Câu 1: Trang 88 - SGK Hình học 10
Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:
a) \[\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.\]
b) \[4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=1.\]
c) \[4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=36.\]
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \[{{a}^{2}}=25\Rightarrow a=5\] độ dài trục lớn \[2a=10\]
\[{{b}^{2}}=9\Rightarrow b=3\] độ dài trục nhỏ 2a=6
\[{{c}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}=25-9=16\Rightarrow c=4\]
Vậy hai tiêu điểm là : \[{{F}_{1}}(-4;0)\] và \[{{F}_{2}}(4;0)\]
Tọa độ các đỉnh \[{{A}_{1}}(-5;0),{{A}_{2}}(5;0),{{B}_{1}}(0;-3),{{B}_{2}}(0;3)\]
b) \[4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{\frac{1}{4}}+\frac{{{y}^{2}}}{\frac{1}{9}}=1\]
\[{{a}^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow a=\frac{1}{2}\] ⇒ độ dài trục lớn 2a=1
\[{{b}^{2}}=\frac{1}{9}\Rightarrow b=\frac{1}{3}\] ⇒ độ dài trục nhỏ \[2b=\frac{2}{3}\]
\[{{c}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{5}{36}\Rightarrow c=\frac{\sqrt{5}}{6}\]
\[{{F}_{1}}(-\frac{\sqrt{5}}{6};0)\] và \[{{F}_{2}}(\frac{\sqrt{5}}{6};0)\]
\[{{A}_{1}}(-\frac{1}{2};0),{{A}_{2}}(\frac{1}{2};0)\], \[{{B}_{1}}(0;-\frac{1}{3}),{{B}_{2}}(0;\frac{1}{3})\]
c) Chia 22 vế của phương trình cho 36 ta được :
\[\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\]
Từ đây suy ra:
\[2a=6,2b=4,c=\sqrt{5}\]
Suy ra \[{{F}_{1}}(-\sqrt{5};0)\] và \[{{F}_{2}}(\sqrt{5};0)\]
\[{{A}_{1}}(-3;0),{{A}_{2}}(3;0),{{B}_{1}}(0;-2),{{B}_{2}}(0;2)\]
Câu 2: Trang 88 - SGK Hình học 10
Lập phương trình chính tắc của elip, biết:
a) Trục lớn và trục nhỏ lần lươt là 8 và 6
b) Trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của elip có dạng :\[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1.\]
a) Ta có a>b
\[2a=8\Rightarrow a=4\Rightarrow {{a}^{2}}=16\]
\[2b=6\Rightarrow b=3\Rightarrow {{b}^{2}}=9\]
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1.\]
b) Ta có: \[2a=10\Rightarrow a=5\Rightarrow {{a}^{2}}=25\]
\[2c=6\Rightarrow c=3\Rightarrow {{c}^{2}}=9\]
\[\Rightarrow {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}\Rightarrow {{b}^{2}}=25-9=16\]
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1\]
Câu 3: Trang 88 - SGK Hình học 10
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a) Elip đi qua các điểm M(0;3) và \[N(3;\frac{-12}{5}).\]
b) Một tiêu điểm là \[{{F}_{1}}(-\sqrt{3};0)\] và điểm \[M(1;\frac{\sqrt{3}}{2})\] nằm trên elip
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của elip có dạng :\[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1.\]
a) Elip đi qua M(0;3)
\[\frac{{{0}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{3}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\Rightarrow {{b}^{2}}=9\]
Elip đi qua \[N(3;\frac{-12}{5}).\]
\[\frac{{{3}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{\left( \frac{-12}{5} \right)}^{2}}}{9}=1\Rightarrow {{a}^{2}}=25\]
Phương trình chính tắc của elip là :\[\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\]
b) Ta có: \[c=\sqrt{3}\Rightarrow {{c}^{2}}=3\]
Elip đi qua điểm \[M(1;\frac{\sqrt{3}}{2})\]
\[\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{3}{4{{b}^{2}}}=1\]
Mặt khác \[{{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\]
\[\Rightarrow 3={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}={{b}^{2}}+3\]
\[\Rightarrow \frac{1}{{{b}^{2}}+3}+\frac{3}{4{{b}^{2}}}=1\]
\[\Rightarrow {{a}^{2}}=4{{b}^{2}}+5{{b}^{2}}-9=0\]
\[\Rightarrow {{b}^{2}}=1\]hoặc \[{{b}^{2}}=\frac{-9}{4}\]( loại)
Với \[{{b}^{2}}=1\Rightarrow {{a}^{2}}=4\]
Phương trình chính tắc của elip là : \[\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{1}=1\]
Câu 4: Trang 88 - SGK Hình học 10
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm×40cm, người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình bên dưới. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có: \[2a=80\Rightarrow a=40\]
\[2b=40\Rightarrow b=20\]
\[{{c}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}=1200\Rightarrow c=20\sqrt{3}\]
Phải đóng đinh tại các điểm F1,F2 và cách mép ván:
\[{{F}_{2}}A=OAO{{F}_{2}}=40-20\sqrt{3}\]
\[\Rightarrow {{F}_{2}}A=20(2-\sqrt{3})\approx 5,4cm\]
Chu vi vòng dây bằng: \[{{F}_{1}}{{F}_{2}}+2a=40\sqrt{3}+80\]
\[\Rightarrow {{F}_{1}}{{F}_{2}}+2a=40(2+\sqrt{3})\]
\[{{F}_{1}}{{F}_{2}}+2a\approx 149,3cm\]
Câu 5: Trang 88 - SGK Hình học 10
Cho hai đường tròn C1(F1;R1) và C2(F2;R2). C1 nằm trong C2 và F1≠F2. Đường tròn (C) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với C2.Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C) di động trên một elip.
Hướng dẫn giải
Gọi R là bán kính của đường tròn (C).
Vì (C) và C1 tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:
MF1=R1+R (1)
Vì (C) và C2 tiếp xúc trong với nhau, cho ta:
MF2=R2−R (2)
Từ (1) và (2) ta được:
MF1+MF2=R1+R2=R không đổi.
Điểm M có tổng các khoảng cách MF1+MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một độ dài không đổi R1+R2.
Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm F1 và F2 và có tiêu cự F1F2=R1+R2.