Giải bài tập trang 93,94 SGK Toán hình học lớp 10 Bài: Ôn tập chương 3

Câu 1: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho hình chữ nhật ABCD. Biết các đỉnh A(5;1),C(0;6) và phương trình CD:x+2y–12=0.

Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại.

Hướng dẫn giải

 AB là đường thẳng đi qua A(5;1) và song song với CD.

Vì CD có phương trình x+2y–12=0 nên phương trình của AB có dạng:

x+2y+m=0

AB đi qua A(5;1) nên thay tọa độ A vào ta có:

5+2.1+m=0⇒m=−7

Vậy phương trình của AB là: x+2y–7=0

AD là đường thẳng qua A và vuông góc với CD.

Phương trình của CD là: x+2y–12=0 nên phương trình của AD có dạng:

2x–y+n=0

AD đi qua A(5,1)  cho ta: 2.5−1+n=0⇒n=−9

Phương trình của AD: 2x−y−9=0

CB là đường  thẳng qua C và song song với AD nên phương trình của CB có dạng:

2x–y+p=0

CB đi qua C(0;6) nên:     2.0–6+p=0⇒p=6

Phương trình của CB là: 2x–y=6=0

Vậy

AB:x+y–7=0

BC:2x−y+6=0

AD:2x–y–9=0

Câu 2: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho A(1;2), B(−3;1), C(4;−2). Tìm tập hợp điểm M sao cho MA2+MB2=MC2.

Hướng dẫn giải

Gọi M(x;y) suy ra:

\[\overrightarrow{MA}=(x-1;y-2)\]

\[\overrightarrow{MB}=(x+3;y-1)\]

\[\overrightarrow{MC}=(x-4;y+2)\]

 Theo giả thiết, \[M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}\] nên ta có: 

\[{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+12x-10y-5=0\text{ }\]

\[\Leftrightarrow {{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=66\]   

 Vậy quỹ tích các điểm M thỏa mãn đẳng thức \[M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}\] là đường tròn tâm I(−6;5)và bán kính \[R=\sqrt{66}\]

Câu 3: Trang 93 - SGK Hình học 10

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng: Δ1:5x+3y–3=0 và Δ2:5x+3y+7=0

Hướng dẫn giải

Gọi M(x;y) là một điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có:

\[d(M,{{\Delta }_{1}})=\frac{|5x+3y-3|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{|5x+3y-3|}{\sqrt{34}}\]

\[d(M,{{\Delta }_{2}})=\frac{|5x+3y+7|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{|5x+3y+7|}{\sqrt{34}}\]

 Điểm M cách đều hai đường thẳng Δ1,Δ2 nên: 

\[\frac{|5x+3y-3|}{\sqrt{34}}=\frac{|5x+3y+7|}{\sqrt{34}}\text{ }\]

\[\Leftrightarrow |5x+3y-3|=|5x+3y+7|\]

Ta xét hai trường hợp:

(*) 5x+3y–3=−(5x+3y+7)⇔5x+3y+2=0

(**) 5x+3y–3=5x+3y+7 (vô nghiệm)

Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng Δ1,Δ2  là đường thẳng  Δ:5x+3y+2=0

Dễ thấy Δ song song với Δ1,Δ2  và hai đường thẳng Δ1,Δ2  nằm về hai phía đối với Δ.

Câu 4: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho đường thẳng Δ:x–y+2 và hai điểm O(0;0);A(2;0)

a) Tìm điểm đối xứng của O qua Δ.

b) Tìm điểm M trên Δ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.

