Bài 1. (SGK Đại số 10 trang 62)

a) \[\frac{{{x}^{2}}+3x+2}{2x+3}=\frac{2x-5}{4};\]

b) \[\frac{2x+3}{x-3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{{{x}^{2}}-9}+2;\]

c) \[\sqrt{3x-5}=3\];

d) \[\sqrt{2x+5}=2;\]

Giải

a) \[\frac{{{x}^{2}}+3x+2}{2x+3}=\frac{2x-5}{4};\]

ĐKXĐ:

\[2x+3\ne 0\Leftrightarrow x\ne -\frac{3}{2}.\]

Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung ta được

\[\Rightarrow 4(x2+3x+2)=(2x5)(2x+3)\]

\[\Leftrightarrow 4x2+12x+8=4x2-4x-15\]

\[\Leftrightarrow x=-\frac{23}{16}\] (nhận).

b) \[\frac{2x+3}{x-3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{{{x}^{2}}-9}+2;\]

ĐKXĐ: x ≠ ± 3. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu ta được

\[\Rightarrow (2x+3)(x+3)-4(x-3)=24+2({{x}^{2}}-9)\]

$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+9x+9-4x+12=24+2{{x}^{2}}-18$

$\Leftrightarrow 5x=-15\Leftrightarrow x=-3$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $\sqrt{3x-5}=3$

ĐKXĐ: $x\ge \frac{5}{3}$

Bình phương hai vế ta được:

$\Rightarrow 3x-5=9\Leftrightarrow x=\frac{14}{3}$ (nhận).

d) $\sqrt{2x+5}=2$

ĐKXĐ: $x\ge -\frac{5}{2}$

Bình phương hai vế ta được:

$\Rightarrow 2x+5=4\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Bài 2. (SGK Đại số 10 trang 62)

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a) m(x – 2) = 3x + 1;

b) m²x + 6 = 4x + 3m;

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.

Giải

a) $m\left( x-2 \right)=3x-1$

\[\Leftrightarrow (m3)x\text{ }=\text{ }2m\text{ }+\text{ }1.\]

+) Nếu m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{2m+1}{m-3}.$

+) Nếu m = 3 phương trình trở thành 0.x = 7.

    Phương trình vô nghiệm.

b) ${{m}^{2}}x+6=4x+3m$

$\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-4)x=3m-6.$

+) Nếu ${{m}^{2}}-4\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 2$, phương trình có nghiệm $x=\frac{3m-6}{{{m}^{2}}-4}=\frac{3}{m+2}.$ \(x = \frac{3m - 6}{m^{2}-4}=\frac{3}{m+2}\).

+) Nếu m = 2, phương trình trở thành 0.x = 0 đúng với mọi $x\in \mathbb{R}.$

    Phương trình có vô số nghiêm.

+) Nếu m = -2, phương trình trở thành 0.x = -12, phương trình vô nghiệm.

c) \[\left( 2m\text{ }+\text{ }1 \right)x\text{ }\text{ }2m\text{ }=\text{ }3x\text{ }\text{ }2\]

 \[\Leftrightarrow 2(m1)x\text{ }=\text{ }2\left( m-1 \right).\]

+) Nếu m ≠ 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

+) Nếu m = 1, phương trình trở thành 0.x=0 đúng với mọi x ∈ ℝ.

    Phương trình có vô số nghiệm.

Bài 3 trang 62 sgk đại số 10

Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng $\frac{1}{3}$ của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu ?

Giải

Gọi x là số quýt chứa trong một rổ lúc đầu. Điều kiện x nguyên, x > 30.

Lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai nên số quýt trong rổ thứ nhât còn x-30, số quýt trong rổ thứ hai là: x+30

Theo đầu bài lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng $\frac{1}{3}$ của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất nên ta có phương trình:

$\frac{1}{3}{{(x-30)}^{2}}=x+30\Leftrightarrow {{x}^{2}}-63x+810=0$

Vậy số quýt ở mỗi rổ lúc đầu là 45 quả.

Bài 4 trang 62 sgk đại số 10

Giải các phương trình

a) $2{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}+5=0;$

b) $3{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1=0.$

Giải

a) Đặt ${{x}^{2}}=t\ge 0$ ta được:

$2{{t}^{2}}-7t+5=0$

+) Với \[{{t}_{1}}=1\] ta được ${{x}_{1,2}}=\pm 1$

+) Với ${{t}_{2}}=\frac{5}{2}$ ta được ${{x}_{3,4}}=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

b) Đặt ${{x}^{2}}=t\ge 0$ ta được

$3{{t}^{2}}+2t-1=0$

+) Với ${{t}_{2}}=\frac{1}{3}$ ta được ${{x}_{1,2}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Bài 5 trang 62 sgk đại số 10

Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)

a) $2{{x}^{2}}-5x+4=0;$

b) $-3{{x}^{2}}+4x+2=0;$

c) $3{{x}^{2}}+7x+4=0;$

d) $9{{x}^{2}}-6x-4=0.$

Giải

a) Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím

màn hình hiện ra \[{{x}_{1}}=3.137458609.~\] 

Ấn tiếp  màn hình hiện ra \[{{x}_{2}}=-0.637458608\]

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là \[{{x}_{1}}\approx 3.137\]và \[{{x}_{2}}\approx -3.637\]

b) Ấn 

được 

x₁ = 1.72075922. Muốn lấy tròn 3 số thập phân ta ấn tiếp

Kết quả x₁= 1.721. Ấn tiếp  được x₂ = -1.333.

d) Ấn

Kết quả x₁= 0.333. Ấn tiếp được x₂= 0.333.

