Bài 30 ( Trang 124 – SGK)
Nếu thể tích của một hình cầu là \[113\frac{1}{7}\] thì trong các kết quả sau đây, kết quả nào là bán kính của nó (lấy \[\pi =\frac{22}{7}\]) ?
(A) 2 cm (B) 3 cm (C) 5 cm (D) 6 cm ;
(E) Một kết quả khác.
Giải:
Từ công thức: \[V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\Rightarrow R=\frac{3V}{4\pi }\Rightarrow R=27\]
Suy ra R = 3
Vậy chọn B.
Bài 31 ( Trang 124 – SGK)
Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:
.png)
Giải
ÁP dụng công thức tính diện tích mặt cầu: \[S=4\pi {{R}^{2}}\]
và công thức tính thể tích mặt cầu: \[V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\]
Thay bán kính mặt cầu vào ta tính được bảng sau:
.png)
Bài 32 ( Trang 125 – SGK)
Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn là r, chiều cao 2r (đơn vị: cm)
Người ta khoẻt rỗng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại(diện tích cả ngoài lần trong).
Giải:
Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ bán kính đường tròn đáy là r (cm), chiều cao là 2r (cm) và một mặt cầu bán kính r (cm).
Diện tích xung quanh của hình trụ: \[{{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi r.2r=4\pi {{r}^{2}}\,(c{{m}^{2}})\]
Diện tích mặt cầu: \[S=4\pi {{r}^{2}}\,\,(c{{m}^{2}})\]
Diện tích cần tính là: \[4\pi {{r}^{2}}+4\pi {{r}^{2}}=8\pi {{r}^{2}}\,\,(c{{m}^{2}})\]
Bài 33 ( Trang 125 – SGK)
Dụng cụ thể thao
Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
Giải:
Dòng thứ nhất: Từ \[C=\pi .d\Rightarrow d=\frac{C}{\pi }=\frac{23}{\frac{22}{7}}=7,32\]
Dòng thứ hai: Áp dụng công thức C = π.d , thay số vào ta được
\[d=42,7mm\Rightarrow C=\frac{22}{7}.42,7=134,08mm\]
\[d=6,6cm\Rightarrow C=\frac{22}{7}.6,6=20,41cm\]
\[d=40mm\Rightarrow C=\frac{22}{7}.40=125,6mm\]
\[d=61mm\Rightarrow C=\frac{22}{7}.61=191,71mm\]
Dòng thứ ba: ÁP dụng công thức \[S=\pi {{d}^{2}}\], thay số vào ta được:
\[d=42,7mm\Rightarrow S=\frac{22}{7}.42,{{7}^{2}}\approx 5730,34(m{{m}^{2}})\approx 57,25(c{{m}^{2}})\]
\[d=6,5cm\Rightarrow S=\frac{22}{7}.6,{{5}^{2}}=132,65\,\,(c{{m}^{2}})\]
\[d=40mm\Rightarrow S=\frac{22}{7}{{.40}^{2}}=5024\,(m{{m}^{2}})\]
\[d=61mm\Rightarrow S=\frac{22}{7}.612=11683,94\,\,(m{{m}^{2}})\]
Dòng thứ 4: áp dụng công thức \[V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\] , thay số vào ta được các kết quả ghi vào bảng dưới đây:
.png)
Bài 34 ( Trang 125 – SGK)
Khinh khí cầu của nhà Mông gôn fi ê
Ngày 4 - 6 - 1783, anh em nhà Mông gôn fi ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khí cầu này là hình cầu có đường kính 11 m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Giải:
Diện tích của khinh khí cầu: \[\pi {{d}^{2}}=3,14.11.11=379,94\,\,({{m}^{2}})\]
Bài 35 ( Trang 126 – SGK)
Một cái bồn chứa xăng gồm hai cửa hình cầu và hình trụ (h110)
Hãy tính thể tích của bồn chưa theo kích thước cho trên hình vẽ.
Giải:
Thể tích cần tính gồm một hình trụ và một hình cầu.
- Bán kính đáy của hình trụ là 0,9m, chiều cao là 3,62m.
