Bài 10 ( Trang 104 – SGK)

Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

b) DE < BC

Giải

a) Gọi O là trung điểm của BC.

Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền ta có: 

\[EO=\frac{1}{2}BC;DO=\frac{1}{2}BC\]

Suy ra \[OE=OD=OB=OC(=\frac{1}{2}BC)\]

Do đó 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BC. 

b) Xét đường \[\left( O;\frac{BC}{2} \right)\], BC là đường kính, DE là một dây cung không đi qua tâm, do đó  DE < BC.

Bài 11 ( Trang 104 – SGK)

Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.

Gợi ý:

Kẻ OM vuông góc với CD. 

Giải

Vẽ \[OM\bot CD\]

Xét tam giác OCD có:

Tam giác OCD cân tại O có OM là đường cao nên cũng đồng thời là đường trung tuyến.

\[\Rightarrow MC=MD\]  (1)

Xét hình thang AHKB, ta có:

OM // AH //BK (cùng vuông góc với CD)

\[AO=BO=\frac{AB}{2}\]

Vậy MO là đường trung bình của hình thang AHKB

\[\Rightarrow MH=MK\] (2)

Từ (1) và (2)  \[\Rightarrow CH=DK\]

Nhận xét: Kết quả của bài toán trên không thay đổi nếu ta đổi chỗ hai điểm C và D cho nhau