Bài 6 trang 62 sgk đại số 10

Giải các phương trình.

a) |3x – 2| = 2x + 3;

b) |2x -1| = |-5x – 2|;

c) $\frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{|x+1|};$

d) $|2x+5|={{x}^{2}}+5x+1.$

Giải

a) ĐKXĐ: 2x + 3 ≥ 0. Bình phương hai vế thì được:

${{\left( 3x-2 \right)}^{2}}={{\left( 2x+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( 3x-2 \right)}^{2}}-{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow \left( 3x-2+2x+3 \right)\left( 3x-2-2x-3 \right)=0$ 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

b) Bình phương hai vế:

\[{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}={{\left( -5x-2 \right)}^{2}}\]

$\Leftrightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-{{\left( -5x-2 \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow (2x-1+5x+2)(2x-1-5x-2)=0$

$\Leftrightarrow (7x+1)(-3x-3)=0$

Vậy phương trình có hai nghiệm

c) ĐKXĐ: $x\ne \frac{3}{2},x\ne -1$. Quy đồng rồi khử mẫu thức chung

$\Rightarrow (x-1)|x+1|=(2x-3)(-3x+1)$

+)  Với x ≥ -1 ta được:

\[\left( x\text{ }-\text{ }1 \right)\left( x\text{ }+\text{ }1 \right)\text{ }=\text{ }\left( 2x\text{ }-\text{ }3 \right)\left( \text{ }-\text{ }3x\text{ }+\text{ }1 \right)\]

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=-6{{x}^{2}}+11x-3\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-11x+2=0$

+) Với x < -1 ta được:

\[\left( x\text{ }-\text{ }1 \right)\left( \text{ }-\text{ }x\text{ }-\text{ }1 \right)\text{ }=\text{ }\left( 2x\text{ }-\text{ }3 \right)\left( \text{ }-\text{ }3x\text{ }+\text{ }1 \right)\]

$\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+1=-6{{x}^{2}}+11x-3\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-11x+4=0\text{ }$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

d) ĐKXĐ: ${{x}^{2}}+5x+1>0$

+) Với $x\ne \frac{-5}{2}$ ta được:

$2x+5\text{=}{{x}^{2}}+5x\text{+}1$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-4=0$

+) Với $x<\frac{-5}{2}$ta được:

$-2x-5\text{=}{{x}^{2}}+5x\text{+}1$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+7x+6=0$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=1 và x=-6.

Bài 7 trang 63 sgk đại số 10

Giải các phương trình 

a) $\sqrt{5x+6}=x-6;$

b) $\sqrt{3-x}=\sqrt{x+2}+1;$

c) \(\sqrt{2x^{2} +5} = x + 2\).

d) \(\sqrt{4x^{2} +2x + 10} = 3x + 1\).

Giải

ĐKXĐ: x – 6 ≥ 0 ⇔ x > 6.

Bình phương hai vế ta được:

$5x+6={{(x-6)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-17x+30=0$

Vậy phương trình có nghiệm x=15.

b) ĐKXĐ: – 2  ≤  x ≤  3. Bình phương hai vế ta được

\(3 - x = x + 3 + 2\sqrt{x+2}\) 
$\Leftrightarrow -2x=2\sqrt{x+2}.$

Điều kiện x ≤ 0. Bình phương tiếp ta được:

${{x}^{2}}=x+2$

Vậy phương trình có nghiệm x=-1

c) ĐKXĐ: x ≥ -2.

Bình phương hai vế ta được:

$2{{x}^{2}}+5={{\left( x+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1=0$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=2-\sqrt{3};x=2+\sqrt{3}$

d) ĐK: $x\ge \frac{-1}{3}.$

Bình phương hai vế ta được:

$4{{x}^{2}}+2x+10={{\left( 3x+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+4x-9=0$

Vậy phương trình có nghiệm x=1.

Bài 8 trang 63 sgk đại số 10

Cho phương trình $3{{x}^{2}}-2(m+1)x+3m-5=0$.

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Giải

Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂, phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên ta có:  \[{{x}_{2}}=3{{x}_{1}}\]

Theo định lí Viet ta có:

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4{{x}_{1}}=\frac{2(m+1)}{3}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{m+1}{6}$

Thay ${{x}_{1}}=\frac{m+1}{6}$ vào phương trình ta được:

$3.{{\left( \frac{m+1}{6} \right)}^{2}}-2(m+1).\frac{m+1}{6}+3m-5=0$

$\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+30m-63=0$

+) Với m = 3 phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}=\frac{2}{3};\text{ }{{x}_{2}}=2.$

+) Với m = 7 phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}=\frac{4}{3};{{x}_{2}}=4.$