Bài 1: Trang 63 - SGK hình học 11
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O' lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thằng OO' song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCF)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF)
Lời giải
a) Trong ∆BFD có OO’ là đường trung bình
=>OO’ // DF mà DF ⊂ (ADF)
=> OO" // (ADF) (đpcm)
Trong ∆AEC có OO’ là đường trung bình
=>OO’ // EC mà EC ⊂ (BCE)
=>OO’ // (BCE). (đpcm)
b) Gọi I là trung điểm của AB
Trong ∆ABD có hai trung tuyến AO, DI => M là trọng tâm ∆ABD
=>\[\frac{IM}{ID}=\frac{1}{3}\]
Trong ∆ABE có hai trung tuyến BO’, EI => N là trọng tâm ∆ABE
\[\Rightarrow \frac{IN}{IE}=\frac{1}{3}\]
Trong ∆IDE, ta có \[\frac{IM}{ID}=\frac{IN}{IE}=\frac{1}{3}\]
=> MN // DE mà ED ⊂ (CEFD)
nên MN // (CEFD) hay MN // (CEF).
Bài 2: Trang 63 - SGK hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD
a) Tìm giao tuyến của (α) với các mặt tứ diện
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?
Lời giải
Dựa vào giả thiết ta có hình vẽ sau
a) Theo giả thiết ta có (α) // AC mà AC ∈(ABC)
=>M là điểm chung của ( α) và (ABC) => (α) ∩ (ABC) = MN và MN // AC
Chứng minh tương tự ta được :
PQ// AC và MQ// NP// BD
=> MN, PQ, NP, MQ là các giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.
b) Chứng minh trên ta có: PQ//MN và MQ// NP
=>Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) với tứ diện là hình bình hành.
Bài 3: Trang 63 - SGK hình học 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì ?
Lời giải
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
Ta có:
- (α) // AB
- AB ⊂ (ABCD),
- O là điểm chung của (α) và (ABCD)
=> ( α) ∩ (ABCD) = MN qua O và song song với AB.
Chứng minh tương tư ta được
- ( α) ∩ (ABCD) = PQ qua O và song song với AB.
- ( α) ∩ (ABCD) = PN qua O và song song với SC.
- ( α) ∩ (ABCD) = QM qua O và song song với SC.
Vậy thiết diện là hình hành MNPQ