Bài 44 ( Trang 86 – SGK)
Cho tam giác AB vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Hướng dẫn giải:
Theo tính chất của góc ngoài tam giác, ta có;
\[\widehat{{{I}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{B}_{1}}}\] (1)
\[\widehat{{{I}_{2}}}=\widehat{{{A}_{2}}}+\widehat{{{C}_{1}}}\] (2)
Cộng vế (1) và (2) vế với vế: \[\widehat{{{I}_{1}}}+\widehat{{{I}_{2}}}=\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{A}_{2}}}+\widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{C}_{1}}}\]
Hay \[\hat{I}={{90}^{{}^\circ }}+{{45}^{{}^\circ }}={{135}^{{}^\circ }}\]
Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc \[{{135}^{{}^\circ }}\] không đổi, vậy quỹ tích của I là góc cung chứa góc \[{{135}^{{}^\circ }}\] dựng trên đoạn thẳng BC.
Bài 45 ( Trang 86 – SGk)
Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.
Hướng dẫn giải:
Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, vậy điểm O nhìn AB cố định dưới góc \[{{90}^{{}^\circ }}\].Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB.
.png)
Bài 46 ( Trang 86 – SGK)
Dựng một cung chứa góc \[{{55}^{{}^\circ }}\] trên đoạn thẳng AB = 3cm.
Hướng dẫn giải:
Trình tự dựng như sau:
- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm)
- Dựng góc \[\widehat{xAB}={{55}^{0}}\] (dùng thước đo góc và thước thẳng)
- Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke)
Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chia khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.
- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)
Ta có: \[\overset\frown{AmB}\] là cung chứa góc \[{{55}^{{}^\circ }}\] dựng trên đoạn thẳng AB = 3cm (một cung)
Bài 47 ( Trang 86 – SGK)
Gọi cung chứa góc \[{{55}^{{}^\circ }}\]ở bài tập 46 là \[\overset\frown{AmB}\]. Lấy điểm \[{{M}_{1}}\] nằm bên trong và điểm \[{{M}_{2}}\] nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho \[{{M}_{1}};{{M}_{2}}\] và \[\overset\frown{AmB}\]nằm cùng về một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:
a) \[\widehat{A{{M}_{1}}B}>{{55}^{0}}\]
b) \[\widehat{A{{M}_{2}}B}<{{55}^{0}}\]
Hướng dẫn giải:
\[{{M}_{1}}\] là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc \[{{55}^{0}}\] (hình a).
Gọi B’, A’ theo thứ tự là giao điểm của \[{{M}_{1}}A\]; \[{{M}_{1}}B\] với cung tròn. Vì \[\widehat{A{{M}_{1}}B}\] là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên: \[\widehat{A{{M}_{1}}B}=\frac{sd\overset\frown{AB}+sd\overset\frown{{A}'{B}'}}{2}={{55}^{0}}\]+ (một số dương).
Vậy \[\widehat{A{{M}_{1}}B}>{{55}^{0}}\].
b) \[{{M}_{2}}\] là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn (h.b), \[{{M}_{2}}A\]; \[{{M}_{2}}B\] lần lượt cắt đường tròn tại A’, B’. Vì góc \[\widehat{A{{M}_{2}}B}\] là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên:
\[\widehat{A{{M}_{2}}B}=\frac{sd\overset\frown{AB}-sd\overset\frown{{A}'{B}'}}{2}={{55}^{0}}\] - (một số dương).
Vậy \[\widehat{A{{M}_{2}}B}<{{55}^{0}}\]
Bài 48 ( Trang 87 – SGK)
Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính BA. Tiếp tuyến BA vuông góc với bán kính BT tại tiếp điểm T.
Do AB cố định nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.
- Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính lớn hơn BA: quỹ tích là tập hợp rỗng.
Bài 49 ( Trang 87 – SGK)
Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, \[\hat{A}={{40}^{0}}\]
và đường cao AH = 4cm.
Hướng dẫn giải:
Trình tự dựng gồm 3 bước:
- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm
- Dựng cung chứa góc \[{{40}^{0}}\] trên đoạn thẳng BC.
- Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:
Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH' = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH' tại H.
Gọi giao điểm xy và cung chứa góc là \[\hat{A},\hat{{A}'}\] Khi đó tam giác ABC hoặc A'BC đều thỏa yêu cầu của đề toán.
Bài 50 ( Trang 87 – SGK)
Cho đường tròn đường kính AB cố định. M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.
a) Chứng minh \[\widehat{AIB}\] không đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.
Hướng dẫn giải:
a) Vì \[\widehat{BMA}={{90}^{0}}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra trong tam giác vuông MIB có \[tg\widehat{AIB}=\frac{MB}{MI}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AIB}={{26}^{0}}3{4}'\].
Vậy \[\widehat{AIB}\] không đổi.
b) Phần thuận:
Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc \[{{26}^{0}}3{4}'\], vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc \[{{26}^{0}}3{4}'\] dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung \[\overset\frown{AmB}\] và \[\overset\frown{Am'B}\] )
Phần đảo:
Lấy điểm I' bất kì thuộc \[\overset\frown{AmB}\] hoặc \[\overset\frown{Am'B}\], I'A cắt đường tròn đường kính AB tại M'.
Tam giác vuông BMT, có \[tg\hat{{I}'}=\frac{{M}'B}{{M}'{I}'}=tg{{26}^{0}}34\].
Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung \[\overset\frown{AmB}\]và \[\overset\frown{Am'B}\].
Bài 51 ( Trang 87 – SGK)
Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với \[\hat{A}={{60}^{0}}\].Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'.
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}={{2.60}^{0}}={{120}^{0}}\] (1 ) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
Và \[\widehat{BHC}=\widehat{{B}'H{C}'}\] ( đối đỉnh)
Mà \[\widehat{{B}'H{C}'}={{180}^{0}}-\hat{A}={{180}^{0}}-{{60}^{0}}={{120}^{0}}\]
Nên \[\widehat{BHC}={{120}^{0}}\] (2)
\[\widehat{BIC}=\hat{A}+\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}={{60}^{0}}+\frac{{{180}^{{}^\circ }}-{{60}^{{}^\circ }}}{2}={{60}^{0}}+{{60}^{0}}\] (sử dụng góc ngoài của tam giác)
Bài 52 ( Trang 87 – SGK)
“Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 m.
Hướng dẫn giải:
Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ. Gọi H là trung điểm PQ, \[\widehat{PMH}=\alpha \]
Theo các giả thiết đã cho thì trong tam giác vuông MHP, ta có:
\[tga=\frac{3,66}{11}\approx 0,333\Rightarrow a={{18}^{0}}36\]
Vậy góc sút phạt đền là \[2a\approx {{37}^{0}}12'\].