Bài 12 ( Trang 15 – SGK)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
.png)
Bài giải:
a) Từ phương trình \[x-y=3\Rightarrow x=3+y\]
Thay x = 3 + y vào phương trình 3x - 4y = 2 ta được:
3(3 + y) - 4y = 2 ⇔ 9 + 3y - 4y = 2
⇔ -y = -7 ⇔ y = 7
Thay y = 7 vào x = 3 + y ta được x = 3 + 7 = 10.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (10; 7).
b) Từ phương trình \[4x+y=2\Rightarrow y=2-4x\]
Thay y = 2 - 4x vào phương trình 7x - 3y = 5 ta được:
7x - 3(2 - 4x) = 5 ⇔ 7x - 6 + 12x = 5
⇔ 19x = 11 ⇔ \[x=\frac{11}{19}\]
Thay \[x=\frac{11}{19}\] vào y = 2 - 4x ta được \[y=2-4.\frac{11}{19}=2-\frac{44}{19}=-\frac{6}{19}\]
Hệ phương trình có nghiệm \[\frac{11}{19};\frac{6}{19}\]
c) Từ phương trình \[x+3y=-2\Rightarrow x=-2-3y\]
Thay x = -2 - 3y vào phương trình 5x - 4y = 11 ta được:
5(-2 - 3y) - 4y = 11⇔ -10 - 15y - 4y = 11
⇔ -19y = 21 ⇔ \[y=-\frac{21}{19}\]
Thay \[y=-\frac{21}{19}\] vào x = -2 - 3y ta được \[x=-2-3(-\frac{21}{19})=-2+\frac{63}{19}=\frac{25}{19}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\frac{25}{19};-\frac{21}{19}\]
Bài 13 ( Trang 15 – SGK)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
.png)
Bài giải:
a) Từ phương trình thứ nhất ta có \[y=\frac{3x-11}{2}\]. Thế vào phương trình thứ hai ta được:
\[4x-5.\frac{3x-11}{2}=3\]⇔ \[4x-\frac{15}{2}+\frac{55}{2}=3\] \[\Leftrightarrow -\frac{7x}{2}=-\frac{49}{2}\]⇔ x = 7.
Thay x = 7 vào \[y=\frac{3x-11}{2}\] ta được y = 5.
Nghiệm của hệ phương trình đã cho là (7; 5)
b) Từ phương trình thứ nhất ta có: \[x=\frac{2y+6}{3}\]. Thế vào phương trình thứ hai ta được:
\[5.\frac{2y+6}{3}-8y=3\] ⇔ -14y = -21 ⇔ \[y=\frac{3}{2}\]
Thay \[y=\frac{3}{2}\] vào \[x=\frac{2y+6}{3}\] ta được: \[x=\frac{2.\frac{3}{2}+6}{3}=3\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[(3;\frac{3}{2})\].
Bài 14 ( Trang 15 – SGK)
Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:
.png)
Bài giải:
a) Từ phương trình thứ nhất ta có \[x=-y\sqrt{5}\]
Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được:
\[-y\sqrt{5}.\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}\] ⇔ \[-2y=1-\sqrt{5}\]
⇔ \[y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\]
Thay \[y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\] vào \[x=-y\sqrt{5}\] ta được
\[x=-\frac{\sqrt{5}-1}{2}.\sqrt{5}=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x, y) = \[(\frac{-5+\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\]
b) Từ phương trình thứ hai ta có \[y=4-2\sqrt{3}-4x\]
Thế vào y trong phương trình thứ nhất ta được:
\[(2-\sqrt{3})x-3.(4-2\sqrt{3}-4x)=2+5\sqrt{3}\]
⇔ \[(14-\sqrt{3})x=14-\sqrt{3}\] ⇔ x = 1
Thay x = 1 vào \[y=4-2\sqrt{3}-4x\] ta được
\[y=4-2\sqrt{3}-4.1=-2\sqrt{3}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \[(1;-2\sqrt{3})\].
Bài 15 ( Trang 15 – SGK)
.png)
a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1.
