Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

A. Lý thuyết

I. Khối đa diện lồi

     Khối đa diện \[\left( H \right)\] được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của \[\left( H \right)\] luôn thuộc \[\left( H \right)\]. Khi đó đa diện giới hạn \[\left( H \right)\] được gọi là đa diện lồi.

Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

II. Khối đa diện đều

     1. Định nghĩa

     Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

     = Các mặt là những đa giác đều $n$ cạnh.

     = Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $p$ cạnh.

     Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại $\left\{ n,p \right\}$.

     2. Định lí

     Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là:

• Loại \[\left\{ 3;\,3 \right\}\]: khối tứ diện đều.
• Loại \[\left\{ 4;\,3 \right\}\]: khối lập phương.
• Loại \[\left\{ 3;\,4 \right\}\]: khối bát diện đều.
• Loại \[\left\{ 5;\,3 \right\}\]: khối 12 mặt đều.
• Loại \[\left\{ 3;\,5 \right\}\]: khối 20 mặt đều.

 Khối tứ diện đều    Khối lập phương         Bát diện đều         Hình 12 mặt đều       Hình 20 mặt đều

*Chú ý. Gọi $$ là tổng số đỉnh, $C$ là tổng số cạnh và $M$ là tổng các mặt của khối đa diện đều loại $\left\{ n;p \right\}$. Ta có

= Xét tứ diện đều: 

= Xét khối lập phương: 

= Xét bát diện đều: 

= Xét khối mười hai mặt đều: 

= Xét khối hai mươi mặt đều: 

B. Bài tập minh họa

Giải:

Áp dụng các tính chất của khối đa diện lồi \[\left( H \right)\]: $''$Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của \[\left( H \right)\] luôn thuộc \[\left( H \right)''\].

Chọn B

Giải:

• Khối lập phương có 6 mặt. Do đó A sai.
• Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12.
• Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng. Do đó C sai.
• Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh. Do đó D sai.

Chọn B

Giải:

Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là $3.$ Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức $3=2C.$

Chọn C

Giải:

Khối đa diện đều loại $\left\{ 4;3 \right\}$ là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng $6.2\pi =12\pi .$

Chọn C

Giải:

Khối đa diện đều loại $\left\{ 3;5 \right\}$ là khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng $20.\pi =20\pi .$

Chọn C

Giải:

Hình 20 đều là hình có 20 mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều.

Gọi \[{{S}_{0}}\] là diện tích tam giác đều cạcạnh bằng \[2\,\xrightarrow{{}}\,{{S}_{0}}=\frac{{{2}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}.\]

Vậy diện tích \[S\] cần tính là \[S=20.{{S}_{0}}=20\sqrt{3}\,.\]

Chọn B

Giải:

Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Gọi \[{{S}_{0}}\] là diện tích tam giác đều cạnh \[a\,\,\xrightarrow{{}}\,{{S}_{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\]

Vậy diện tích \[S\] cần tính là \[S=8.{{S}_{0}}=8.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}\,{{a}^{2}}.\]

Chọn C

Giải:

Khối mười hai mặt đều có \[30\] cạnh nên có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng \[\ell =30.2=60\].

Chọn B

C. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?

     A. Bát diện đều.                       B. Tứ diện đều.  C. Lục giác đều. D. Ngũ giác đều.

Câu 2. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương.

B. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

C. Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.

D. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Câu 3. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành

     A. các đỉnh của một hình tứ diện đều.

     B. các đỉnh của một hình bát diện đều.

     C. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.

     D. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.

Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

     A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.

     B. Tồn tại khối lặng trụ đều là khối đa diện đều.

     C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.

     D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.

Câu 5. Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh $$ và số cạnh $C$ của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn:

     A. $=C-2$.    $\text{ }$B. $\ge C$.                    C. $3=2C$.        D. $3C=2$.

Câu 6. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\left\{ 4;3 \right\}$ là:

     A. $4\pi $.     B. $8\pi $.          C. $12\pi $.        D. $10\pi $.

Câu 7. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\left\{ 3;5 \right\}$ là:

     A. $12\pi $.   B. $16\pi $.        C. $20\pi $.        D. $24\pi $.

Câu 8. Tổng độ dài $\ell $ của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh \[a\].

     A. \[\ell =4a\].                          B. \[\ell =6a\].     C. \[\ell =6\].       D. \[\ell =4\].

Câu 9. Tổng độ dài \[\ell \] của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng \[2.\]

     A. \[\ell =8.\]  B. \[\ell =16.\]     C. \[\ell =24.\]     D. \[\ell =60.\]

Câu 10. Cho hình đa diện đều loại $\left\{ 4;3 \right\}$ cạnh $a.$ Gọi \[S\] là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     A. \[S=4\,{{a}^{2}}.\]             B. \[S=6\,{{a}^{2}}.\]         C. $S=8\,{{a}^{2}}.$    D. $S=10{{a}^{2}}.$

Đáp án bài tập tự luyện

Bài viết gợi ý: