Câu 1: Trang 12 - sgk hình học 10

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM>MB. Vẽ các vec tơ \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\] và \[\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\]

Hướng dẫn giải

 

Trên đoạn MA, lấy điểm C sao cho:  \[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MB}\] suy ra \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\]

<=>\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}\]

Tương tự \[\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+(-\overrightarrow{MB})\]

<=>\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}\]

Câu 2: Trang 12 - sgk hình học 10

Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\]

Hướng dẫn giải

 

Vì ABCD là hình bình hành => \[\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{DC}\]

=>\[\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}\]

Mặt khác \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC})\]

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\]

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\] (đpcm)

Câu 3: Trang 12 - sgk hình học 10

Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kỳ ta luôn có:

a) \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}\] 

b) \[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\]

Hướng dẫn giải

a)  Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\] ; \[\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}\]

Như vậy

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\]\[=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})\]\[=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\]

Mà \[\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}\]

Vậy \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}\]

b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có 

\[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\](1)

\[\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DB}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\]

Câu 4: Trang 12 - sgk hình học 10

Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS.

Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\vec{0}.\] 

Hướng dẫn giải

Ta có:  \[\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{IB}\]

\[\overrightarrow{CS}=-\overrightarrow{RA}\]

\[\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{BQ}\]

\[=>\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}\]

=\[(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ})+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ})(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS})\]

=\[(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{-IB})+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{-PC})+(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{-RA})\]

=\[(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{-IB})+(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{-PC})+(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{-RA})=\vec{0}\] ( đpcm )

Câu 5: Trang 12 - sgk hình học 10

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\] và \[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\]

Hướng dẫn giải

 

Ta có :  \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\]

Suy ra \[\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right|=AC=a\]

Kẻ \[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\]

=>\[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\]
Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Mà ABCD là hình thoi => I là trung điểm BD và vuông tại I.

=>\[BI=AB\sin A=a\sin {{60}^{{}^\circ }}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]

=>\[BD=2BI=a\sqrt{3}\]

=>\[\left| \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \right|=a\sqrt{3}\]

Câu 6: Trang 12 - sgk hình học 10

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:

a) \[\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\]

b) \[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}\]

c) \[\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}\]

d) \[\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}\]

 Hướng dẫn giải

 

a) Ta có: \[\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}\]\[\Rightarrow \overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}.\]

b) Ta có: \[\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\]\[\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}.\]

 

Mà \[\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\]\[\Rightarrow \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}.\]

d) Ta có: \[\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\]\[=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}.\]

Câu 7: Trang 12 - sgk hình học 10

Cho vectơ a, b là hai vectơ khác vectơ 0. Khi nào có đẳng thức:

a) \[\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\left| {\vec{a}} \right|+\left| {\vec{b}} \right|\]

b) \[\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\left| \vec{a}-\vec{b} \right|\]

Hướng dẫn giải

a) Để \[\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\left| {\vec{a}} \right|+\left| {\vec{b}} \right|\]  xảy ra

<=> \[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\]  cùng hướng.

b) Để \[\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\left| \vec{a}-\vec{b} \right|\] xảy ra

<=>\[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\] vuông góc với nhau

Câu 8: Trang 12 - sgk hình học 10

Cho \[\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=0\].

So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.

Hướng dẫn giải

Từ \[\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=0\], ta có \[\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}\]\[\Rightarrow \vec{a}=-\vec{b}\]

Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài \[\left| {\vec{a}} \right|=\left| {\vec{b}} \right|\],  cùng phương và ngược hướng.

Câu 9: Trang 12 - sgk hình học 10

Chứng minh rằng : \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\]  khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Nếu \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\] thì AB // CD

     AB = CD

=> ABCD là hình bình hành.

Khi đó AD và BC có trung điểm trùng nhau.

Mặt khác:  Nếu trung điểm AD và BC trùng nhau

=> Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Suy ra \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\]  (đpcm )

Câu 10: Trang 12 - sgk hình học 10

Cho ba lực \[\overrightarrow{{{F}_{1}}}=\overrightarrow{MA},\overrightarrow{{{F}_{2}}}=\overrightarrow{MB}\] và \[\overrightarrow{{{F}_{3}}}=\overrightarrow{MC}\] cùng tác động

vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của hai lực \[\overrightarrow{{{F}_{1}}},\overrightarrow{{{F}_{2}}}\] đều là 100N và \[\widehat{AMB}={{60}^{0}}.\]

Tìm cường độ và hướng của lực F3.

Hướng dẫn giải

Theo bài ra: MA=MB=100N

\[\widehat{AMB}={{60}^{0}}.\]

\[\Rightarrow \vartriangle AMB~\] là tam giác đều.

\[MH=\frac{MA\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}(N)\]

Vì AMBC là hình thoi => MC = 2MH.

=>  \[MC=100\sqrt{3}(N)={{F}_{3}}\]

Vậy \[{{F}_{3}}=100\sqrt{3}(N)\]và có hướng là tia phân giác của \[\widehat{AMB}\]