Bài 17 ( Trang 49 – SGK)
Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:
a) \[4{{x}^{2}}+4x+1=0\]
b) \[13852{{x}^{2}}-14x+1=0\]
c) \[5{{x}^{2}}-6x+1=0\]
d) \[-3{{x}^{2}}+4\sqrt{6}x+4=0\]
Bài giải:
a) \[4{{x}^{2}}+4x+1=0\]
a = 4, b' = 2, c = 1
\[{\Delta }'={{2}^{2}}-4.1=0\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=0\]
\[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\]
b) \[13852{{x}^{2}}-14x+1=0\]
a = 13852, b' = - 7, c = 1
\[{\Delta }'={{(-7)}^{2}}-13852.1=-13803<0\]. Phương trình vô nghiệm.
c) \[5{{x}^{2}}-6x+1=0\]
a = 5,b' = - 3,c = 1
\[{\Delta }'={{(-3)}^{2}}-5.1=4\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=2\]
\[{{x}_{1}}=\frac{3+2}{5}=1,{{x}_{2}}=\frac{3-2}{5}=\frac{1}{5}\]
d) \[-3{{x}^{2}}+4\sqrt{6}x+4=0\]
\[a=-3,{b}'=2\sqrt{6},c=4\]
\[{\Delta }'={{(2\sqrt{6})}^{2}}-(-3).4=36\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=6\]
\[{{x}_{1}}=\frac{-2\sqrt{6}+6}{-3}=\frac{2\sqrt{6}-6}{3},{{x}_{2}}=\frac{-2\sqrt{6}-6}{-3}=\frac{2\sqrt{6+6}}{3}\]
Bài 18 ( Trang 49 – SGK)
Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + 2b’x + c = 0 và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
a) \[3{{x}^{2}}-2x={{x}^{2}}+3\]
b) \[{{(2x-\sqrt{2})}^{2}}-1=(x+1)(x-1)\]
c) \[3{{x}^{2}}+3=2(x+1)\]
d) \[0,5x(x+1)={{(x-1)}^{2}}\]
Bài giải:
a) \[3{{x}^{2}}-2x={{x}^{2}}+3\] \[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-2x-3=0\]
\[a=2,{b}'=-1,c=-3\]
\[{\Delta }'={{(-1)}^{2}}-2.(-3)=7\]
\[{{x}_{1}}=\frac{1+\sqrt{7}}{2}\approx 1.82,{{x}_{2}}=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.82\]
b) \[{{(2x-\sqrt{2})}^{2}}-1=(x+1)(x-1)\] \[\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4\sqrt{2}x+2=0\]
\[a=3,{b}'=-2\sqrt{2},c=2\]
\[{\Delta }'={{(-2\sqrt{2})}^{2}}-3.2=2\]
\[{{x}_{1}}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\approx 1.41;{{x}_{2}}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0.47\]
c) \[3{{x}^{2}}+3=2(x+1)\] \[\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2x+1=0\]
\[a=3,{b}'=-1,c=1\]
\[{\Delta }'={{(-1)}^{2}}-3.1=-2<0\]. Phương trình vô nghiệm.
d) \[0,5x(x+1)={{(x-1)}^{2}}\] \[\Leftrightarrow 0,5{{x}^{2}}-2,5x+1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+2=0\]
\[a=1,{b}'=-2,5,c=2\]
\[{\Delta }'={{(-2,5)}^{2}}-1.2=4.25\]
\[{{x}_{1}}=2,5+\sqrt{4,25}\approx 4,56;{{x}_{2}}=2,5-\sqrt{4,25}\approx 0.44\]
(Rõ ràng trong trường hợp này dung công thức nghiệm thu gọn cũng không đơn giản hơn)
Bài 19 ( Trang 49 – SGK)
Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] vô nghiệm thì \[a{{x}^{2}}+bx+c>0\] với mọi giá trị của x ?
Bài giải:
Khi a > 0 và phương trình vô nghiệm thì \[{{b}^{2}}-4ac<0\]
Do đó: \[-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}>0\]
Suy ra: \[a{{x}^{2}}+bx+c=a{{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}>0\] với mọi x
Bài 20 ( Trang 49 – sGK)
Giải các phương trình:
a) \[25{{x}^{2}}-16=0\]
b) \[2{{x}^{2}}+3=0\]
c) \[4,2{{x}^{2}}+5,46x=0\]
d) \[4{{x}^{2}}-2\sqrt{3}x=1-\sqrt{3}\text{ }\]
Bài giải:
a) \[25{{x}^{2}}\text{-}16=0\Leftrightarrow 25{{x}^{2}}=16\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{16}{25}\Leftrightarrow x=\text{ }\pm \sqrt{\frac{16}{25}}=\text{ }\pm \frac{4}{5}\]
b) \[2{{x}^{2}}+3=0\]. Phương trình vô nghiệm vì vế trái là \[2{{x}^{2}}+3\ge 3\] còn vế phải bằng 0.
c) \[4,2{{x}^{2}}+5,46x=0\Leftrightarrow 2x\left( 2,1x+2,73 \right)=0\].
