- Lí Thuyết
- Định lí 1
Cho hàm số \[f(x)\] có tập xác định\[D\]. Nếu đạo hàm cấp k của \[f(x)\] không đổi dấu trên\[D\] thì phương trình \[f(x)=m\] có không quá k nghiệm.
- Định lí 2
Nếu \[f(x)\] là hàm đơn điệu trên\[D\] thì phương trình
\[f(x)\]
\[f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v\]
- Các dạng bài tập
Dạng 1: loại phương trình áp dụng định lí 1
B1. tìm ĐKXĐ của phương trình \[f(x)=m\]
B2. xét hàm số \[f(x)\]=VT
B3. tính \[{{f}^{(k)}}(x)\]và đánh giá nó >0 hoặc <0
B4. Suy ra nghiệm của pt \[\]
VD1 Giai phương trình
\[\sqrt{5{{x}^{3}}-1}+\sqrt[3]{2x-1}+x=4\]
Giải
ĐKXĐ:\[5{{x}^{3}}-1>0\Leftrightarrow x\ge \sqrt[3]{\frac{1}{5}}\]
Xét hàm số \[f(x)=\sqrt{5{{x}^{3}}-1}+\sqrt[3]{2x-1}+x\]
\[{f}'(x)=\frac{15{{x}^{2}}}{2\sqrt{5{{x}^{3}}-1}}+\frac{2}{3.\sqrt[3]{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}}\]\[>0\] \[\forall x\ge \sqrt[3]{\frac{1}{5}}\]
Suy ra \[f(x)=4\]có không quá một nghiệm
Thấy \[x=1\] là một nghiệm của pt
vậy pt có nghiệm duy nhất \[x=1\]
VD2. Giải pt
\[\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+16}=2\sqrt{3}+\sqrt{4-x}\]
VD3. Giải pt
\[x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=12(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})\]
Dạng 2: phương trình áp dụng định lí hai
B1. Đưa phương trình về dạng \[f(u)=f(v)\]
B2. Xét hàm đặc trưng \[f(x)\] và chứng minh nó đơn điệu
B3. Suy ra u=v và tìm ra nghiệm của pt
VD a) \[\sqrt{4x-1}+\sqrt{4{{x}^{2}}-1}=1\]
b) \[\sqrt{3+\sin x}-\sqrt{2-\sin x}=1\]
c) \[\sqrt{x-1}=-{{x}^{3}}-4x+5\]
d)\[\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}-\sqrt{x+1+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}=1\]
Giải
a) \[\sqrt{4x-1}+\sqrt{4{{x}^{2}}-1}=1\]
Điều kiện: \[\left\{ \begin{matrix}
\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4x-1\ge 0\text{ }\!\!~\!\!\text{ } \\
\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4{{x}^{2}}-1\ge 0\text{ }\!\!~\!\!\text{ } \\
\end{matrix} \right.\]\[\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{2}\]
Xét hàm số \[y=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4{{x}^{2}}-1}\]. Miền xác định: \[D=\left[ \frac{1}{2};+\infty \right)\].
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số \[y=\sqrt{4x-1}+\sqrt{4{{x}^{2}}-1}\] và \[y=1\].
Đạo hàm \[{{y}^{/}}=\frac{2}{\sqrt{4x-1}}+\frac{4x}{\sqrt{4{{x}^{2}}-1}}>0\text{ }\forall x>\frac{1}{2}\].
Do hàm số liên tục trên \[\left[ \frac{1}{2};+\infty \right)\] nên hàm số đồng biến trên \[\left[ \frac{1}{2};+\infty \right)\].
Dễ thấy \[x=\frac{1}{2}\] thỏa (1). Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là \[x=\frac{1}{2}\].
b) \[\sqrt{3+\sin x}-\sqrt{2-\sin x}=1\]. TXĐ: $D=R$.
Đặt \[t=\sin x\] , điều kiện \[\left| t \right|\le 1\]
Khi đó phương trình có dạng : \[\sqrt{3+t}-\sqrt{2-t}=1\]\[\Leftrightarrow \mathop{{}}^{{}}\sqrt{3+t}=1+\sqrt{2-t}\] (2)
Dễ thấy:
+ Hàm số \[f(t)=\sqrt{3+t}\] là hàm đồng biến trên \[D=\left[ -1;1 \right]\]
+ Hàm số \[g(t)=1+\sqrt{2-t}\] là hàm nghịch biến trên \[D=\left[ -1;1 \right]\]
Từ (*) suy ra : \[f(t)=g(t)\] nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy \[t=1\] là thỏa phương trình (2), do đó: \[\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \]
- Bài tập tự luyện
a) \[\sqrt{3-x+{{x}^{2}}}-\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}=1\] b) \[\sqrt{x-3}=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x-12\]
c) \[\sqrt{2x-1}+\sqrt{{{x}^{2}}+3}=4-x\] d) \[{{e}^{\left| 2x-1 \right|}}-{{e}^{\left| x-1 \right|}}=\frac{1}{\left| 2x-1 \right|}-\frac{1}{\left| x-1 \right|}\]
e) \[{{2}^{{{m}^{2}}x+6}}-{{2}^{4x+3m}}=\left( 4-{{m}^{2}} \right)x+3m-6\] f) \[\tan x+{{2.3}^{{{\log }_{2}}\tan x}}=3\]
g) \[\frac{1}{{{2}^{{{\sin }^{2}}x}}}-\frac{1}{{{2}^{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}}}={{\sin }^{4}}x\]
h) \[{{3}^{2\sin x-3}}+\left( 3\sin x-10 \right){{.3}^{\sin x-2}}+3-\sin x=0\]
