Bài 61 ( Trang 91 – SGK)
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a)
c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O;r).
Hướng dẫn giải:
a) Chọn điểm O làm tâm , mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm: (O; 2cm). Vẽ bằng eke và thước thẳng.
b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O;2cm)
c) Vẽ \[OH\bot AD\].
OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
r = OH = AH
\[{{r}^{2}}+{{r}^{2}}=O{{A}^{2}}={{2}^{2}}\Rightarrow 2{{r}^{2}}=4\Rightarrow r=\sqrt{2}(cm)\]
Vẽ đường tròn \[(O;\sqrt{2}cm)\] .Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.
Bài 62 ( Trang 91 – SGK)
a) Vẽ tam giác ABC cạnh a = 3cm.
b) Vẽ đường tròn (O;R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c) Vẽ đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.
d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O;R).
Hướng dẫn giải:
a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa)
b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác của tam giác đều ABC).
Ta có: \[R=OA=\frac{2}{3}A{A}'=\frac{2}{3}.\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(cm)\]
c) Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều \(ABC\) tại các trung điểm A', B', C' của các cạnh.
\[r=O{A}'=\frac{1}{3}A{A}'=\frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(cm)\]
d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).
Bài 63 ( Trang 92 – SGK)
Gọi \[{{a}_{i}}\] là cạnh của đa giác đều i cạnh.
a) \[{{a}_{6}}=R\] (vì \[O\left( {{A}_{1}};{{A}_{2}} \right)\] là tam giác đều )
Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung \[\overset\frown{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}\] , \[\overset\frown{{{A}_{2}}{{A}_{3}}}\],…\[\overset\frown{{{A}_{6}}{{A}_{1}}}\] mà căng cung có độ dài bằng R. Nối A1 với A2, A2 với A3,…, A6 với A1 ta được hình lục giác đều \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}}{{A}_{5}}{{A}_{6}}\] nội tiếp đường tròn.
b) Hình b
Trong tam giác vuông: \[O{{A}_{1}}{{A}_{2}}:\text{ }{{a}^{2}}={{R}^{2}}+{{R}^{2}}=2{{R}^{2}}\Rightarrow a=R\sqrt{2}\text{ }\]
Cách vẽ như ở bài tập 61.
c) Hình c
\[{{A}_{1}}H=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}\]
\[{{A}_{3}}H=\frac{a}{2}\]
\[{{A}_{1}}{{A}_{3}}=a\]
Trong tam giác vuông \[{{A}_{1}}H{{A}_{3}}\] có: \[{{A}_{1}}{{H}^{2}}={{A}_{1}}{{A}_{3}}^{2}-{{A}_{3}}{{H}^{2}}\]
Từ đó: \[\frac{9{{R}^{2}}}{4}={{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}\] \[\Rightarrow {{a}^{2}}=3{{R}^{2}}\Rightarrow a=R\sqrt{3}\text{ }\]
Cách vẽ như câu a) hình a.
Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác
\[{{A}_{1}}{{A}_{3}}{{A}_{5}}\] như hình c
Bài 64 ( Trang 92 – SGK)
Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung \[\overset\frown{AB};\overset\frown{BC};\overset\frown{CD}\] sao cho: \[sd\overset\frown{AB}={{60}^{o}}\]; \[sd\overset\frown{BC}={{90}^{o}}\]; \[sd\overset\frown{CD}={{120}^{o}}\]
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
Hướng dẫn giải:
\[\widehat{BA\text{D}}=\frac{{{90}^{0}}+{{120}^{0}}}{2}={{105}^{0}}\] (góc nội tiếp chắn \[\overset\frown{BCD}\]) (1)
\[\widehat{A\text{D}C}=\frac{{{60}^{0}}+{{90}^{0}}}{2}={{75}^{0}}\] ( góc nội tiếp chắn \[\overset\frown{ABC}\]) (2)
Từ (1) và (2) có: \[\widehat{BA\text{D}}+\widehat{A\text{D}C}={{105}^{0}}+{{75}^{0}}={{180}^{0}}\] (3)
\[\widehat{BA\text{D}}\] và \[\widehat{A\text{D}C}\] là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD.
Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp là hình thang cân.
Vậy ABCD là hình thang cân (BC = AD) và \[\overset\frown{BC}=\overset\frown{AD}={{90}^{o}}\]
b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.
\[\widehat{CI\text{D}}\]= \[\frac{sd\overset\frown{AB}+sd\overset\frown{CD}}{2}=\frac{{{60}^{0}}+{{120}^{0}}}{2}={{90}^{0}}\]
Vậy \[AC\bot BD\]
c) Vì \[sd\overset\frown{AB}={{60}^{o}}\] nên \[BC=R\sqrt{2}\] ; \[\Rightarrow AD=BC=R\sqrt{2}\]
nên \[sd\overset\frown{CD}={{120}^{o}}\] \[\Rightarrow CD=R\sqrt{3}\].