Bài 25 ( Trang 52 – SGK)
Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):
a) \[2{{x}^{2}}-17x+1=0\]; \[\Delta =\ldots ,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\ldots ,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\ldots \]
b) \[5{{x}^{2}}-x-35=0\]; \[\Delta =\ldots ,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\ldots ,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\ldots \]
c) \[8{{x}^{2}}-x+1=0;\Delta =\ldots ,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\ldots ,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\ldots \text{ }\]
d) \[25{{x}^{2}}+10x+1=0;\Delta =\ldots ,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\ldots ,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\ldots \text{ }\]
Bài giải:
a) \[2{{x}^{2}}-17x+1=0\] có \[a=2,b=-17,c=1\]
\[\Delta ={{\left( -17 \right)}^{2}}-4.2.1=289-8=281\]
\[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{-17}{2}=\frac{17}{2};{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{2}\]
b) \[5{{x}^{2}}-x-35=0\] có \[a=5,b=-1,c=-35\]
\[\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4.5.\left( -35 \right)=1+700=701\]
\[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{-1}{5}=\frac{1}{5};{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-35}{5}=-7\]
c) \[8{{x}^{2}}-x+1=0\] có \[a=8,b=-1,c=1\]
\[\Delta ={{\left( -1 \right)}^{2}}-4.8.1=1-32=-31<0\]
Phương trình vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.
d) \[25{{x}^{2}}+10x+1=0\] có \[a=25,b=10,c=1\]
\[\Delta ={{10}^{2}}-4.25.1=100-100=0{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{10}{25}=-\frac{2}{5};{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{25}\]
Bài 26 ( Trang53 SGK)
Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :
a) \[35{{x}^{2}}-37x+2=0\]
b) \[7{{x}^{2}}+500x-507=0\]
c) \[{{x}^{2}}-49x-50=0\]
d) \[4321{{x}^{2}}+21x-4300=0\]
Bài giải:
a) \[35{{x}^{2}}-37x+2=0\] có a = 0, b = -37, c = 2
Do đó: a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0
Nên \[{{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{2}{35}\]
b) \[7{{x}^{2}}+500x-507=0\] có a =7, b = 500, c = -507
Do đó: a + b + c = 7 + 500 - 507=0
Nên \[{{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=-\frac{507}{7}\]
c) \[{{x}^{2}}-49x-50=0\] có a = 1, b = -49, c = -50
do đó: a - b + c = 1 - (-49) - 50 = 0
nên \[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{-50}{1}=50\]
d) \[4321{{x}^{2}}+21x-4300=0\] có a = 4321, b = 21, c = -4300
do đó: a - b + c = 4321 - 21 + (-4300) = 0
nên \[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{-4300}{4321}=\frac{4300}{4321}\].
Bài 27 ( Trang 53 – SGK)
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
a) \[{{x}^{2}}-7x+12=0\]
b) \[{{x}^{2}}+7x+12=0\]
Bài giải:
a) \[{{x}^{2}}-7x+12=0\] có a = 1, b = -7, c = 12
nên \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{-7}{1}=7=3+4\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{12}{1}=12=3.4\]
Vậy \[{{x}_{1}}=3,{{x}_{2}}=4\].
b) \[{{x}^{2}}+7x+12=0\] có a = 1, b = 7, c = 12
nên \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{7}{1}=-7=-3+(-4)\] ; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{12}{1}=12=(-3).(-4)\]
Vậy \[{{x}_{1}}=-3,{{x}_{2}}=-4\].
Bài 28 ( Trang 53 – SGK)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 32, uv = 231;
b) u + v = -8, uv = -105;
c) u + v = 2, uv = 9
Bài giải:
a) u và v là nghiệm của phương trình: \[{{x}^{2}}-32x+231=0\]
\[\Delta ={{(\text{-}16)}^{2}}-231.1=256-231=25\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=5\]
\[{{x}_{1}}=21;{{x}_{2}}=11\]
Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21.
b) u, v là nghiệm của phương trình: \[{{x}^{2}}+8x-105=0\]
\[\Delta ={{4}^{2}}\text{-1}.(\text{-105})\text{=}16+105=121\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=11\]
\[{{x}_{1}}=-4+11=7;{{x}_{2}}=-4-11=-15\].
Vậy u = 7, v = -15 hoặc u = -15, v = 7.
c) Vì \[{{2}^{2}}-4.9<0\] nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện đã cho.
Bài 29 ( Trang 54 – SGK)
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a) \[4{{x}^{2}}+2x-5=0\]
b) \[9{{x}^{2}}-12x+4=0\]
c) \[5{{x}^{2}}+x+2=0\]
d) \[159{{x}^{2}}-2x-1=0\]
Bài giải:
a) Phương trình \[4{{x}^{2}}+2x-5=0\] có nghiệm vì a = 4, c = -5 trái dấu nhau nên
\[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{1}{2},{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{5}{4}\]
b) Phương trình \[9{{x}^{2}}-12x+4=0\] có \[{\Delta }'=36-36=0\]
\[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3},{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{4}{9}\]
c) Phương trình \[5{{x}^{2}}+x+2=0\] có \[\Delta ={{1}^{2}}-4.5.2=-39<0\].
