BÀI 1 :
Cho tam giác ABC. M là trung điểm AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho BM = MD.
1. Chứng minh : \[\Delta ABM=\Delta CDM\].
2. Chứng minh : AB // CD
3. Trên DC kéo dài lấy điểm N sao cho CD = CN (\[C\ne N\]) chứng minh : BN // AC.
Giải.
1. Chứng minh : \[\Delta ABM=\Delta CDM\].
Xét \[\Delta ABM=\Delta CDM\]
MA = MC (gt)
MB = MD (gt)
\[\widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{M}_{2}}}\] (đối đinh)
=>\[\Delta ABM=\Delta CDM\] (c – g – c)
2.Chứng minh : AB // CD
Ta có :
\[\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{D}\] (góc tương ứng của \[\Delta ABM=\Delta CDM\])
Mà : \[\widehat{{{B}_{1}}}\], \[\widehat{D}\] ở vị trí so le trong
Nên : AB // CD
3. BN // AC :
Ta có : \[\Delta ABM=\Delta CDM\] (cmt)
=> AB = CD (cạnh tương ứng)
Mà : CD = CN (gt)
=> AB = CN
Xét \[\Delta ABC=\Delta NCB\] ta có :
AB = CN (cmt)
BC cạnh chung.
\[\widehat{ABC}=\widehat{ACN}\] (so le trong)
=> \[\Delta ABC=\Delta NCB\] (c – g – c)
=> \[\widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\]
Mà : \[\widehat{{{B}_{2}}}\],\[\widehat{{{C}_{1}}}\] ở vị trí so le trong.
Nên : BN // AC
BÀI 2 :
Cho tam giác ABC có AB = AC, trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AM = AN. Gọi H là trung điểm của BC.
- Chứng minh :\[\Delta ABH=\Delta ACH\].
- Gọi E là giao điểm của AH và NM. Chứng minh : \[\Delta AME=\Delta ANE\]
- Chứng minh : MM // BC.
Giải.
1. \[\Delta ABH=\Delta ACH\]
Xét \[\Delta ABH=\Delta ACH\], ta có:
AB = AC (gt)
HB = HC (gt)
AH cạnh chung.
=> \[\Delta ABH=\Delta ACH\] (c – c- c)
=> \[\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\] (góc tương ứng)
2. \[\Delta AME=\Delta ANE\]
Xét\[\Delta AME=\Delta ANE\], ta có :
AM =AN (gt)
\[\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\] (cmt)
AE cạnh chung
=> \[\Delta AME=\Delta ANE\] (c – g – c)
3. MM // BC
Ta có : \[\Delta ABH=\Delta ACH\] (cmt)
=> \[\widehat{{{H}_{1}}}=\widehat{{{H}_{2}}}\]
Mà : \[\widehat{{{H}_{1}}}+\widehat{{{H}_{2}}}={{180}^{0}}\] (hai góc kề bù)
=> \[\Rightarrow \widehat{{{H}_{1}}}=\widehat{{{H}_{2}}}={{90}^{0}}\]
Hay \[BC\bot AH\]
Cmtt, ta được : \[MN\bot AE\]hay \[MN\bot AH\]
=> MN // BC.
Bài 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A. tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. lấy E trên cạnh BC sao cho BE = AB.
a) Chứng minh :\[\Delta ABD=\Delta EBD\].
b) Tia ED cắt BA tại M. chứng minh : EC = AM
c) Nối AE. Chứng minh : \[\widehat{AEC}=\widehat{EAM}\].
Giải.
1. \[\Delta ABD=\Delta EBD\]
Xét \[\Delta ABD=\Delta EBD\], ta có :
AB =BE (gt)
\[\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}\] (BD là tia phân giác góc B)
BD cạnh chung
=> \[\Delta ABD=\Delta EBD\] (c – g – c)
2. EC = AM
Ta có : \[\Delta ABD=\Delta EBD\] (cmt)
Suy ra : DA = DE và \[\widehat{E}=\widehat{A}={{90}^{0}}\]
Xét\[\Delta ADM=\Delta EDC\], ta có :
DA = DE (cmt)
\[\widehat{E}=\widehat{A}={{90}^{0}}\] (cmt)
\[\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\] (đối đỉnh)
=> \[\Delta ADM=\Delta EDC\] (g –c– g)
=> AM = EC.
3. \[\widehat{AEC}=\widehat{EAM}\]
Ta có :\[\Delta ADM=\Delta EDC\] (cmt)
Suy ra : AD = DE; MD = CD và \[\widehat{M}=\widehat{C}\]
=> AD + DC = ED + MD
Hay AC = EM
Xét\[\Delta AEM=\Delta EAC\], ta có :
AM = EC (cmt)
\[\widehat{M}=\widehat{C}\] (cmt)
AC = EM (cmt)
=> \[\Delta AEM=\Delta EAC\] (c – g – c)
=> \[\widehat{AEC}=\widehat{EAM}\]
BÀI 4 :
Cho tam giác ABC vuông góc tại A có góc\[\widehat{B}={{53}^{0}}\].
a) Tính góc C.
b) Trên cạnh BC, lấy điểm D sao cho BD = BA. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở điểm E. cmr :\[\Delta BEA=\Delta BED\].
c) Qủa C, vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H. CH cắt đường thẳng AB tại F. cm :\[\Delta BHF=\Delta BHC\].
d) Cm : \[\Delta BAC=\Delta BDF\]và D, E, F thẳng hàng.
Giải.
a. Tính góc C :
Xét \[\Delta BAC\], ta có :
\[\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\]
\[\Rightarrow \widehat{C}={{180}^{0}}-(\widehat{A}+\widehat{B})\]
\[\Rightarrow \widehat{C}={{180}^{0}}-({{90}^{0}}+{{53}^{0}})={{37}^{0}}\]
b.\[\Delta BEA=\Delta BED\]
Xét\[\Delta BEA=\Delta BED\], ta có :
BE cạnh chung.
\[\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\] (BE là tia phân giác của góc B)
BD = BA (gt)
\[\Rightarrow \] \[\Delta BEA=\Delta BED\] (c – g – c)
c. \[\Delta BHF=\Delta BHC\]
Xét \[\Delta BHF=\Delta BHC\], ta có :
BH cạnh chung.
\[\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\] (BE là tia phân giác của góc B)
\[\widehat{BHF}=\widehat{BHC}={{90}^{0}}\](gt)
\[\Rightarrow \]\[\Delta BHF=\Delta BHC\] (cạnh huyền – góc nhọn)
\[\Rightarrow \]BF = BC (cạnh tương ứng)
d. \[\Delta BAC=\Delta BDF\] và D, E, F thẳng hàng
xét \[\Delta BAC=\Delta BDF\], ta có:
BC = BF (cmt)
Góc B chung.
BA = BC (gt)
\[\Rightarrow \]\[\Delta BAC=\Delta BDF\]
\[\Rightarrow \] \[\widehat{BAC}=\widehat{BDF}\]
Mà : \[\widehat{BAC}={{90}^{0}}\] (gt)
Nên : \[\widehat{BDF}={{90}^{0}}\] hay \[BD\bot DF\] (1)
Mặt khác : \[\widehat{BAE}=\widehat{BDF}\] (hai góc tương ứng của \[\Delta BEA=\Delta BED\])
Mà : \[\widehat{BAE}={{90}^{0}}\] (gt)
Nên : \[\widehat{BDE}={{90}^{0}}\] hay \[BD\bot DE\] (2)
Từ (1) và (2), suy ra : DE trùng DF
Hay : D, E, F thẳng hàng.