Hướng dẫn giải

 

a) Gọi H là hình chiếu của O trên Δ,H là giao điểm của đường thẳng qua O và vuông góc với Δ.

\[\overline{OH}=(x;y)\]

\[\Delta :xy+2=0\] có vecto chỉ phương \[\vec{u}(1;1)\]

\[\overrightarrow{OH}\bot \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\Rightarrow 1.x+1.y=0\Leftrightarrow x+y=0\]

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

Gọi O^′ là đỉnh đối xứng của O qua Δ thì H là trung điểm của đoạn thẳng OO^′

\[{{x}_{H}}=\frac{{{x}_{O}}+{{x}_{{{O}'}}}}{2}\Leftarrow -1=\frac{0+{{x}_{{{O}'}}}}{2}\]\[\Rightarrow {{x}_{{{O}'}}}=-2\]

\[{{y}_{H}}=\frac{{{y}_{O}}+{{y}_{{{O}'}}}}{2}\Leftarrow -1=\frac{0+{{y}_{{{O}'}}}}{2}\]\[\Rightarrow {{y}_{{{O}'}}}=2\]

Vậy O^′(−2;2).

b) Nối O^′A cắt Δ tại M

Ta có: OM=O′M

⇒OM+MA=O^′M+MA=O^′A

Giả sử trên Δ có một điểm M^′≠M, ta có ngay:

OM^′+M^′A>O^′A

Vậy điểm M, giao điểm của O′A với Δ, chính là điểm thuộc Δ mà độ dài của đường gấp khúc OMAngắn nhất.

A(2;0);O(−2;2) nên O^′A có hệ phương trình:  x+2y–2=0

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:

 

Câu 5: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho ba điểm A(4;3),B(2;7),C(−3;−8)

a) Tìm tọa độ điểm G , trực tâm H của tam giác ABC.

b) Tìm T là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T,G,H thẳng hàng.

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi \[G({{x}_{G}};{{y}_{G}})\] là trọng tâm tam giác \[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }ABC.\] khi đó ta có

\[{{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}\]

\[\Rightarrow {{x}_{G}}=\frac{4+2-3}{3}=1\]

\[{{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}\]

\[\Rightarrow {{y}_{G}}=\frac{3+7-8}{3}=\frac{2}{3}\]

Vậy  \[G\left( 1;\frac{2}{3} \right)\]

Gọi (x;y) là tọa độ của H

\[\overrightarrow{AH}=(x-4;y-3);\]

\[\overrightarrow{BC}=(-5;-15)\]

\[\overrightarrow{BH}=(x-2;y-7);\]

\[\overrightarrow{AC}=(-7;-11)\]

\[\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{BC}\]\[\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\]

\[\Leftrightarrow -5(x-4)-15(y-3)=0\]

\[\Leftrightarrow x+y-13=0\]

\[\overrightarrow{BH}\bot \overrightarrow{AC}\]

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\]

\[\Leftrightarrow -7(x-2)-11(y-7)=0\]

\[\Leftrightarrow 7x+11y-91=0\]

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

b) Tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  thỏa mãn điều kiện
\[TA=TB=TC\]\[\Rightarrow T{{A}^{2}}=T{{B}^{2}}=T{{C}^{2}}\] cho ta \[{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x-2y+7=0\]

\[{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+8 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 7x+11y+24=0\]

Do đó tọa độ tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) là nghiệm của hệ:

Ta có:  \[\overrightarrow{TH}=(-18;1);\overrightarrow{TG}=(6;\frac{-1}{3})\]

Ta có: \[\overrightarrow{TH}=3\overrightarrow{TG}\]

Vậy ba điểm H,G,T thẳng hàng.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm T(−5;1), bán kính \[R=AT=\sqrt{85}\]

\[{{R}^{2}}=A{{T}^{2}}={{\left( -5-4 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}=85\]

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

\[{{(x+5)}^{2}}+{{(y1)}^{2}}=85\]

Câu 6: Trang 93 - SGK Hình học 10

Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng 3x–4y+12=0 và 12x+5y−7=0

Hướng dẫn giải

Gọi M(x;y) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng trên.

