I, Dạng bài tập và ví dụ minh họa
Dạng bài: Biên Độ Dao Động Các Điểm Trên
\[\otimes \] Nếu chọn trục Ox với O là một nút bất kì, thì biên độ dao động AM của điểm M trên dây mà vị trí cân bằng có tọa độ x được tính theo công thức
|
\[{{A}_{M}}={{A}_{b}}.\left| \sin \frac{2\pi x}{\lambda } \right|\] |
trong đó \[{{A}_{b}}\] là biên độ bụng sóng.
\[\otimes \] Nếu chọn O là vị trí cân bằng của một bụng bất kì thì:
|
\[{{A}_{M}}={{A}_{b}}.\left| \cos \frac{2\pi x}{\lambda } \right|\] |
\[\otimes \] Phương trình sóng dừng: Trên dây có sóng dừng, trừ các nút tất cả các điểm còn lại dao động hoặc cùng pha hoặc ngược pha với nhau. Dễ thấy các điểm thuộc cùng một bụng dao động cùng pha; nằm trên hai bụng liên tiếp dao động ngược pha! Nếu chọn gốc tọa độ O là một nút thì phương trình sóng dừng trên dây là:
|
\[u={{A}_{b}}\sin \frac{2\pi x}{\lambda }\cos (\omega t+\varphi )\] |
Trong đó, u là li độ của điểm trên dây thời điểm t mà VTCB có tọa độ là x.
\[\otimes \] Nếu chọn gốc tọa độ O là VTCB một bụng thì phương trình sóng dừng trên dây là
|
\[u={{A}_{b}}\cos \frac{2\pi x}{\lambda }\cos (\omega t+\varphi )\] |
\[\otimes \] Hai điểm M và N trên dây mà VTCB có tọa độ xM và xN thì tại một thời điểm ta luôn có .Nếu gốc tọa độ O là điểm nút:
.png)
\[\otimes \] Nếu gốc tọa độ O là VTCB điểm bụng:
|
Ví dụ 1: Trên dây có sóng dừng hai đầu cố định, biên độ dao động của phần tử trên dây tại bụng sóng là 2a, bước sóng λ. Tại một điểm trên dây có vị trí cân bằng cách một nút một đoạn \[\frac{\lambda }{12}\] có biên độ dao động là: A.\[\frac{a}{2}\] B.\[a\sqrt{2}\] C.\[a\sqrt{3}\] D.a |
Hướng dẫn
Điểm có VTCB cách nút một đoạn \[x=\frac{\lambda }{2}\] nên \[{{A}_{M}}={{A}_{b}}.\left| sin\frac{2\pi x}{\lambda } \right|=2a\left| sin\frac{2\pi \frac{\lambda }{12}}{\lambda } \right|=a\]
Chọn đáp án D
|
Ví dụ 2: Trên dây có sóng dừng hai đầu cố định, biên độ dao động của phần tử trên dây tại bụng sóng là 2a, bước sóng λ. Tại một điểm trên dây có vị trí cân bằng cách vị trí cân bằng một bụng một đoạn \[\frac{\lambda }{6}\] có biên độ dao động là: A. \[\frac{a}{2}\] B. \[a\sqrt{2}\] C. \[a\sqrt{3}\] D.a |
Hướng dẫn
Điểm có VTCB cách VTCB của 1 bụng đoạn \[x=\frac{\lambda }{6}\]
\[\to {{A}_{M}}={{A}_{b}}.\left| sin\frac{2\pi x}{\lambda } \right|=2a\left| sin\frac{2\pi \frac{\lambda }{6}}{\lambda } \right|=a\]
Chọn đáp án D
|
Ví dụ 3: Trên dây có sóng dừng hai đầu cố định, biên độ dao động của phần tử trên dây tại bụng sóng là 2a. A là nút, B là vị trí cân bằng của điểm bụng gần A nhất. Điểm trên dây có vị trí cân bằng C nằm giữa A và B, AC = 2CB dao động với biên độ là A. \[\frac{a}{2}\] B. \[a\sqrt{2}\] C. \[a\sqrt{3}\] D.a |
Hướng dẫn
Ta có : \[AB=\frac{\lambda }{4}\] mà AC = 2CB (C nằm giữa AB) \[\Rightarrow AC=\frac{2}{3}AB=\frac{\lambda }{6}\Rightarrow {{A}_{C}}={{A}_{b}}.\left| sin\frac{2\pi AC}{\lambda } \right|=a\sqrt{3}\]
Chọn đáp án C
|
Ví dụ 4: Sóng dừng trên sợi dây đàn hồi căng ngang hai đầu cố định dài 1,2 m. Không xét các điểm bụng hoặc nút, trên dây có ba điểm liên tiếp M, N, P dao động cùng biên độ, MN = NP = 10 cm. Số điểm nút trên dây là A. 9. B. 6. C. 8. D. 7. |
Hướng dẫn
M, N, P là 3 điểm liên tiếp dao động cùng biên độ (không phải nút, bụng)
\[\Rightarrow MN+NP=\frac{\lambda }{2}\Rightarrow \frac{\lambda }{2}=20cm=0,2m\Rightarrow k=\frac{1}{\frac{\lambda }{2}}=6\] . Vậy có 6 bụng và 7 nút
Chọn đáp án D
|
Ví dụ 5: Một sợi dây đàn hồi OM = 180 cm có hai đầu cố định. Khi được kích thích trên dây hình thành 5 bụng sóng, biên độ dao động của phần tử tại bụng sóng là 3 cm. Tại điểm N gần đầu O nhất, các phần tử có biên độ dao động là \[1,5\sqrt{2}\] cm. Khoảng cách ON bằng A. 18 cm. B. 36 cm. C. 9,0 cm. D. 24 cm. |