Vậy \[x=0\] hoặc \[2,1x+2,73=0=>x=-1,3\]
d) \[4{{x}^{2}}-2\sqrt{3}x=1-\sqrt{3}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-2\sqrt{3}x-1+\sqrt{3}=0\]
Có \[a=4,b=-2\sqrt{3},b=-\sqrt{3},c=-1+\sqrt{3}\]
\[{\Delta }'={{\left( -\sqrt{3} \right)}^{2}}-4.\left( -1+\sqrt{3} \right)=3+4-4\sqrt{3}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=2-\sqrt{3}\]
\[{{x}_{1}}=\frac{\sqrt{3}-2+\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}-1}{2},{{x}_{2}}=\frac{\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}\].
Bài 21 ( Trang 49 – SGK)
Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem Toán 7, Tập 2, tr.26):
a) \[{{x}^{2}}=12x+288\]
b) \[\frac{1}{12}{{x}^{2}}+\frac{7}{12}x=19\]
Bài giải:
a) \[{{x}^{2}}=12x+288\Leftrightarrow {{x}^{2}}-12x-288=0\]
\[\Delta ={{\left( -6 \right)}^{2}}-1.\left( -288 \right)=36+288=324\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=18\]
\[{{x}_{1}}=6+18=24,{{x}_{2}}=6-18=-12\]
b) \[\frac{1}{12}{{x}^{2}}+\frac{7}{12}x=19\Leftrightarrow {{x}^{2}}+7x-228=0\]
\[\Delta =49-4.\left( -228 \right)=49+912=961={{31}^{2}}\]
\[{{x}_{1}}=\frac{-7+31}{2}=12,{{x}_{2}}=\frac{-7-31}{2}=-19\]
Bài 22 ( Trang 49 – SGK)
Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
a) \[15{{x}^{2}}+4x-2005=0\]
b) \[-\frac{19}{5}{{x}^{2}}-\sqrt{7}x+1890=0\]
Bài giải:
Khi phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] có a, c trái dấu thì ac < 0, suy ra – ac > 0; hơn nữa \[{{b}^{2}}\ge 0\]. Do đó \[\Delta ={{b}^{2}}-4ac>0\]. ậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng:
a) \[15{{x}^{2}}+4x-2005=0\]
có a = 15, c = - 2005 trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) \[-\frac{19}{5}{{x}^{2}}-\sqrt{7}x+1890=0\] có: \[a\text{ }=-\frac{19}{5}\]; c = 1890 trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 23 ( Trang 50 – SGK)
ađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc v của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức:
\[v=3{{t}^{2}}-30t+135\] ( t: tính bằng phút; v: tính bằng km/h)
a) Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút.
b) Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120 km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài giải:
a) Khi t = 5 phút thì \[v={{3.5}^{2}}-30.5+135=60(km/h)\]
b) Khi v = 120 km/h, để tìm t ta giải phương trình sau: \[120=3{{t}^{2}}-30t+135\]
hay \[{{t}^{2}}-10t+5=0\]
Có \[a=1,b=-10,{b}'=-5,c=5\]
\[\Delta ={{5}^{2}}-5=25-5=20\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=2\sqrt{5}\]
\[{{t}_{1}}=5+2\sqrt{5}\approx 9,47,{{t}_{2}}=5-2\sqrt{5}\approx 0,53\]
Vì rađa chỉ theo dõi trong 10 phút nên 0 < t < 10 nên cả hai giá trị của t đều thích hợp. Vậy \[{{t}_{1}}\approx 9,47\] ( phút) ; \[{{t}_{2}}\approx 0,53\] ( phút)
Bài 24 ( Trang 50 – SGK)
Cho phương trình ẩn x: \[{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}=0\]
a) Tính \[{\Delta }'\]
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Có nghiệm kép ? Vô nghiệm ?
Bài giải:
a) \[{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}=0\]
Có \[a=1,b=-2(m-1),{b}'=-(m-1),c={{m}^{2}}\]
\[{\Delta }'={{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-{{m}^{2}}={{m}^{2}}-2m+1-{{m}^{2}}=1-2m\]
b) Ta có:
\[{\Delta }'=1-2m\]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 – 2m > 0 hay khi \[m<\frac{1}{2}\]
Phương trình vô nghiệm khi \[m>\frac{1}{2}\]
Phương trình có nghiệm kép khi \[m=\frac{1}{2}\].