1. Định lí 1
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây cung bằng nhau
$\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$=> AB = CD
Chứng minh:
Ta có $\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$(gt)$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (liên hệ giữa cung và góc ở tâm).
Xét hai tam giác AOB và COD có:
$$ $OA=OC(=R)$
$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$(cmt)
Vậy $\vartriangle AOB=\vartriangle COD$(cgc)
Suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng)
.png)
b) Hai dây cung bằng nhau căng hai cung bằng nhau
AB = CD => $\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$
Chứng minh
Xét hai tam giác AOB và COD có:
OA = OC = OB = OD (= bán kính đường tròn)
$AB=CD$(gt)
Vậy $\vartriangle AOB=\vartriangle COD$(c-c-c)
Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$(hai góc tương ứng)
Suy ra $\overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$
2. Định lí 2
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây cung lớn hơn
$\overset\frown{AB}>\overset\frown{CD}$=> AB > CD.
b) Dây cung lớn hơn căng cung lớn hơn
AB > CD => $\overset\frown{AB}>\overset\frown{CD}.$