Hướng dẫn
\[\Rightarrow l=5\frac{\lambda }{2}\Rightarrow \lambda =72cm\] ,\[\to {{A}_{N}}={{A}_{b}}.\left| sin\frac{2\pi x}{\lambda } \right|=9(cm)\]
Chọn đáp án C
|
Ví dụ 6: Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng cách hai nút sóng liên tiếp là 12 cm. C và D là hai phần tử trên dây cùng nằm trên một bó sóng, có cùng biên độ dao động 4 cm và nằm cách nhau 4 cm. Biên độdao động của điểm bụng là A. 8 cm. B. 4,62 cm. C. 5,66 cm. D. 6,93 cm. |
Hướng dẫn
Khoảng cách 2 nút liên tiếp là \[)\frac{\lambda }{2}=12cm\] Xét gốc tọa độ tại nút gần C nhất \[\Rightarrow {{x}_{C}}=\frac{\frac{\lambda }{2}-CD}{2}=4(cm)\]
Ta có: \[\to {{A}_{C}}={{A}_{b}}.\left| sin\frac{2\pi x}{\lambda } \right|=4\Rightarrow {{A}_{b}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\approx 4,62cm\]
Chọn đáp án B
|
Ví dụ 7: Trên một sợi dây có sóng dừng với biên độ điểm bụng là 5 cm. Giữa hai điểm M và N trên dây có cùng biên độ dao động 2,5 cm, cách nhau 20 cm các điểm luôn dao động với biên độ nhỏ hơn 2,5 cm. Bước sóng trên dây là A. 120 cm B. 80 cm C. 60 cm D. 40 cm |
Hướng dẫn
M và N cách đều nút 1 đoạn : d = 10cm, ta có : \[{{a}_{M}}=2a\sin \left( \frac{2\pi d}{\lambda } \right),(2a=5cm)\]
\[\Rightarrow 2a\sin \left( \frac{2\pi d}{\lambda } \right)=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{2\pi d}{\lambda }=\frac{\pi }{6}\Rightarrow d=\frac{\lambda }{12}\Rightarrow \lambda =120cm\]
Chọn đáp án A
|
Ví dụ 8: M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ 4 cm, dao động tại N cùng pha với dao động tại M. Biết MN = 2NP và tần số góc của sóng là 10 rad /s. Tốc độ dao động tại điểm bụng khi sợi dây có dạng một đọan thẳng A. 80 cm /s B. 40 cm/s C. 120 cm /s D. 60 cm/s |
Hướng dẫn
\[MN+NP=\frac{\lambda }{2};MN=2NP\Rightarrow MN=\frac{\lambda }{3}\] Vì M, N cùng pha dao động vậy bụng gần nhất là trung điểm của chúng.
Xét gốc tọa độ tại bụng đó: \[\to {{A}_{N}}={{A}_{b}}.\left| \cos \frac{2\pi x}{\lambda } \right|\Rightarrow {{A}_{b}}=8(cm)\]
\[\Rightarrow \left| {{v}_{\max }} \right|={{A}_{b}}\omega =80(cm/s)\]
Chọn đáp án A
|
Ví dụ 9: Trên dây AB có sóng dừng với bước sóng λ, biết bụng sóng có biên độ 4 cm tại vị trí M trên dây AB có biên độ \[2\sqrt{3}cm\] ; N là vị trí trên dây AB gần M nhất có biên độ \[2\sqrt{2}cm\] . Khoảng cách MN bằng A.\[\frac{\lambda }{12}\] B.\[\frac{\lambda }{6}\] C.\[\frac{5\lambda }{24}\] D.\[\frac{\lambda }{24}\] |
Hướng dẫn
Chọn bụng gần M, N nhất làm gốc tọa độ khi đó (với \[0
\[\to {{A}_{M}}={{A}_{b}}.\left| \cos \frac{2\pi {{x}_{M}}}{\lambda } \right|\Rightarrow 2\sqrt{3}=4.\left| \cos \frac{2\pi {{x}_{M}}}{\lambda } \right|\Rightarrow {{x}_{M}}=\frac{\lambda }{12}\]
Tương tự \[{{x}_{N}}=\frac{\lambda }{8}\] . Vậy \[MN=\frac{\lambda }{8}-\frac{\lambda }{12}=\frac{\lambda }{24}\]
Chọn đáp án D
|
Ví dụ 10: Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là 24 cm. Biên độ bụng sóng là 3 cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C và D là hai phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 8 cm và 4 cm. Khoảng cách cực đại giữa C và D trong quá trình dao động là A. 15 cm. B. 12 cm. C. 10 cm. D. 18 cm. |
Hướng dẫn
Lấy gốc tọa độ ở nút N ta có: \[{{A}_{C}}={{A}_{b}}.\left| sin\frac{2\pi {{x}_{C}}}{\lambda } \right|=\frac{3\sqrt{3}}{2}(cm)\]
\[{{A}_{D}}={{A}_{b}}.\left| sin\frac{2\pi {{x}_{D}}}{\lambda } \right|=1,5cm\] suy ra khoảng cách lớn nhất khi C, D đều ở biên
theo Pitago: \[\sqrt{{{\left( 8+4 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3\sqrt{3}}{2}+1,5 \right)}^{2}}}\approx 12,68cm\]
