AM}}{\text{MB}}\]  

          MH là phân giác góc AMC suy ra: \[\frac{\text{AH}}{\text{HC}}=\frac{\text{AM}}{\text{MC}}\]

Mà MB = MC (theo giả thiết) nên suy ra:\[.\frac{\text{AH}}{\text{HC}}=\frac{\text{AK}}{\text{KB}}=>KH//BC\]      (định lý Ta-lét đảo)

Câu 2:D ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BE, CF, CA. Chứng minh rằng M, N, P, Q thẳng hàng.

Giải:

* Hướng dẫn tìm lời giải:

          Yêu cầu bài toán chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng. Giả thiết của bài toán cho các đường thẳng vuông góc, từ đó sẽ có các đường thẳng song song. Hãy chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng bằng cách chứng minh  nó cùng nằm trên một đường thẳng song song với EF.

          * Lời giải tóm tắt:

          Từ giả thiết suy ra:

HE // DQ  =>\[\frac{\text{AE}}{\text{EQ}}=\frac{\text{AH}}{\text{HD}}\](1) (theo định lý Ta-lét)    

HF/ / DM =>\[\frac{\text{AF}}{\text{FM}}=\frac{\text{AH}}{\text{HD}}\]       (2) (theo định lý Ta-lét)    

Từ (1) và (2) suy ra: \[\frac{\text{AE}}{\text{EQ}}=\frac{\text{AF}}{\text{FM}}=>EF//MQ\](*) (theo định lý Ta-lét đảo)

DM // CF suy ra:   \[\frac{\text{BM}}{\text{BF}}=\frac{\text{BD}}{\text{BC}}\](3) (theo định lý Ta-lét)

DN // CE suy ra:   \[\frac{\text{BN}}{\text{BE}}=\frac{\text{BD}}{\text{BC}}\](4) (theo định lý Ta-lét)

          Từ (3) và (4) suy ra: MN // EF                        (**)

          DQ // BE suy ra:   \[\frac{\text{CQ}}{\text{QE}}=\frac{\text{CD}}{\text{DB}}\](5) (theo định lý Ta-lét)

          DP // BF suy ra: \[\frac{\text{CP}}{\text{PF}}=\frac{\text{CD}}{\text{DB}}\](6) (theo định lý Ta-lét)

          Từ (5) và (6) suy ra: \[\frac{\text{CP}}{\text{PF}}=\frac{\text{CQ}}{\text{QE}}=>PQ//EF\]                        (***)

Kết hợp (*), (**) và (***) suy ra: M, N, P , Q thẳng hàng.

          * Nhận xét: Chứng minh các điểm thẳng hàng bằng cách chứng minh chúng cùng nằm trên một đường thẳng cố định.

Câu 3: Cho tứ giác ABCD, vẽ các đường thẳng d1//d2 // AC. d1 cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F. d2 cắt BA, BC theo thứ tự tại G và H (GH khác EF). Chứng minh rằng EG, DB, HF đồng quy.

Giải:

Gọi M, O, N lần lượt là giao điểm của EF, AC, GH với BD.

          ME // AO suy ra: \[\frac{\text{ME}}{\text{AO}}=\frac{\text{DM}}{\text{DO}}\]                            (1)

                   MF // OC suy ra    \[\frac{\text{MF}}{\text{OC}}=\frac{\text{DM}}{\text{DO}}\]                   (2)    

          Từ (1) và (2) suy ra: \[\frac{\text{MF}}{\text{OC}}=\frac{\text{ME}}{\text{AO}}\]               hay   \[\frac{\text{MF}}{\text{ME}}=\frac{\text{OC}}{\text{OA}}\]                  (*)    

          Chứng minh tương tự ta cũng được \[\frac{\text{NH}}{\text{NG}}=\frac{\text{OC}}{\text{OA}}\]                            (**)

Từ (*) và (**) suy ra:  \[\frac{\text{NH}}{\text{NG}}=\frac{\text{MF}}{\text{ME}}\]mà EF // GH nên suy ra: GE, BD, HF đồng quy

          Nhận xét: Hệ quả của định lý Ta-lét tổng quát cho ta một cách chứng minh đường thẳng đồng quy.

          Ở bài toán trên nếu GH = EF thì 3 đường thẳng GE, BD, HF có mối quan hệ với nhau như thế nào?

C. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Cho D ABC đều, trọng tâm G, M là một điểm bất kỳ nằm bên trong tam giác, đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A’, B’ , C’. Chứng minh:  \[\frac{A'M}{A'G}+\frac{B'M}{B'G}+\frac{C'M}{C'G}=3\]

Bài 2:

          a) Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC, điểm N trên cạnh CD sao cho: \[\frac{CN}{ND}=2\] .

Gọi giao điểm của AM, AN với BD là P, Q. Chứng minh:  \[{{S}_{(APQ)}}=\frac{1}{2}{{S}_{(AMN)}}\]          b) Chứng minh rằng kết luận của câu a) vẫn đúng nếu thay điều kiện : “M là trung điểm của BC, N trên cạnh CD sao cho: \[\frac{CN}{ND}=2\]” bởi điều kiện tổng quát hơn “M trên cạnh BC, N trên cạnh CD sao cho\[\frac{CN}{ND}=2\frac{BM}{MC}\] ”

Bài 3: Cho D ABC, I là giao điểm 3 đường phân giác , G là trọng tâm D ABC, biết AB = 8cm, AC = 12 cm, BC = 10 cm, .

          a) Chứng minh:  IG //  BC

          b) Tính IG = ?

Bài 4: Cho D ABC, trên cạnh BC, CA và AB lần lượt lấy các điểm M, N và P sao cho:\[\frac{BM}{MC}=\frac{CN}{CA}=\frac{AP}{AB}=k(k>0)\]

a) Chứng minh rằng: AM, BN, CP là độ dài ba cạnh của một tam giác mà ta kí hiệu là D(k).

          b) Tìm k để diện tích tam giác  D(k) nhỏ nhất.

Bài 5: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD bằng nhau. Chứng minh rằng các đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABD và ACD cũng bằng nhau.

Bài 6: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh đối diện tại A₁, B₁, C₁. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A₁B₁C₁ cắt các cạnh BC, CA, AB tại điểm thứ hai là A₂, B₂, C₂. Chứng minh AA₂, BB₂, CC₂ đồng quy.

Bài 7: Cho (O₁) và (O₂) cắt nhau tại hai điểm A, B. Các tiếp tuyến tại A và B của (O₁) cắt nhau ở K. Lấy điểm M nằm trên (O₁) không trùng A và B. Đường thẳng AM cắt (O₂) tại điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O₁) tại điểm thứ hai là C và đường thẳng AC cắt (O₂) tại điểm thứ hai là Q. Gọi H là giao điểm của PQ với đường thẳng MC. Chứng minh rằng: H là trung điểm của PQ.

Bài 8: Cho góc xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B sao cho AD cắt BC tại E. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K; tia OE cắt AB tại I. Chứng minh rằng: $\frac{IA}{IB}=\frac{KA}{KB}$

Bài 9: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD bằng nhau. Chứng minh rằng các đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABD và ACD cũng bằng nhau.

 

Bài viết gợi ý: