Bài 88 ( Trang 103 – SGk)
Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:
Ví dụ. góc trên hình 66b) là góc nội tiếp).
Hướng dẫn làm bài:
a) Góc ở tâm.
b) Góc nội tiếp.
c) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
d) Góc có đỉnh bên trong đường tròn.
e) Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.
Bài 89 (Trang 104 - SGk)
Trong hình 67, cung AmB có số đo là \[{{66}^{0}}\]. Hãy:
a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB.
b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB.
c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt.
d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh \[\widehat{A\text{D}B};\widehat{ACB}\]
e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn E và C cùng phía đối với AB. So sánh \[\widehat{A\text{E}B};\widehat{ACB}\]
Hướng dẫn trả lời:
a) Từ O nối với hai đầu mút của cung AB.
Ta có: \[\widehat{AOB}\] là góc ở tâm chắc cung AB
Vì \[\widehat{AOB}\] là góc ở tâm chắn cung AB nên: \[\widehat{AOB}=sd\overset\frown{AmB}={{60}^{o}}\]
b) Lấy một điểm C bất kì trên (O). Nối C với hai đầu mút của cung AmB. Ta được góc nội tiếp \[\widehat{ACB}\].
Khi đó: \[\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AmB}=\frac{1}{2}{{60}^{0}}=30\]
c) Vẽ bán kính OB. Qua B vẽ \[Bt\bot OB\]. Ta được góc ABt là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt với dây cung BA.
Ta có: \[\widehat{ABt}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AmB}={{30}^{0}}\]
d) Lấy điểm D bất kì ở bên trong đường tròn (O). Nối D với A và D với B,ta được góc là góc ở bên trong đường tròn (O).
Ta có: \[\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AmB}\]
\[\widehat{A\text{D}B}=\frac{1}{2}\left( sd\overset\frown{AmB}+sd\overset\frown{CK} \right)\]
Mà \[sd\overset\frown{AmB}+sd\overset\frown{CK}>sd\overset\frown{AmB}\] do \[sd\overset\frown{CK}>0\Rightarrow \widehat{A\text{D}B}>\widehat{ACB}\]
e) Lấy điểm E bất kì ở bên ngoài đường tròn, nối E với A và E với B, chúng cắt đường tròn lần lượt tại J và I.
Ta có góc AEB là góc ở bên ngoài đường tròn (O)
Có: \[\widehat{ACB}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AmB}\]
\[\widehat{A\text{E}B}=\frac{1}{2}\left( sd\overset\frown{AmB}-sd\overset\frown{IJ} \right)\]
Mà \[\left( sd\overset\frown{AmB}-sd\overset\frown{IJ} \right)
Nên \[\widehat{A\text{E}B}<\widehat{ACB}\].
Bài 90 ( Trang 104 – SGk)
a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm.
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.
c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.
Hướng dẫn trả lời:
a) Dùng êke ta vẽ hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm như sau:
- Vẽ AB = 4cm.
- Vẽ \[BC\bot AB\] và BC = 4cm
- Vẽ \[DC\bot BC\] và DC = 4cm
- Nối D với A, ta có \[AD\bot DC\] và AD = 4cm.
b) Tam giác ABC là tam giác vuông cân nên AB = BC.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2\text{A}{{B}^{2}}\Leftrightarrow A{{C}^{2}}={{2.4}^{2}}=32\Rightarrow AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ }\]
Vậy \[AO=R=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{ }\]
Vậy \[R=2\sqrt{2}\] (cm)
c) Vẽ \[OH\bot DC\]. Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OH. Đó là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Ta có: \[OH=\frac{A\text{D}}{2}=2(cm)\]
Vậy r = OH = 2cm.
Bài 91 ( Trang 104 – SGK)
Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính R = 2cm, góc AOB = \[{{75}^{0}}\]
a) Tính số đo cung ApB.
b) Tính độ dài hai cung AqB và ApB.
c) Tính diện tích hình quạt tròn OaqB.
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có \[\widehat{AOB}\] là góc nội tiếp chắn cung AqB nên: \[\widehat{AOB}=sd\overset\frown{AqB}\] hay \[sd\overset\frown{AqB}={{75}^{0}}\].
Vậy \[sd\overset\frown{ApB}={{360}^{o}}-\text{ }\overset\frown{AqB}={{360}^{0}}-{{75}^{0}}={{285}^{0}}\]
b) \[\overset\frown{AqB}\] là độ dài cung AqB, ta có:
\[\overset\frown{AqB}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .2.75}{180}=\frac{5}{6}\pi (cm)\]
Gọi \[\overset\frown{ApB}\] là độ dài cung ApB, ta có: \[\overset\frown{ApB}=\frac{\pi Rn}{180}\text{ }=\frac{\pi .2.285}{180}=\frac{19\pi }{6}(cm)\]
c) Diện tích hình quạt tròn OAqB là: \[{{S}_{OAqB}}=\frac{\pi {{R}^{2}}n}{360}=\frac{\pi {{2}^{2}}.75}{360}=\frac{5\pi }{6}(c{{m}^{2}})\]
Bài 92 ( Trang 104 – SGK)
Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm).
