Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

           Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

0. 1. 1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
1. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
   • • • (A + B)² = A² + 2AB + B²
       • (A – B)² = A² – 2AB + B²
       •  A² – B² = (A + B)(A – B)
       • (A + B)³ = A³ + 3A²B +3AB² +B³
       • (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB²  - B³
       • A³ + B³  = (A + B) (A² – AB + B²)
       • A³ ­– B³  = (A – B) (A² + AB +B²)
2. Các hằng đẳng thức liên quan
   • • • (A + B)² = (A –B)² + 4AB
       • (A – B)² = (A +B)² – 4AB
       • A³ + B³ = (A + B)³ – 3AB (A+B)
       • A³ - B³ = (A – B)³ + 3AB (A – B)
       • (A + B – C)² = A² + B² + C² + 2(AB - AC – BC)
3. Các hằng đẳng thức dạng tổng quát
   • • • (A + B)ⁿ = Aⁿ + n A^n-1B + . . .+ n AB^n-1 + Bⁿ
       • Aⁿ – Bⁿ = (A – B) (A^n-1 + A^n-2B + . . . +AB^n-2 + B^n-1)
       • (A₁ + A₂ + . . . +A_n)² = A₁² + A₂² + . . . + A_n² + 2(A₁A₂ + A₁A₃+. . . +A_n-1A_n)
     • Các dạng bài tập (Bài tập mẫu và  bài tập tự luyện)

1. Thực hiện các phép tính

Bài tập

1. (a – b – c)² – (a –b + c)²
2. (a – x – y )³ – (a + x – y )³
3. (a + 1)(a + 2)(a² + 4)(a – 1)(a² + 1)(a – 2)
4. (1 – x - 2x³ + 3x²)(1 – x  + 2x³  –  3x²)
5. (a² – 1)(a² – a +1)(a² + a +1)

Giải

1. 5. (a² – 1)(a² – a +1)(a² + a +1)

= (a + 1) (a – 1) (a² – a + 1) (a² + a +1)

= [(a + 1) (a² – a +1)] [(a – 1)  (a² + a + 1)]

= (a³ +1) (a³ – 1) = (a³)² – 1

= a⁶ – 1

2. Rút gọn biểu thức

Bài tập

1. (2x + y)  (4x² – 2xy + y²) – (2x – y) (4x² + 2xy + y²)
2. 2(2x + 1) (3x – 1) + (2x +1)² + (3x – 1)²
3. (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x –y +z) . (y – z)
4. (x – 3) (x + 3) – (x - 3)²
5. (x² – 1) (x +2) – (x – 2) (x² + 2x +4)

Giải

1. 3.    (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x –y +z) (y – z)

= (x – y + z)²  - 2(x – y + z) (z – y) + (z – y)²

= [(x – y + z) – (z – y)]²

= (x – y + z –z + y)²

= x²

3. Tính nhanh

Bài tập

1. 3⁴ . 5⁴ – (15² + 1) (15² – 1)
2. 45² + 40² – 15² + 80 . 45
3. 50² – 49² + 48² – 47² + . . . +2² - 1²
4. 3(2² + 1) (2⁴ + 1) (2⁸ + 1) (2¹⁶ + 1)
5. (3 +1) (3² +1) (3⁴ + 1) (3⁸ + 1) (3¹⁶ + 1)

Giải

1. 5. (3 +1) (3² +1) (3⁴ + 1) (3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)

=\[\frac{1}{2}\].(3² – 1) (3² + 1) (3⁴ + 1) (3⁸ + 1) (3¹⁶ + 1)

=\[\frac{1}{2}\].(3⁴ - 1) (3⁴ + 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)

=\[\frac{1}{2}\]. ( 3⁸ - 1) (3⁸ + 1) (3¹⁶ + 1)

=\[\frac{1}{2}\] . (3¹⁶ - 1) (3¹⁶ + 1)

=\[\frac{1}{2}\] . (3³² – 1)

4. Tính giá trị biểu thức

Bài tập

1.  x² – 2xy - 4z² + y²  tại  x = 6,  y = - 4, z = 45
2. x³ + 9x² + 27x + 27  tại  x = 97
3. 27 x³ – 27x²y + 9xy² – y³ tại  x = 8, y = 25
4. x²  - y² tại: x = 87, y = 13
5. 5x²z – 10xyz + 5y²z  tại  x = 124,  y = 24,  z = 2

Giải

1.   x² – 2xy - 4z² + y² 

=( x² – 2xy + y² – 4z² = (x – y)² – (2z)²

=(x – y + 2z) (x – y – 2z)

=(6 + 4 + 90) (6 + 4 – 90)

=100 . (-80)