Khi đó, khoảng cách từ M đến d₁:3x−4y+12=0 là:

\[d(M,{{d}_{1}})=\frac{|3x-4y+12|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|3x-4y+12|}{5}\]

Khoảng cách từ M đến d2:12x+15y–7=0 là:

\[d(M,{{d}_{2}})=\frac{|12x+5y-7|}{\sqrt{144+25}}=\frac{|12x+5y-7|}{13}\]

Ta có: M thuộc đường  phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 nên cách đều hai đường thẳng đó.Suy ra: 

 

Vậy ta có phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi d₁ và d₂ là:

Δ₁:21x+77y–191=0

Δ₂:99x–27y+121=0

Câu 7: Trang 93 - SGK Hình học 10

Cho đường tròn (C) có tâm I(1,2) và bán kính bằng 3. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M từ đó ta sẽ được hai tiếp tuyến với (C) tạo với nhau một góc 60⁰ là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

 

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:  \[\widehat{AMI}={{30}^{0}}\]

\[IM=\frac{IA}{\sin \widehat{AMI}}=\frac{3}{\sin {{30}^{0}}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\]

Gọi tọa độ của M là (x;y) Ta có:

\[O{{M}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=36\]

Vậy quỹ tích M là đường tròn tâm I(1;2), bán kính R=6

Phương trình đường tròn là: \[{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=36\]

Câu 8: Trang 93 - SGK Hình học 10

Tìm góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

a) Δ₁: 2x+y–4=0 ; Δ₂: 5x–2y+3=0

b) Δ₁: y=−2x+4  ;   Δ₂:y=12x+32

Hướng dẫn giải

a) Vecto pháp tuyến Δ₁ là \[\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(2;1)\]

Vecto pháp tuyến Δ₂ là \[\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(5;-2)\]

\[\cos ({{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}})=\frac{|\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}|}{|\overrightarrow{{{n}_{1}}}|.|\overrightarrow{{{n}_{2}}}|}\]

\[\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{|2.5+1.(-2)|}{\sqrt{5}.\sqrt{9}}\]

\[\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{8}{\sqrt{145}}\]

\[\Rightarrow ({{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}})\approx {{48}^{0}}{{21}^{\prime }}{{59}^{\prime\prime }}\]
b) y=−2x+4⇔2x+y–4=0

\[y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\Leftrightarrow x-2y+3=0\]

Vì 2.1+1.(−2)=0⇔Δ₁⊥Δ₂

Chú ý:

_  Hệ số góc của  Δ₁ là k=−2

_ Hệ số góc của Δ₂ là \[{k}'=\frac{1}{2}\]
Vì \[k.{k}'=2.\frac{1}{2}=-1\Rightarrow {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}\bot {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}\]

Câu 9: Trang 93 - SGK Hình học

Cho elip \[(E):\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\]. Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của Elip \[(E)=\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\] ta có dạng là

\[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\]. Ta có

 

c=7

+) Tọa độ các đỉnh \[{{A}_{1}}(-4;0),{{A}_{2}}(4;0),{{B}_{1}}(0;-3)\] và \[{{B}_{2}}(0;3)\]

+) Tọa độ các tiêu điểm \[{{F}_{1}}(-\sqrt{7};0)\] và \[{{F}_{2}}(\sqrt{7};0)\]

Câu 10: Trang 94 - SGK Hình học 10

Ta biết rằng Mặt trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 769266km và 768106km. Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của Elip.

Hướng dẫn giải

  Ta có phương trình của elip mô tả sự chuyển động của Mặt Trăng với Trái Đất là một tiêu điểm:  \[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\]với:

            2a=760266⇒a=384633

            2b=768106⇒b=384053

 Mặt khác: \[{{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{384633}^{2}}-{{384053}^{2}}=445837880=>c\text{ =}21115(km)\]

Khoảng cách ngắn nhất từ Mặt Trăng đến Trái Đất là: 

         a−c=384633−21115=363518(km)

       Khoảng cách dài nhất từ Mặt Trăng đến Trái Đất là:

        a+c=384633+21115=405748(km)