- Bán kính của hình cầu là 0,9 m
Thể tích của hình trụ là : \[{{V}_{tru}}=\pi {{r}^{2}}h=3,14{{\left( 0,9 \right)}^{2}}.3,62=9,215\,\,({{m}^{3}})\]
Thể tích của hình cầu là: \[{{V}_{cau}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}.3,14{{(0,9)}^{3}}=3,055\,\,({{m}^{3}})\]
Thể tích của bồn chứa xăng: \[V={{V}_{tru}}+{{V}_{cau}}=9,215+3,055=12,27\,\,({{m}^{3}})\]
Bài 36 ( Trang 126 – SGK)
Một chi tiết máy gồm một hình trù và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm)
a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a.
b) Với điều kiện ở a) hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết theo x và a.
Giải:
a) Ta có h + 2x = 2a
b) - Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là x, chiều cao là h và diện tích mặt cầu có bán kính là x.
- Diện tích xung quanh của hình trụ: \[{{S}_{tru}}=2\pi xh\]
- Diện tích mặt cầu: \[{{S}_{cau}}=4\pi {{x}^{2}}\]
Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là: \[S={{S}_{tru}}+{{S}_{cau}}=2\pi xh+4\pi {{x}^{2}}=2\pi x\left( h+2x \right)=4\pi ax\]
Thể tích cần tìm gồm thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:
\[{{V}_{tru}}=\pi {{x}^{2}}h\]
\[{{V}_{cau}}=\frac{4}{3}\pi {{x}^{3}}\]
Nên thể tích của chi tiết máy là:
\[V={{V}_{tru}}+{{V}_{cau}}=\pi {{x}^{2}}h+\frac{4}{3}\pi {{x}^{3}}=2\pi {{x}^{2}}(a-x)+\frac{4}{3}\pi {{x}^{3}}=2\pi {{x}^{2}}\left( a-\frac{1}{3}x \right)\]
Bài 37 ( Trang 126 – SGK)
Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.
b) Chứng minh rằng \[AM.BN={{R}^{2}}\]
c) Tính tỉ số \[\frac{{{S}_{MON}}}{{{S}_{APB}}}\,\,khi\,\,AM=\frac{R}{2}\]
d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.
Giải:
a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của \[\widehat{AOP}\,\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,\text{ }\widehat{BOP}\]
Mà \[\widehat{AOP}\,\] kề bù \[\widehat{BOP}\] nên suy ra OM vuông góc với ON.
Vậy ∆MON vuông tại O.
Lại có ∆APB vuông vì có góc \[\widehat{APB}\] vuông (góc nội tiếp chắn nửa cung tròn)
Tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn vì có \[\widehat{MAP}+\text{ }\widehat{MPO}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{PMO}=\text{ }\widehat{PAO}\] (cùng chắn cung OP).
Vậy hai tam giác vuông MON và APB đồng dạng vì có cặp góc nhọn bằng nhau.
b)
Tam giác AM = MP, BN = NP (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Tam giác vuông MON có OP là đường cao nên: \[MN.PN=O{{P}^{2}}\,\,\,(2)\]
Từ 1 và 2 suy ra \[AM.BN=O{{P}^{2}}={{R}^{2}}\]
c) Từ tam giác MON đồng dạng với tam giác APB ta có : \[\frac{{{S}_{MON}}}{{{S}_{APB}}}=\frac{M{{N}^{2}}}{A{{B}^{2}}}\]
Khi \[AM=\frac{R}{2}\] do \[AM.BN={{R}^{2}}\] suy ra BN = 2R
Do đó: MN = MP + PN = AM + BN \[=\text{ }\frac{R}{2}+\text{ }2R=\text{ }\frac{5R}{2}\]
Suy ra \[M{{N}^{2}}=\frac{25{{R}^{2}}}{4}\]
Vậy \[\frac{{{S}_{MON}}}{{{S}_{APB}}}=\text{ }\frac{\frac{25{{R}^{2}}}{4}}{{{(2R)}^{2}}}=\frac{25}{16}\]
d) Nửa hình tròn APB quay quanh đường kính AB = 2Rsinh ra một hình cầu có bán kính R.
Vậy \[V=\text{ }\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\].