Bài 34 ( Trang 56 – SGK)
Giải các phương trình trùng phương:
a) \[{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4=0\]
b) \[2{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2=0\]
c) \[3{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+3=0\]
Bài giải:
a) \[{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4=0\]
Đặt \[{{x}^{2}}=t\ge 0\]; ta có \[{{t}^{2}}-5t+4=0;{{t}_{1}}=1,{{t}_{2}}=4\]
Nên \[{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=1,{{x}_{3}}=-2,{{x}_{4}}=2\]
b) \[2{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2=0\]
Đặt \[{{x}^{2}}=t\ge 0\]; ta có \[2{{t}^{2}}\text{-}3t\text{-}2=0;{{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=-\frac{1}{2}\] ( loại )
Vậy \[{{x}_{1}}=\sqrt{2};{{x}_{2}}=\text{-}\sqrt{2}\text{ }\]
c) \[3{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+3=0\]
Đặt \[{{x}^{2}}=t\ge 0\]; ta có \[3{{t}^{2}}+10t+3=0;{{t}_{1}}=-3\] ( loại); \[{{t}_{2}}=-\frac{1}{3}\] ( loại)
Phương trình vô nghiệm.
Bài 35 ( Trang 56 – SGK)
Giải các phương trình:
a) \[\frac{(x+3)(x-3)}{3}+2=x(1-x)\]
b) \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\]
c) \[\frac{4}{x-1}=\frac{-{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x+2)}\]
Bài giải:
a) \[\frac{(x+3)(x-3)}{3}+2=x(1-x)\] \[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-9+6=3x\text{-}3{{x}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}\text{-}3x\text{-}3=0;\]
\[\Delta =57\]
\[{{x}_{1}}=\frac{3+\sqrt{57}}{8},{{x}_{2}}=\frac{3-\sqrt{57}}{8}\]
b) \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\] Điều kiện x ≠ 2, x ≠ 5
(x + 2)(2 – x) + 3(x – 5)(2 – x) = 6(x – 5)
\[\Leftrightarrow 4\text{-}{{x}^{2}}\text{-}3{{x}^{2}}+21x\text{-}30=6x\text{-}30\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}\text{-}15x\text{-}4=0,\]
\[\Delta =225+64=289\Rightarrow \sqrt{\Delta }=17\]
\[{{x}_{1}}=-\frac{1}{4},{{x}_{2}}=4\]
c) \[\frac{4}{x-1}=\frac{-{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x+2)}\] Điều kiện: x ≠ -1; x ≠ -2
\[\Leftrightarrow 4\left( x+2 \right)=-{{x}^{2}}-x+2\Leftrightarrow 4x+8=2-{{x}^{2}}-x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+6=0\]
Giải ra ta được: \[{{x}_{1}}=-2\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm x = -3.
Bài 36 ( Trang 56 – SGK)
Giải các phương trình:
a) \[(3{{x}^{2}}-5x+1)({{x}^{2}}-4)=0\]
b) \[{{(2{{x}^{2}}+x-4)}^{2}}-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=0\]
Bài giải:
a) \[(3{{x}^{2}}-5x+1)({{x}^{2}}-4)=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& 3{{x}^{2}}-5x+1=0 \\
& {{x}^{2}}-4=0 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=\frac{5\pm \sqrt{13}}{6} \\
& x=\pm 2 \\
\end{align} \right.\]
b) \[{{(2{{x}^{2}}+x-4)}^{2}}-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=0\]
\[\Leftrightarrow (2{{x}^{2}}+x-4+2x-1)(2{{x}^{2}}+x-4-2x+1)=0\Leftrightarrow (2{{x}^{2}}+3x-5)(2{{x}^{2}}-x-3)=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& 2{{x}^{2}}+3x-5=0 \\
& 2{{x}^{2}}-x-3=0 \\
\end{align} \right.\] \[\Rightarrow {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=-2,5;{{x}_{3}}=-1;{{x}_{4}}=1,5\]
Bài 37 ( Trang 56 – SGK)
Giải phương trình trùng phương:
a) \[9{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1=0\]
b) \[5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}\text{-}16=10\text{-}{{x}^{2}}\]
c) \[0,3{{x}^{4}}+1,8{{x}^{2}}+1,5=0\]
d) \[2{{x}^{2}}+1=\frac{1}{{{x}^{2}}}-4\]
Bài giải:
a) \[9{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}\ge 0\]; ta có \[9{{t}^{2}}-10t+1=0\]
Vì a + b + c = 9 – 10 + 1 = 0 nên \[{{t}_{1}}=1,{{t}_{2}}=\frac{1}{9}\]
Suy ra: \[{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=1,{{x}_{3}}=-\frac{1}{3},{{x}_{4}}=\frac{1}{3}\]
b) \[5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}\text{-}16=10\text{-}{{x}^{2}}\] \[\Leftrightarrow 5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-26=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}\ge 0\]; ta có: \[5{{t}^{2}}+3t-26=0\]
\[\Delta =9+4.5.26=529={{23}^{2}};\]
\[{{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=-2,6\] ( loại) . Do đó: \[{{x}_{1}}=\sqrt{2},{{x}_{2}}=-\sqrt{2}\]
c) \[0,3{{x}^{4}}+1,8{{x}^{2}}+1,5=0\] \[\Leftrightarrow {{x}^{4}}+6{{x}^{2}}+5=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}\ge 0\]; ta có: \[{{t}^{2}}+6t+5=0\Leftrightarrow {{t}_{1}}=-1\] ( loại) ; \[{{t}_{2}}=-5\] ( loại)
Phương trình vô nghiệm,
Chú ý: Cũng có thể nhẫn xét rằng vế trái \[{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}+5\ge 5\], còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.
d) \[2{{x}^{2}}+1=\frac{1}{{{x}^{2}}}-4\] \[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+5-\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\]. Điều kiện x ≠ 0.
\[2{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-1=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}\ge 0\]; ta có: \[2{{t}^{2}}+5t\text{-}1=0;\]
\[\Delta =25+8=33\]
\[{{t}_{1}}=\frac{-5+\sqrt{33}}{4},{{t}_{2}}=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}\]
Do đó: \[{{x}_{1}}=\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2},{{x}_{2}}=-\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2}\].
Bài 38 ( Trang 56 – SGK)
Giải các phương trình:
a) \[{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( x+4 \right)}^{2}}=23-3x\]
b) \[{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{\left( x-3 \right)}^{2}}=\left( x-1 \right)({{x}^{2}}-2)\]
c) \[{{\left( x-1 \right)}^{3}}+0,5{{x}^{2}}=x({{x}^{2}}+1,5)\]
d) \[\frac{x(x-7)}{3}-1=\text{ }\frac{x}{2}-\frac{x-4}{3}\]
e) \[\frac{14}{{{x}^{2}}-9}=1-\frac{1}{3-x}\]
f) \[\frac{2x}{x+1}=\text{ }\frac{{{x}^{2}}-x+8}{(x+1)(x-4)}\]
Bài giải:
a) \[{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( x+4 \right)}^{2}}=23-3x\] \[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9+{{x}^{2}}+8x+16=23-3x\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+5x+2=0\]
\[\Delta =25\text{-}16=9\]
\[{{x}_{1}}=-2;{{x}_{2}}=-\frac{1}{2}\]
b) \[{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{\left( x-3 \right)}^{2}}=\left( x-1 \right)({{x}^{2}}-2)\] \[\Leftrightarrow {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+6x-9={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x+2\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+8x-11=0\]
\[{\Delta }'=16+22=38\]
\[{{x}_{1}}=\frac{-4+\sqrt{38}}{2};{{x}_{2}}=\frac{-4-\sqrt{38}}{2}\]
c) \[{{\left( x-1 \right)}^{3}}+0,5{{x}^{2}}=x({{x}^{2}}+1,5)\] \[\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1+0,5{{x}^{2}}={{x}^{3}}+1,5x\]
\[\Leftrightarrow 2,5{{x}^{2}}-1,5x+1=0\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-3x+2=0\]
\[\Delta =9-40=-31<0\]
Phương trình vô nghiệm.
d) \[\frac{x(x-7)}{3}-1=\text{ }\frac{x}{2}-\frac{x-4}{3}\] \[\Leftrightarrow 2x\left( x-7 \right)-6=3x-2\left( x-4 \right)\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-14x-6=3x-2x+8\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-15x-14=0;\]
\[\Delta =225+112=337\]
\[{{x}_{1}}=\frac{15+\sqrt{337}}{4};{{x}_{2}}=\frac{15-\sqrt{337}}{4}\]
e) \[\frac{14}{{{x}^{2}}-9}=1-\frac{1}{3-x}\] Điều kiện: \[x\ne \pm 3\]
Phương trình được viết lại: \[\frac{14}{{{x}^{2}}-9}=1+\frac{1}{x-3}\]
\[\Leftrightarrow 14={{x}^{2}}-9+x+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-20=0\]
\[\Delta =1+4.20=81\]
Nên \[{{x}_{1}}=\frac{-1-9}{2}=-5;{{x}_{2}}=\frac{-1+9}{2}=4\] ( thỏa mãn)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=-5;{{x}_{2}}=4\]
f) \[\frac{2x}{x+1}=\text{ }\frac{{{x}^{2}}-x+8}{(x+1)(x-4)}\] Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 4
Phương trình tương đương với:
\[2x\left( x-4 \right)={{x}^{2}}-x+8\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-8x-{{x}^{2}}+x-8=0\] \[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x-8=0\]
Có a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0 nên \[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=8\]
Vì \[{{x}_{1}}=-1\] không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là \[{{x}_{2}}=8\]
Bài 39 ( Trang 57 – SGk)
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
a) \[(3{{x}^{2}}-7x-10)[2{{x}^{2}}+\left( 1-\sqrt{5} \right)x+\sqrt{5}-3]=0\]
b) \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
c) \[({{x}^{2}}-1)\left( 0,6x+1 \right)=0,6{{x}^{2}}+x\]
d) \[{{({{x}^{2}}+2x-5)}^{2}}={{({{x}^{2}}-x+5)}^{2}}\]
Bài giải:
a) \[(3{{x}^{2}}-7x-10)[2{{x}^{2}}+\left( 1-\sqrt{5} \right)x+\sqrt{5}-3]=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& (3{{x}^{2}}-7x-10)=0(1) \\
& 2{{x}^{2}}+\left( 1-\sqrt{5} \right)x+\sqrt{5}-3=0(2) \\
\end{align} \right.\]
Giải (1): phương trình a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0
Nên \[{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=-\frac{-10}{3}=\frac{10}{3}\]
Giải (2): phương trình có \[a+b+c=2+(1-\sqrt{5})+\sqrt{5}-3=0\]
Nên \[{{x}_{3}}=1,{{x}_{4}}=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\]
b) \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+3 \right)-2\left( x+3 \right)=0\Leftrightarrow \left( x+3 \right)({{x}^{2}}-2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x+3=0 \\
& {{x}^{2}}-2=0 \\
\end{align} \right.\]
Giải ra \[{{x}_{1}}=-3;{{x}_{2}}=-\sqrt{2};{{x}_{3}}=\sqrt{2}\text{ }\]
c) \[({{x}^{2}}-1)\left( 0,6x+1 \right)=0,6{{x}^{2}}+x\]
\[\Leftrightarrow \left( 0,6x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& 0,6x+1=0(1) \\
& {{x}^{2}}-x-1=0(2) \\
\end{align} \right.\]
\[(1)\Leftrightarrow 0,6x+1=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-\frac{1}{0,6}=-\frac{5}{3}\]
\[(2):\Delta ={{(-1)}^{2}}-4.1.(-1)=1+4=5\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{5}\]
\[{{x}_{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2},{{x}_{3}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]
Vậy phương trình có ba nghiệm: \[{{x}_{1}}=-\frac{5}{3},{{x}_{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2},{{x}_{3}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]
d) \[{{({{x}^{2}}+2x-5)}^{2}}={{({{x}^{2}}-x+5)}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow {{({{x}^{2}}+2x-5)}^{2}}-{{({{x}^{2}}-x+5)}^{2}}=0\]
\[\Leftrightarrow ({{x}^{2}}+2x-5+{{x}^{2}}-x+5).({{x}^{2}}+2x-5-{{x}^{2}}+x-5)=0\]
\[\Leftrightarrow (2{{x}^{2}}+x)\left( 3x-10 \right)=0\Leftrightarrow (x(2x+1)(3x-10)=0\]
Hoặc \[x=0,\text{ }x=-\frac{1}{2},\text{ }x=\frac{10}{3}\]
Vậy phương trình có 3 nghiệm.
Bài 40 ( Trang 57 – SGK)
Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \[3{{({{x}^{2}}+x)}^{2}}-2({{x}^{2}}+x)-1=0\]
b) \[{{({{x}^{2}}-4x+2)}^{2}}+{{x}^{2}}-4x-4=0\]
c) \[x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7\]
d) \[\frac{x}{x+1}-10.\frac{x+1}{x}=3\]
Hướng dẫn:
a) Đặt \[t={{x}^{2}}+x\] ta có phương trình \[3{{t}^{2}}-2t-1=0\]. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đằng thức \[t={{x}^{2}}+x\] ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.
d) Đặt \[\frac{x+1}{x}=t\] hoặc \[\frac{x}{x+1}=t\]
Bài giải:
a) \[3{{({{x}^{2}}+x)}^{2}}-2({{x}^{2}}+x)-1=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}+x\], ta có:
\[3{{t}^{2}}\text{-}2t\text{-}1=0;{{t}_{1}}=1,{{t}_{2}}=-\frac{1}{3}\]
Với \[{{t}_{1}}=1\], ta có: \[{{x}^{2}}+x=1\] hay \[{{x}^{2}}+x-1=0,\]
\[\Delta \text{=}4+1\text{=}5\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{5}\]
\[{{x}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},{{x}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\]
Với \[{{t}_{2}}=-\frac{1}{3}\], ta có: \[{{x}^{2}}+x=-\frac{1}{3}\] hay \[3{{x}^{2}}+3x\text{+}1=0\]
Phương trình vô nghiệm, vì \[\Delta =9-4.3.1=-3<0\]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},{{x}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\]
b) \[{{({{x}^{2}}-4x+2)}^{2}}+{{x}^{2}}-4x-4=0\]
Đặt \[t={{x}^{2}}-4x+2\], ta có phương trình \[{{t}^{2}}+t-6=0\]
Giải ra ta được \[{{t}_{1}}=2,{{t}_{2}}=-3\]
- Với \[{{t}_{1}}=2\], ta có: \[{{x}^{2}}-4x+2=2\] hay \[{{x}^{2}}-4x=0\]
Suy ra : \[{{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=4\]
- Với \[{{t}_{2}}=-3\], ta có \[{{x}^{2}}-4x+2=-3\] hay \[{{x}^{2}}-4x+5=0\]
Phương trình này vô nghiệm vì \[\Delta ={{(-4)}^{2}}-4.1.5=16-20=-4<0\]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=4\]
c) \[x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7\]
Điều kiện: x ≥ 0. Đặt \[t=\sqrt{x},t=0\]
Ta có: \[{{t}^{2}}-6t-7=0\Rightarrow {{t}_{1}}=-1\] ( loại) ; \[{{t}_{2}}=7\]
Với \[{{t}_{2}}=7\] ta có: \[\sqrt{x}=7\Rightarrow x=49\]
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 49.
d) \[\frac{x}{x+1}-10.\frac{x+1}{x}=3\] Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 0
Đặt \[\frac{x}{x+1}=t\], ta có: \[\frac{x+1}{x}=\frac{1}{t}\].
Vậy ta có phương trình: \[t-\frac{10}{t}-3=0\]
Hay \[{{t}^{2}}-3t-10=0\Rightarrow {{t}_{1}}=5,{{t}_{2}}=-2\]
- Với \[{{t}_{1}}=5\] , ta có: \[\frac{x}{x+1}=5\] hay \[x=5x+5\Rightarrow x=-\frac{5}{4}\]
- Với \[{{t}_{2}}=-2\], ta có: \[\frac{x}{x+1}=-2\] hay \[x=-2x-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=-\frac{5}{4};{{x}_{2}}=-\frac{2}{3}\].