Bài 77 ( Trang 98 – SGK)
Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông cạnh là 4cm.
Hướng dẫn giải:
Hình tròn nội tiếp một hình vuông cạnh là 4cm thì có bán kính là 2cm.
Vậy diện tích hình tròn là \[{{2}^{2}}\pi =4\pi \] (cm2)
Bài 78 ( Trang 98 – sGK)
Chân một đống cát trên một nền phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi là 12 m. Hỏi chân đống cát đó chiếm một diện tích bao nhiêu mét vuông?
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết thì \[C=2pR=12m\Rightarrow R=\frac{12}{2\pi }=\frac{6}{\pi }\]
Diện tích phần mặt đất mà đống cát chiếm chỗ là:
\[S=\pi .{{R}^{2}}=\pi {{\left( \frac{6}{\pi } \right)}^{2}}=\frac{36}{\pi }\approx 11,5({{m}^{2}})\]
Bài 79 ( Trang 98 – SGK)
Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính \(6cm\), số đo cung là \[{{36}^{0}}\]
Hướng dẫn giải:
Theo công thức: \[S=\frac{\pi {{R}^{2}}{{n}^{{}^\circ }}}{{{360}^{{}^\circ }}}\], ta có:
\[S=\frac{\pi {{6}^{2}}.36}{360}=3,6\pi (c{{m}^{2}})\]
Bài 80 ( Trang 98 – SGK)
Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB = 40m, AD = 30m
Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:
- Mỗi dây thừng dài 20m.
- Một dây thừng dài 30m và dây thừng kia dài 10m.
Hỏi cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn (h.60)
Hướng dẫn giải:
Theo cách buộc thứ nhất thì diện tích cỏ dành cho mỗi con dê là bằng nhau.
Mỗi diện tích là \[\frac{1}{4}\] hình tròn bán kính 20m.
\[\frac{1}{4}\pi {{.20}^{2}}=100\pi ({{m}^{2}})\]
Cả hai diện tích là \[200\pi ({{m}^{2}})\] (1)
Theo cách buộc thứ hai, thì diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở A là : \[\frac{1}{4}\pi {{.30}^{2}}=\frac{1}{4}900\pi ({{m}^{2}})\]
Diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở B là: \[\frac{1}{4}900\pi +\frac{1}{4}100\pi =\frac{1}{4}1000\pi =250\pi ({{m}^{2}})\]
So sánh (1) và (2) ta thấy với cách buộc thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn.
Bài 81 ( Trang 99 – SGk)
Diện tích hình tròn sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Bán kính tăng gấp đôi?
b) Bám kinh tăng gấp ba?
c) Bán kính tăng k lần k > 1?
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[\pi {{(2R)}^{2}}=4\pi {{R}^{2}}\]
\[\pi {{(3R)}^{2}}=9\pi {{R}^{2}}\]
\[\pi {{(kR)}^{2}}={{k}^{2}}\pi {{R}^{2}}\]
Vậy nếu ta gấp đôi bán kính thì diện tích hình tròn sẽ gấp bốn, nếu nhân bán kính với k > 0 thì diện tích hình tròn sẽ gấp \[{{k}^{2}}\] lần.
Bài 82 ( Trang 99 – SGk)
Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Giải
- Dòng thứ nhất: \[R=\frac{C}{2\pi }=\frac{13,2}{2.3,14}\approx 2,1(cm)\]
\[S=\pi .{{R}^{2}}=3,14.{{(2,1)}^{2}}\approx 13,8\text{ }c{{m}^{2}})\]
\[{{R}_{quat}}=\frac{\pi {{R}^{2}}{{n}^{{}^\circ }}}{{{360}^{{}^\circ }}}=\frac{3,14.2,{{1}^{2}}.47,5}{360}\approx 1,83(c{{m}^{2}})\]
- Dòng thứ hai: \[C=2\pi R=2.\text{ }3,14.\text{ }2,5=15,7\] (cm)
\[S=\pi .{{R}^{2}}=3,14.{{(2,5)}^{2}}\approx 19,6(c{{m}^{2}})\]
\[{{n}^{0}}=\frac{{{S}_{quat}}{{.360}^{{}^\circ }}}{\pi {{R}^{2}}}=\frac{12,{{5.360}^{{}^\circ }}}{3,14.2,{{5}^{2}}}\approx 229,{{3}^{0}}\]
- Dòng thứ ba: \[R=\sqrt{\frac{s}{\pi }}=\sqrt{\frac{37,8}{3,14}}\approx 3,5(cm)\]
C = 2πR = 22 (cm)
\[{{n}^{0}}=\frac{{{S}_{quat}}{{.360}^{{}^\circ }}}{\pi {{R}^{2}}}=\frac{10,{{6.360}^{{}^\circ }}}{3,14.3,{{5}^{2}}}\approx 99,{{2}^{0}}\]
Điền vào các ô trống ta được các bảng sau:
Bài 83 ( Trang 99 – SGK)
a) Vẽ hình 62 (tạo bởi các cung tròn) với HI = 10cm và HO = 2cm. Nêu cách vẽ.
b) Tính diện tích hình HOABINH (miền gạch sọc)
c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó.
Hướng dẫn giải:
a) Vẽ nửa đường tròn đường kính HI = 10 cm, tâm M
Trên đường kính HI lấy điểm O và điểm B sao cho HO = BI = 2cm.
Vẽ hai nửa đường tròn đường kính HO, BI nằm cùng phía với đường tròn M.
vẽ nửa đường tròn đường kính OB nằm khác phía đối với đường tròn (M). Đường thẳng vuông góc với HI tại M cắt (M) tại N và cắt đường tròn đường kính OB tại A.
b) Diện tích hình HOABINH là:
\[\frac{1}{2}.\pi {{.5}^{2}}+\frac{1}{2}.\pi {{3}^{2}}-\pi {{.1}^{2}}=\frac{25}{2}\pi +\frac{9}{2}\pi -\pi =16\pi (c{{m}^{2}})\] (1)
c) Diện tích hình tròn đường kính NA bằng: \[{{4}^{2}}\pi =16\pi (c{{m}^{2}})\]
So sánh (1) và (2) ta thấy hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH.
Bài 84 ( Trang 100 – SGk)
a) Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn xuất phát từ đỉnh C của tam giác đều ABC cạnh 1 cm. Nêu cách vẽ (h.63).
b) Tính diện tích miền gạch sọc.
Hướng dẫn giải:
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh 1cm
Vẽ \[\frac{1}{3}\] đường tròn tâm A, bán kính 1cm, ta được cung CD
Vẽ \[\frac{1}{3}\] đường tròn tâm B, bán kính 2 cm, ta được cung DE
Vẽ \[\frac{1}{3}\] đường tròn tâm C, bán kính 3 cm, ta được cung EF
b) Diện tích hình quạt CAD là \[\frac{1}{3}\pi {{.1}^{2}}\]
Diện tích hình quạt DBE là \[\frac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}\]
Diện tích hình quạt ECF là \[\frac{1}{3}\pi {{.3}^{2}}\]
Diện tích phần gạch sọc là \[\frac{1}{3}\pi {{.1}^{2}}+\frac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}+\frac{1}{3}\pi {{.3}^{2}}=\frac{1}{3}\pi ({{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}})=\frac{14}{3}\pi \,\,\,(c{{m}^{2}})\]
Bài 85 ( Trang 100 – SGK)
Hình viên phân là hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc ở tâm \[\widehat{AOB}={{60}^{0}}\] à bán kính đường tròn là 5,1 cm (h.64)
Hướng dẫn giải:
∆OAB là tam giác đều có cạnh bằng R = 5,1cm . Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là: \[\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\], ta có:
\[{{S}_{\Delta OBC}}=\frac{{{R}^{2}}\sqrt{3}}{4}\,\,(1)\]
Diện tích hình quạt tròn AOB là: \[\frac{\pi .{{R}^{2}}{{.60}^{0}}}{{{360}^{0}}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{6}\,\,\,(2)\]
Từ (1) và (2) suy ra diện tích hình viên phân là: \[\frac{\pi {{R}^{2}}}{6}-\frac{{{R}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{R}^{2}}\left( \frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)\]
Thay R = 5,1 ta có Sviên phân ≈ 2,4 \[c{{m}^{2}}\]
Bài 86 ( Trang 100 – SGk)
Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (h.65).
a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo \[{{R}_{1}}\] và \[{{R}_{2}}\] ( giả sử \[{{R}_{1}}>{{R}_{2}}\])
b) Tính diện tích hình vành khăn khi \[{{R}_{1}}=10,5\,\,cm\] và \[{{R}_{2}}=7,8\,\,cm\]
Hướng dẫn giải:
a) Diện tích hình tròn \[(O;{{R}_{1}})\,\,\,l\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,{{S}_{1}}=\pi {{R}_{1}}^{2}\]
Diện tích hình tròn \[(O;{{R}_{2}})\,\,l\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,\,{{S}_{2}}=\pi {{R}_{2}}^{2}\]
Diện tích hình vành khăn là: \[S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=\pi {{R}_{1}}^{2}-\pi {{R}_{2}}^{2}=\pi ({{R}_{1}}^{2}-{{R}_{2}}^{2})\]
b) Thay số: \[S=3,14.(10,{{5}^{2}}-7,{{8}^{2}})=155,1\,\,\,(c{{m}^{2}})\]
Bài 87 ( Trang 100 – SGk)
Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tam giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích hình viên phân được tạo thành.
Hướng dẫn giải:
Gọi nửa đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại M và N.
\[\Delta ONC\,\,\,c\text{ }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ }\,\,\,\,\,OC=ON,\text{ }\hat{C}={{60}^{0}}\] nên ∆ONC là tam giác đều, do đó \[\widehat{NOC}={{60}^{0}}\]
\[{{S}_{quat\,\,NOC}}\,=\text{ }\frac{\pi {{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}{{.60}^{{}^\circ }}}{{{360}^{{}^\circ }}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{24}\]
\[{{S}_{\Delta NOC}}=\text{ }\frac{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}\]
Diện tích hình viên phân: \[{{S}_{CPN}}=\text{ }\frac{\pi {{a}^{2}}}{24}-\text{ }\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}=\frac{{{a}^{2}}}{48}\left( 2\pi -3\sqrt{3} \right)\]
Vậy diện tích hình viên phhân bên ngoài tam giác là: \[\frac{{{a}^{2}}}{24}\left( 2\pi -3\sqrt{3} \right)\]