Phương trình vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm.
d) Phương trình \[159{{x}^{2}}-2x-1=0\] có hai nghiệm phân biệt vì a và c trái dấu:
\[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2}{159},{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{1}{159}\]
Bài 30 ( Trang 54 – SGK)
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) \[{{x}^{2}}-2x+m=0\]
b) \[{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}=0\]
Bài giải:
a) Phương trình \[{{x}^{2}}-2x+m=0\] có nghiệm khi \[{\Delta }'=1-m\ge 0\] hay \[m=1\]
Khi đó \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2;{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m\]
b) Phương trình \[{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}=0\] có nghiệm khi \[{\Delta }'={{m}^{2}}-2m+1-{{m}^{2}}=1-2m\ge 0\]
hay khi \[m=\frac{1}{2}\]
khi đó \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-1 \right);\text{ }{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}\].
Bài 31 ( Trang 54 – SGK)
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) \[1,5{{x}^{2}}-1,6x+0,1=0\]
b) \[\sqrt{3}{{x}^{2}}-\left( 1-\sqrt{3} \right)x-1=0\]
c) \[\left( 2-\sqrt{3} \right){{x}^{2}}+2\sqrt{3}x-\left( 2+\sqrt{3} \right)=0\]
d) \[\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)x+m+4=0\] với \[(m\ne 1).\]
Bài giải:
a) Phương trình \[1,5{{x}^{2}}-1,6x+0,1=0\] có a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0
nên \[{{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{0,1}{15}=\frac{1}{150}\]
b) Phương trình \[\sqrt{3}{{x}^{2}}-\left( 1-\sqrt{3} \right)x-1=0\] có \[a-b+c=\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})+(-1)=0\]
nên \[{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=-\frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
c) \[\left( 2-\sqrt{3} \right){{x}^{2}}+2\sqrt{3}x-\left( 2+\sqrt{3} \right)=0\] có \[a+b+c=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-(2+\sqrt{3})=0\]
nên \[{{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=\frac{-(2+\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}=-{{(2+\sqrt{3})}^{2}}=-7-4\sqrt{3}\text{ }\]
d) \[\left( 2-\sqrt{3} \right){{x}^{2}}+2\sqrt{3}x-\left( 2+\sqrt{3} \right)=0\] có a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0
nên \[{{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=\frac{m+4}{m-1}\].
Bài 32 ( Trang 54 – sGK)
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 42, uv = 441;
b) u + v = -42, uv = -400;
c) u – v = 5, uv = 24.
Bài giải:
a) u + v = 42, uv = 441 => u, v là nghiệm của phương trình: \[{{x}^{2}}-42x+441=0\]
\[\Delta ={{21}^{2}}-441=441-441=0\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=0;\]
\[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=21\]
Vậy u = v = 21
b) u + v = -42, uv = -400, u, v là nghiệm của phương trình: \[{{x}^{2}}+42x-400=0\]
\[{\Delta }'=441+400=841\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }'}}=29;\]
\[{{x}_{1}}=8;{{x}_{2}}=-50\]
Do đó: u = 8, v = -50 hoặc u = -50, v = 8.
c) u – v = 5, uv = 24. Đặt –v = t, ta có u + t = 5, ut = -24, ta có u, t là nghiệm của phương trình: \[{{x}^{2}}-5x-24=0\].Giải ra ta được: \[{{x}_{1}}=\text{8},{{x}_{2}}=\text{-3}\]
Vậy u = 8, t = -3 hoặc u = -3, t = 8
Do đó: u = 8, v = 3 hoặc u = -3, t = 8.
Bài 33 ( Trang 54 – SGK)
Chứng tỏ rằng nếu phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] có nghiệm là\[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thì tam thức \[a{{x}^{2}}+bx+c\text{ }\] phân tích được thành nhân tử như sau: \[a{{x}^{2}}+bx+c=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})\]
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) \[2{{x}^{2}}-5x+3\]
b) \[3{{x}^{2}}+8x+2\]
Bài giải:
Biến đổi vế phải:
\[a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})=a{{x}^{2}}-a({{x}_{1}}+{{x}_{2}})x+a{{x}_{1}}{{x}_{2}}=a{{x}^{2}}-a\left( -\frac{b}{a} \right)x+a\frac{c}{a}=a{{x}^{2}}+bx+c\]
Vậy phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] có nghiệm là\[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thì: \[a{{x}^{2}}+bx+c=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})\]
Áp dụng:
a) Phương trình \[2{{x}^{2}}-5x+3\] có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 nên có hai nghiệm là \[{{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=\frac{3}{2}\] nên: \[2{{x}^{2}}\text{+}5x+3=2(x\text{-}1)(x-\frac{3}{2})=(x-1)(2x-3)\]
b) Phương trình \[3{{x}^{2}}+8x+2\] có a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2
nên \[\Delta ={{4}^{2}}-3.2=10\] có hai nghiệm là: \[{{x}_{1}}=\frac{-4-\sqrt{10}}{3}\text{; }{{x}_{2}}=\frac{-4+\sqrt{10}}{3}\]
nên \[3{{x}^{2}}+8x+2=3(x-\frac{-4-\sqrt{10}}{3})(x-\frac{-4+\sqrt{10}}{3}=3(x+\frac{4+\sqrt{10}}{3})(x+\frac{4-\sqrt{10}}{3})\].