Bài giải:
a) Khi a = -1, ta có hệ phương trình
.png)
Hệ phương trình vô nghiệm (Do hai đường thẳng song song với nhau).
b) Khi a = 0, ta có hệ
.png)
Từ phương trình thứ nhất ta có x = 1 - 3y.
Thế vào x trong phương trình thứ hai, ta được:
1 - 3y + 6y = 0 ⇔ 3y = -1 ⇔ \[y=-\frac{1}{3}\]
Thay \[y=-\frac{1}{3}\] vào x = 1 - 3y ta được
\[x=1-3(-\frac{1}{3})=2\]
Hệ phương trình có nghiệm \[(x;y)=(2;-\frac{1}{3})\]
c) Khi a = 1, ta có hệ
.png)
Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 16 ( Trang 16 – SGk)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
.png)
Bài giải:
.png)
Từ phương trình (1) ⇔ y = 3x - 5 (3)
Thế (3) vào phương trình (2): 5x + 2(3x - 5) = 23
⇔ 5x + 6x - 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔x = 3
Từ đó y = 3 . 3 - 5 = 4.
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 4)
.png)
Từ phương trình (2) ⇔ y = 2x + 8 (3)
Thế (3) vào (1) ta được: 3x + 5(2x + 8) = 1 ⇔ 3x + 10x + 40 = 1
⇔ 13x = -39 ⇔ x = -3
Từ đó y = 2(-3) + 8 = 2.
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (-3; 2).
.png)
Phương trình (1) ⇔ \[x=\frac{2}{3}y\] (3)
Thế (3) vào (2): \[\frac{2}{3}y+y=10\] ⇔ \[\frac{5}{3}y=10\] ⇔ y = 6
Từ đó \[x=\frac{2}{3}.6=4\]
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (4; 6).
Bài 17 ( Trang 16 – SGK)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
.png)
Bài giải:
.png)
Từ phương trình (2) ⇔ \[x=\sqrt{2}-y\sqrt{3}\] (3)
Thế (3) vào (1): \[(\sqrt{2}-y\sqrt{3})\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\] ⇔ \[\sqrt{3}y(\sqrt{2}+1)=1\]
⇔ \[y=\frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\]
Từ đó \[x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=1\]
Vậy có nghiệm \[(x;y)=(1;\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}})\]
.png)
Từ phương trình (2) ⇔ \[y=1-\sqrt{10}-x\sqrt{2}\] (3)
Thế (3) vào (1): \[x-2\sqrt{2}(1-\sqrt{10}-x\sqrt{2})=\sqrt{5}\] ⇔ \[5x=2\sqrt{2}-3\sqrt{5}\]
⇔ \[x=\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}\]
Từ đó \[y=1-\sqrt{10}-(\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}).\sqrt{2}=\frac{1-2\sqrt{10}}{5}\]
Vậy hệ có nghiệm \[(x;y)=(\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5};\frac{1-2\sqrt{10}}{5})\]
.png)
Từ phương trình (2) ⇔ \[x=1-(\sqrt{2}+1)y\] (3)
Thế (3) vào (1): \[(\sqrt{2}-1)[1-(\sqrt{2}+1)y]-y=\sqrt{2}\] ⇔ -2y = 1 ⇔ \[y=-\frac{1}{2}\]
Từ đó \[x=1-(\sqrt{2}+1)(-\frac{1}{2})=\frac{3+\sqrt{2}}{2}\]
Vậy hệ có nghiệm \[(x;y)=\left( \frac{3+\sqrt{2}}{2};-\frac{1}{2} \right)\]
Bài 18 ( Trang 6 – SGK)
a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình
.png)
b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \[(\sqrt{2}-1;\sqrt{2})\]
Bài giải:
a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) khi và chỉ khi:
.png)
b) Hệ phương trình có nghiệm là (√2 - 1; √2) khi và chỉ khi:
.png)
Bài 19 ( Trang 16 – SGK)
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x - 3:
\[P(x)=m{{x}^{3}}+(m-2){{x}^{2}}-(3n-5)x-4n\]
Bài giải:
P(x) chia hết cho x + 1
⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0 ⇔-7 – n = 0 (1)
P(x) chia hết cho x - 3
⇔ P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0
⇔36m - 13n = 3 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.
.png)