Chọn đáp án B
II, Bài tập tự luyện
Câu 1: Trên dây có sóng dừng hai đầu cố định, biên độ dao động của phần tử trên dây tại bụng sóng là 2a. A là nút, B là vị trí cân bằng của điểm bụng gần A nhất. Điểm C trên dây có vị trí cân bằng là trung điểm của AB dao động với biên độ là
A.\[\frac{a}{2}\] B.\[a\sqrt{2}\] C.\[a\sqrt{3}\] D.a
Câu 2: Không xét các điểm bụng hoặc nút, quan sát thấy những điểm có cùng biên độ và ở gần nhau nhất thì đều cách đều nhau 15cm. Bước sóng trên dây có giá trị bằng
A. 30 cm. B. 60 cm. C. 90 cm. D. 45 cm
Câu 3: Sóng dừng trên dây có bước sóng λ. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua một nút sóng và cách nhau một khoảng bằng 0,25λ. Kết luận sai là
A. Hai điểm luôn cùng tốc độ dao động.
B. Hai điểm dao động với cùng biên độ.
C. Pha dao động của hai điểm lệch nhau 0,5π.
D. Hai điểm dao động ngược pha nhau
Câu 4: Thí nghiệm sóng dừng trên một sợi dây có hai đầu cố định và chiều dài 36 cm , người ta thấy có 6 điểm trên dây dao động với biên độ cực đại. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần dây duỗi thẳng là 0,25 s. Khoảng cách từ bụng sóng đến điểm gần nó nhất có biên độ bằng nửa biên độ của bụng sóng là
A. 4 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 1 cm
Câu 5: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AB = 10 cm. Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là 0,2 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 2 m/s. B. 0,5 m/s. C. 1 m/s. D. 0,25 m/s.
Câu 6: Sóng dừng trên dây nằm ngang. Trong cùng bó sóng, A là nút, B là bụng, C là trung điểm AB. Biết CB = 4cm. Thời gian ngắn nhất giữa hai lần C và B có cùng li độ là 0,13 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 1,23 m/s B. 2,46 m/s C. 3,24 m/s D. 0,98 m/s
Câu 7: Một sợi dây AB dài 24 cm, hai đầu cố định, đang có sóng dừng với hai bụng sóng. Khi dây duỗi thẳng, M và N là hai điểm trên dây chia sợi dây thành ba đoạn bằng nhau. Tỉ số khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai điểm M và N trong quá trình sợi dây dao động là 1,25. Biên độ dao động bụng sóng là
A.4cm B. 5cm C.\[2\sqrt{3}cm\] D.\[3\sqrt{3}cm\]
Câu 8: Trên một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một điểm nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 18cm, M là một điểm trên dây cách B một khoảng 12cm. Biết rằng trong một chu kỳ sóng, khoảng thời gian mà độ lớn vận tốc dao động của phần tử B nhỏ hơn tốc độ cực đại của phần tử M là 0,1 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 4,8 m/s. B. 2,4 m/s. C. 3,2 m/s. D. 5,6 m/s.
Câu 9: Một sóng dừng trên một sợi dây có dạng u = 40sin(2,5πx)cos(ωt) (mm), trong đó u là li độ tại thời điểm t của một điểm M trên sợi dây mà vị trí cân bằng của nó cách gốc tọa độ O đoạn x(x tính bằng mét, t đo bằng s). Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp để một chất điểm trên bụng sóng có độ lớn li độ bằng biên độ của điểm N cách nút sóng 10 cm là 0,125 s.Tốc độ truyền sóng trên sợi dây là:
A. 320 cm/s B. 160 cm/s C. 80 cm/s D. 100 cm/s
Câu 10: Một sợi dây AB dài 20cm, hai đầu cố định. Khi xảy ra hiện tượng sóng dừng các điểm trên dây dao động với phương trình \[u=0,6\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)\cos \left( 20\pi t-\frac{\pi }{4} \right)\] , trong đó x tính bằng cm, t tính bằng giây. Số điểm bụng và điểm nút sóng trên đoạn dây (kể cả A, B) là
8 bụng, 8 nút. B. 9 bụng, 10 nút. C. 10 bụng, 11 nút. D. 8 bụng, 9 n
Đáp án
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
B |
B |
C |
B |
B |
A |
C |
B |
B |
C |