Hướng dẫn trả lời:
a) Hình 69
Đối với hình tròn bán kính \[R=1,5\] là : \[{{S}_{1}}=\pi {{R}^{2}}=\pi .1,{{5}^{2}}=2,25\pi \]
Đối với hình tròn bán kính \[r=1\] là \[{{S}_{2}}=\pi {{r}^{2}}=\pi {{.1}^{2}}=\pi \]
Vậy diện tích miền gạch sọc là: \[(S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=\text{ }2,25\text{ }\pi \pi =\text{ }1,25\text{ }\pi \] ( Đvdt)
b) Hình 70
Diện tích hình quạt có bán kính \[R=1,5\] ; \[{{n}^{0}}={{80}^{0}}\]
\[{{S}_{1}}=\frac{\pi {{R}^{2}}n}{360}=\frac{\pi 1,{{5}^{2}}.80}{360}=\frac{\pi }{2}\]
Diện tích hình quạt có bán kính r = 1; \[{{n}^{0}}={{80}^{0}}\]
\[{{S}_{2}}=\frac{\pi {{r}^{2}}n}{360}=\frac{\pi {{.1}^{2}}.80}{360}=\frac{2\pi }{9}\]
Vậy diện tích miền gạch sọc là: \[S={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{9}=\frac{9\pi -4\pi }{18}=\frac{5\pi }{18}\]
c) Hình 71
Diện tích hình vuông cạnh a = 3 là: \[{{S}_{1}}={{a}^{2}}={{3}^{2}}=9\]
Diện tích hình tròn có R = 1,5 là: \[{{S}_{2}}=\pi {{R}^{2}}=\pi .1,{{5}^{2}}=2,25\pi =7,06\]
Vậy diện tích miền gạch sọc là: \[S\text{ }={{S}_{1}}-{{S}_{2}}=\text{ }97,06=1,94\] (đvdt)
Bài 93 ( Trang 104 – SGk)
Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển độn ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 1 cm. Hỏi:
a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?
Hướng dẫn trả lời:
Ta có bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng nên suy ra chu vi của bánh xe B gấp đôi chu vi bánh xe C, chu vi bánh xe A gấp ba chu vi bánh xe C.
Chu vi bánh xe C là: 2. 3,14 . 1 = 6,28 (cm)
Chu vi bánh xe B là: 6,28 . 2 = 12,56 (cm)
Chu vi bánh xe A là: 6,28 . 3 = 18,84 (cm)
a) Khi bánh xe C quay được 60 vòng thì quãng đường đi được là:
60 . 6,28 = 376,8 (cm)
Khi đó số vòng quay của bánh xe B là: 376,8 : 12,56 = 30 (vòng)
b) Khi bánh xe A quay được 80 vòng thì quãng đường đi được là:
80 . 18,84 = 1507,2 (cm)
Khi đó số vòng quay của bánh xe B là: 1507,2 : 12,56 = 120 (vòng)
c) Bán kính bánh xe B là: 12,56 : (2π) = 12,56 : 6,28 = 2(cm)
Bán kính bánh xe A là: 18,84 : (2π) = 18,84 : 6,28 = 3(cm)
Bài 94 ( Trang 105 – sGk)
Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h.72). Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Có phải \[\frac{1}{2}\]số học sinh lầ học sinh ngoại trú không?
b) Có phải \[\frac{1}{3}\] số học sinh là học sinh bán trú không?
c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?
d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em.
Hướng dẫn trả lời:
Theo cách biểu diễn dự phân phối học sinh như biểu đồ thì:
a) Đúng \[\frac{1}{2}=50%\]
b) Đúng \[\left( \frac{1}{3}\approx 33,3% \right)\]
c) Số học sinh nội trú chiếm: 100% - (50% + 33,3%) = 16,7%
d) Số học sinh ngoại trú: \[1800.\frac{1}{2}=900\] (em)
Số học sinh bán trú: \[1800.\frac{1}{3}=600\] (em)
Số học sinh nội trú: 1800 – (900 + 600) = 300 (em)
Bài 95 ( Trang 105 – SGk)
Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác \[{{90}^{0}}\]) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE ; b) ΔBHD cân ; c) CD = CH.
Hướng dẫn trả lời:
.png)
Ta có: \[\widehat{A\text{D}B}=\widehat{A\text{E}B}\] (cùng chắn cung AB) \[\Rightarrow \widehat{CB\text{D}}=\widehat{CA\text{E}}\] (cùng phụ với hai góc bằng nhau)
\[\Rightarrow sd\overset\frown{CD}=sd\overset\frown{CE}\]
Suy ra CD = CE
b) Ta có \[\widehat{EBC}\] và \[\widehat{CB\text{D}}\]là góc nội tiếp trong đường tròn O nên :
\[\widehat{EBC}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{CE}\] và \[\widehat{CB\text{D}}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{CD}\]
Mà \[\Rightarrow sd\overset\frown{CD}=sd\overset\frown{CE}\] nên \[\widehat{EBC}=\widehat{CB\text{D}}\]
Vậy ∆BHD cân tại B
c) Vì ∆BHD cân và BK là đường cao cũng là đường trung trực của HD. Điểm C nằm trên đường trung trực của HD nên CH = CD.
Bài 96 ( Trang 105 – SGk)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a) OM đi qua trung điểm của dây BC.
b) AM là tia phân giác của góc OAH.
Hướng dẫn trả lời:
a) Vì AM là tia phân giác của \[\widehat{BAC}\] nên \[\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\]
Mà \[\widehat{BAM}\] và \[\widehat{MAC}\] ều là góc nội tiếp của (O) nên \[\overset\frown{BM}=\overset\frown{MC}\]
⇒ M là điểm chính giữa cung BC
Vậy \[OM\bot BC\] và OM đi qua trung điểm của BC
b) Ta có \[OM\bot BC\] và \[AH\bot BC\] nên AH//OM
\[\Rightarrow \widehat{HAM}=\widehat{AM\text{O}}\] (so le trong) (1)
Mà ∆OAM cân tại O nên \[\widehat{AM\text{O}}=\widehat{MAO}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat{HA\text{M}}=\widehat{MAO}\]
Vậy AM là đường phân giác của góc OAH.
Bài 97 ( Trang 105 – SGk)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp;
b) \[\widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{D}}\]
c) CA là tia phân giác của góc SCB
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có góc \[\widehat{MDC}\] là góc nội tiếp đường tròn (O) nên \[\widehat{MDC}={{90}^{0}}\]
⇒ ∆CDB là tam giác vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính BC .
Ta có ∆ABC vuông tại A.
Do đó ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I đường kính BC.
Ta có A và D cùng nhìn BC dưới một góc \[{{90}^{0}}\] hông đổi nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC
b) Ta có \[\widehat{AB\text{D}}\] là góc nội tiếp trong đường tròn (I) chắn cung AD.
Tương tự góc \[\widehat{AC\text{D}}\] là góc nội tiếp trong đường tròn (I) chắn cung AD.
Vậy \[\widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{D}}\]
c) Ta có: \[\widehat{S\text{D}M}=\widehat{SCM}\] (vì góc nội tiếp cùng chắn cung MS của đường tròn (O))
\[\widehat{A\text{D}B}=\widehat{ACB}\] (là góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (I))
Mà \[\widehat{A\text{D}B}=\widehat{S\text{D}M}\Rightarrow \widehat{SCM}=\widehat{ACB}\]
Vậy tia CA là tia phân giác của góc SCB
Bài 98 ( Trang 105 – SGk)
Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.
Hướng dẫn trả lời:
+) Phần thuận: Giả sử M là trung điểm của dây AB. Do đó, \[OM\bot AB\]. Khi B di động trên đường tròn (O) điểm M luôn nhìn đoạn OA cố định dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm I đường kính OA.
+) Phần đảo: Lấy điểm M’ bất kì trên đường tròn (I). Nối M’ với A, đường thẳng M’A cắt đường tròn (O) tại B’. Nối M’ với O\ ta có: \[\widehat{A{M}'O}={{90}^{0}}\] hay \[OM'\bot AB'\].
⇒ M là trung điểm của AB’
Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của dây AB là đường tròn đường kính OA.
Bài 99 ( Trang 105 – SGk)
Dựng ΔABC, biết BC = 6cm, góc \[\widehat{BAC}={{80}^{0}}\] đường cao AH có độ dài là 2cm.
Hướng dẫn trả lời:
Cách dựng như sau:
- Đầu tiên dựng đoạn BC = 6cm
- Dựng cung chứa góc \[{{80}^{0}}\]trên đoạn BC\
- Dựng đường thằng xy // BC và cách BC một khoảng là 2cm. Đường thẳng xy cắt cung chứa góc \[{{80}^{0}}\] tại hai điểm A và A’
- Tam giác ABC là tam giác phải dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài
Bài toán có hai nghiệm hình ∆ABC và ∆A’BC