Câu 9: trang 143 sgk toán Đại số và giải tích 11
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm
B. Nếu \[({{u}_{n}})\] là dãy số tăng thì \[\lim {{u}_{n}}=+\infty \]
C. Nếu \[\lim {{u}_{n}}=+\infty \] và \[\lim {{v}_{n}}=+\infty \] thì \[\lim ({{u}_{n}}{{v}_{n}})=0\]
D. Nếu \[{{u}_{n}}={{a}^{n}}\] và −1
Lời giải
+) Câu A sai
“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.
Xét phần ví dụ sau: \[{{u}_{n}}=\frac{{{(-1)}^{n}}}{n}\] có \[\lim \frac{{{(-1)}^{n}}}{n}=0\]
Ta có: \[{{u}_{1}}=-1<{{u}_{2}}=\frac{1}{2},{{u}_{2}}=\frac{1}{2}>{{u}_{3}}=-\frac{1}{3}\]
⇒⇒ Dãy số un không tăng cũng không giảm.
+) Câu B sai
“Nếu (un) là dãy số tăng thì lim(un)=+∞” là mệnh đề sai
Ví dụ dãy số \[({{u}_{n}})\] với \[{{u}_{n}}=1-\frac{1}{n}\]
Xét hiệu: \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=(1-\frac{1}{n+1})-(1-\frac{1}{n})=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\] \[=\frac{1}{n(n+1)}>0\]
\[\Rightarrow ({{u}_{n}})\] là dãy số tăng.
\[lim{{u}_{n}}=\lim (1-\frac{1}{n})=1\]
+) Câu C sai, xem phần ví dụ sau:
Hai dãy số \[{{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}}{n+2},{{v}_{n}}=n+1\]
+) \[lim{{u}_{n}}=\lim \frac{{{n}^{2}}}{n+2}=\lim \frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}(\frac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}})}=\lim \frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{2}{n2}}=+\infty \]
+) \[\lim {{v}_{n}}=\lim (n+1)=+\infty \]
+ Nhưng :
\[\lim ({{u}_{n}}-{{v}_{n}})=\lim \left[ \frac{{{n}^{2}}}{n+2}-(n+1) \right]\]
\[=\lim \frac{-3n-2}{n+2}=\lim \frac{n(-3-\frac{2}{n})}{n(1+\frac{2}{n})}\]
\[=\lim \frac{-3-\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n}}=-3\ne 0\]
+) Câu D đúng vì \[\lim {{q}^{n}}=0\] khi |q|<1.
Do đó: −1<>n=0
Vậy chọn đáp án D.
Câu 10: trang 143 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho dãy số \[({{u}_{n}})\] với \[{{u}_{n}}=\frac{1+2+3+...+n}{{{n}^{2}}+1}\]
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \[\lim {{u}_{n}}=0\]
B. \[lim{{u}_{n}}=\frac{1}{2}\]
C. \[\lim {{u}_{n}}=1\]
D. Dãy (un) không có giới hạn khi n→−∞
Lời giải
Vì \[1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}\]
Nên: \[{{u}_{n}}=\frac{n(n+1)}{2({{n}^{2}}+1)}\]
\[\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=\lim \frac{n(n+1)}{2({{n}^{2}}+1)}=\lim \frac{{{n}^{2}}(1+\frac{1}{n})}{{{n}^{2}}(2+\frac{2}{{{n}^{2}}})}\]
\[=\lim \frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{{{n}^{2}}}}=\frac{1}{2}\]
Chọn đáp án B.
Câu 11: trang 143 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho dãy số \[({{u}_{n}})\] với \[{{u}_{n}}=\sqrt{2}+{{(\sqrt{2})}^{2}}+......+{{(\sqrt{2})}^{n}}\]
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. \[\lim {{u}_{n}}=\sqrt{2}+{{(\sqrt{2})}^{2}}+...+{{(\sqrt{2})}^{n}}=\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\]
B. \[\lim {{u}_{n}}=-\infty \]
C. \[\lim {{u}_{n}}=+\infty \]
D. Dãy số (un) không có giới hạn khi n→+∞
Lời giải
+ Ta có \[({{u}_{n}})\] à tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là \[{{u}_{1}}=\sqrt{2}\] và công bội \[q=\sqrt{2}\] nên
\[{{u}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}(1-{{q}_{n}})}{1-q}=\frac{\sqrt{2}\left[ 1-{{(\sqrt{2})}^{n}} \right]}{1-\sqrt{2}}\]
\[\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt{2}\left[ {{(\sqrt{2})}^{n}}-1 \right]}{\sqrt{2}-1}\]
\[\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=\lim \frac{\sqrt{2}\left[ {{(\sqrt{2})}^{n}}-1 \right]}{\sqrt{2}-1}=+\infty \]
(vì \[\sqrt{2}>1\] nên \[\lim {{(\sqrt{2})}^{n}}=+\infty \])
Chọn đáp án C.
Câu 12: trang 144 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chọn đáp án đúng \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-3x-1}{x-1}\] bằng:
A. −1 B. −∞
C. −3 D. +∞
Lời giải
Ta có: \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(-3x-1)=-4<0\]
.png)
Chọn đáp án D.
Câu 13: trang 144 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chọn đáp án đúng:
Cho hàm số: \[f(x)=\frac{1-{{x}^{2}}}{x}\] bằng
A. +∞ B. 1
C. −∞ D. −1
Lời giải
Ta có: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{x}^{2}}}{x}=\lim \frac{{{x}^{2}}(\frac{1}{{{x}^{2}}}-1)}{{{x}^{2}}.\frac{1}{x}}=\lim \frac{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}{\frac{1}{x}}\]
Vì \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right]=-1<0\] (1)
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0,x\to -\infty \Rightarrow \frac{1}{x}<0\](2)
Từ (1) và (2) suy ra: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \]
Chọn đáp án A.
Câu 14: trang 144 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số:
Hàm số đã cho liên tục tại x=3 khi m bằng:
A. 4 B. −1 C. 1 D. −4
Lời giải
Ta có
Ta có: \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(3-x)(\sqrt{x+1}+2)}{x+1-4}\]
\[=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(3-x)(\sqrt{x+1}+2)}{-(3-x)}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}+2}{-1}=\frac{\sqrt{4}+2}{-1}=-4\]
Hàm số y=f(x) liên tục tại \[x=3\Rightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(3)\Rightarrow m=-4\]
Vậy chọn đáp án D.
Câu 15: trang 144 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho phương trình: −4x3+4x–1=0
Mệnh đề sai là:
A. Hàm số f(x)=−4x3+4x–1 liên tục trên R
B. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (−∞,1)
C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (−2,0)
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng \[(-3,\frac{1}{2})\]
Lời giải
Mệnh đề A đúng vì f(x) là hàm số đa thức nên liên tục trên R.
Mệnh đề B sai
- Xét hàm số \[f(x)=-4{{x}^{3}}+4x1\] ta có \[f(1)=-1;f(-2)=23\Rightarrow f(1).f(-2)=-23<0\]
- Ta lại có hàm số f(x) liên tục trên (−2,1) nên phương trình có ít nhất một nghiệm x∈(−2,1)
Vậy phương trình \[-4{{x}^{3}}+4x1=0\] có nghiệm trên khoảng (−∞,1)
Chọn đáp án B.