=  - 8000

5. Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập

1. (a + b) (a³ – b³) – (a – b) (a³ + b³)
2. x⁶ – y⁶
3. x(y + z)² + y(x + z)² + z(x + y)² – 4xyz
4. x⁸ + x⁴ + 1
5. x³ – 3x² + 3x – 1 – y³

Giải

3.    x(y + z)² + y(x + z)² + z(x + y)² – 4xyz

= x(y² + 2yz + z²) + y(x² + 2xz + z²) + z(x + y)² – 4xyz

= xy² + 2xyz + xz² + x²y + 2xyz + yz² + z(x + y)² – 4xyz

=(xy² + x²y) + (xz² + yz²) + z(x + y)²

=xy(y + x) + z²(x + y) + z(x + y)²

=(x + y) [xy + z² + z(x + y)]

=(x + y) (xy + z² + zx + zy)

=(x + y) [(x(y +z) + z(y + z)]

=(x + y) (y + z) (x + z)

6. Chứng minh

Bài tập

1. 1. 1. 1. x⁶ + 3x²y² + y⁶ = 1  với x² +  y² = 1
         2. (x – 1)³- (x + 1)³+ 6(x + 1) (x – 1) không phụ thuộc vào biến x.
         3. Số có dạng 1 + ${{2}^{{{3}^{2007}}}}$ không phải số nguyên tố.
         4. Cho A = (2x + y + 3)² – (2x – y -1)². Chứng minh rằng:

a) A $\vdots $4 ( x,y thuộc Z)

b) A > 0  ( x > 0, y > 0)

Giải

1. 1. 1. 3. Ta biết: 3^{2007$\vdots $} 3

 Đặt 3²⁰⁰⁷ = 3n

Ta có: 1 + ${{2}^{{{3}^{2007}}}}$ = 1 + 2³ⁿ = 1³ + (2ⁿ)³ = (1 + 2ⁿ) ( 1 – 2ⁿ + 2²ⁿ) (Tích 2 thừa số khác 1 và 1 + 2³ⁿ)

Vậy: 1 + ^{${{2}^{{{3}^{2007}}}}$}  không phải là số nguyên tố.

7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài tập

1. 1. 1. 1. x²  - x + 1
         2. x – x²
         3. x² + y² – x – 6y + 10
         4. \[\frac{2}{6x-5-9{{x}^{2}}}\]
         5. \[\frac{3}{2{{x}^{2}}+2x+3}\]

Giải

1. 1. 1. 3. x²  + y² – x – 6y + 10

                    = (x²  – x + 1) + ( y² – 6y + 9)

                    =  (x² – 2. x .\[\frac{1}{2}\] + \[\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\]) + (y – 3)²

                    =(x - \[\frac{1}{2}\])²  + \[\frac{3}{4}\] + (y – 3)² $\ge $ \[\frac{3}{4}\]

                    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng:  \[\frac{3}{4}\]

                    Khi : (x - \[\frac{1}{2}\])² = 0  và (y – 3)² = 0

                                              => x  - \[\frac{1}{2}\] = 0        =>  y – 3 = 0

                                              =>x =  \[\frac{1}{2}\]                          =>y = 3

8. Làm tính chia cho đa thức

Bài tập

1. 1. 1. 1. (x³ – 3x²y + 3xy² – y³) : (x² – 2xy +y²)
         2. (x² – 2xy +y²) : (y – x)
         3. (x³ + 3x²y + 3xy² + y³) : (x + y)
         4. (4x² – 9y²) : (2x – 3y)
         5. (27x³ – 1) : (3x – 1)

Giải

1. 1. 1. 5. (27x³ – 1) : (3x – 1)

                      = [(3x)³ – 1] : (3x – 1)

                      = (3x – 1) (9x² + 3x + 1) : ( 3x – 1)

                      = 9x² + 3x + 1 

1. Tìm x

Bài tập

1. 1. 1. 1. 1. (x – 2)³ – (x – 3) (x² + 3x + 9) + 6(x + 1)² = 15
            2. 2x³ – 50x = 0
            3. 5x² – 4(x² – 2x +1) – 5 = 0
            4. x³ – x = 0
            5. 27x³ – 27x² + 9x – 1 = 1

Giải

1. 1. 1. 1. 3. 5x² – 4(x² – 2x +1) – 5 = 0

                       => 5(x² – 1) – 4(x – 1)² = 0

                       => 5(x + 1) . (x – 1) – 4(x – 1)² = 0

                       => (x - 1) . [5(x + 1) – 4(x – 1)] = 0

                       => (x - 1) . (5x + 5 – 4x + 4) = 0

                    => (x – 1) . (x + 9) = 0

              x - 1 = 0   => x = 1

              x + 9 = 0  => x = - 9

 

Bài viết gợi ý: