Bài 14 ( Trang 106 – SGK)
Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8 cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.
Hướng dẫn giải:
a) Vẽ \[OH\bot AB\], ta có
HA = HB = 4cm.
Xét tam giác HOB vuông tại H, có:
\[O{{H}^{2}}=O{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}={{5}^{2}}-{{4}^{2}}=9\Rightarrow OH=3(cm)\]
b) Vẽ \[OK\bot CD\]
Tứ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra OK = HI. Ta có HI = 4-1 = 3cm, suy ra OK = 3cm.
Vậy OH = OK = 3cm.
Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau.
Do đó AB = CD.
Bài 15 ( Trang 106 – SGK)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) EH = EK
b) EA = EC.
Hướng dẫn giải:
a) Vì HA = HB nên \[OH\bot AB\]
Vì KC=KD nên \[OK\bot CD\]
Mặt khác, AB = CD nên OH = OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).
\[\Delta HOE=\Delta KOE\] (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra EH = EK. (1)
b) Ta có AH = KC (một nửa của hai dây bằng nhau). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[EH+HA=EK+KC\]
hay EA = EC.
Bài 16 ( Trang 106 – SGK)
Cho đường tròn tâm (O) bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.
Giải
Vẽ \[OH\bot AB\], đường thẳng OH cắt CD tại K.
Ta có
\[OK\bot CD\]
KC = KD
AH = HB
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác OBH vuông tại H, ta có:
\[OH=\sqrt{O{{B}^{2}}-{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=15(cm)\]
\[\Rightarrow OK=22-15=7(cm)\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác OKD vuông tại K, ta có:
\[KD=\sqrt{O{{D}^{2}}-O{{K}^{2}}}=24(cm)\]
\[\Rightarrow CD=2KD=48(cm)\]
Bài 17 ( Trang 106 – SGK)
Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD
Hãy so sánh các độ dài:
a) OH và OK;
b) ME và MF;
c) MH và MK.
Hướng dẫn giải:
a) Xét trong đường tròn nhỏ:
Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
.png)
b) Xét trong đường tròn lớn:
Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
.png)
c) Xét trong đường tròn lớn:
Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
\[ME>MF\Rightarrow MH>MK\]
Bài 18 ( Trang 106 – SGK)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.
Giải
Vẽ \[OH\bot EF\]
Xét tam giác HOA vuông tại H ta có:
OH < OA.
Suy ra EF > BC.
Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm A ở trong đường tròn, dây vuông góc với OA là dây ngắn nhất.