Câu 1: trang 103 SGK toán Đại số và giải tích 11
Chứng minh các dãy số \[(\frac{3}{5}{{.2}^{n}})\], \[(\frac{5}{{{2}^{n}}})\], \[({{(-\frac{1}{2})}^{n}})\] là các cấp số nhân.
Lời giải
a) Với mọi \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\], ta có:
\[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{3}{5}{{.2}^{n+1}}}{\frac{3}{5}{{.2}^{n}}}=2=const\]
Vậy dãy số đã cho là một câp số nhân với \[{{u}_{1}}=\frac{6}{5}\] và \[q=2\]
b) Với mọi \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\], ta có:
\[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{5}{{{2}^{n+1}}}}{\frac{5}{{{2}^{n}}}}=\frac{{{2}^{n}}}{{{2}^{n+1}}}=\frac{1}{2}=const\]
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=\frac{5}{2}\] và \[q=\frac{1}{2}\]
c) Với mọi \[\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\], ta có
\[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n+1}}}{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{n}}}=-\frac{1}{2}=const\]
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \[{{u}_{1}}=\frac{-1}{2}\] và \[q=\frac{-1}{2}\]
Câu 2: trang 103 SGK toán Đại số và giải tích 11
Cho cấp số nhân với công bội q.
a) Biết \[{{u}_{1}}=2,{{u}_{6}}=486\]. Tìm q
b) Biết \[q=\frac{2}{3}\] và \[{{u}_{4}}=\frac{8}{21}\]. Tìm u1
c) Biết \[{{u}_{1}}=3,q=-2\] . Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Lời giải
a) Ta có: \[{{u}_{6}}={{u}_{1}}.{{q}^{5}}\Leftrightarrow 486=2.{{q}^{5}}\Leftrightarrow {{q}^{5}}=243\Leftrightarrow q=3\]
b) Ta có: \[{{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{3}}\Leftrightarrow \frac{8}{21}={{u}_{1}}.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}={{u}_{1}}.\frac{8}{27}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{9}{7}\]
c) Gọi số hạng thứ n của cấp số nhân bằng 192 ta có:
\[{{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\Leftrightarrow 192=3.{{\left( -2 \right)}^{n-1}}\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{n-1}}=64\]
\[\Leftrightarrow n-1=6\Leftrightarrow n=7\]
Vậy 192 là số hạng thứ 7.
Câu 3: trang 103 SGK toán Đại số và giải tích 11
Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết:
a) \[{{u}_{3}}=3\] và \[{{u}_{5}}=27\]
b) \[{{u}_{4}}{{u}_{2}}=25\] và \[{{u}_{3}}{{u}_{1}}=50\]
Lời giải
Câu 4: trang 104 SGK toán Đại số và giải tích 11
Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Lời giải
Giả sử có cấp số nhân: \[{{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}},{{u}_{4}},{{u}_{5}},{{u}_{6}}\]
Theo giả thiết ta có:
\[{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=31\] (1)
\[{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}=62\] (2)
Nhân hai vế của (1) với q, ta được: \[{{u}_{1}}q+{{u}_{2}}q+{{u}_{3}}q+{{u}_{4}}q+{{u}_{5}}q=31q\]
hay \[{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}=31q\]
\[\Rightarrow 62=31.q\Rightarrow q=2\]
Ta có \[{{S}_{5}}=31\Leftrightarrow \frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{2}^{5}} \right)}{1-2}=31\Leftrightarrow 31{{u}_{1}}=31\Leftrightarrow {{u}_{1}}=1\]
Vậy ta có cấp số nhân là: \[1,2,4,8,16,32\]
Câu 5: trang 104 SGK toán Đại số và giải tích 11
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Lời giải
Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N.
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là N+1,4%N
Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.\[N;\frac{101,4}{100}.N;{{(\frac{101,4}{100})}^{2}}.N\]
Vậy nếu N=1,8 triệu người
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì:
Sau 5 năm số dân của tỉnh là \[{{(\frac{101,4}{100})}^{5}}.1,8\approx 1,9\] (triệu người)
Sau 10 năm số dân của tỉnh là \[{{(\frac{101,4}{100})}^{10}}.1,8\approx 2,1\] (triệu người)
Câu 6: trang 104 SGK toán Đại số và giải tích 11
Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuôngC2. Từ hình vuông C2 lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông khác. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông. Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.
Lời giải
Xét dãy số (an) ta có \[{{a}_{1}}=4\]
Giả sử hình vuông cạnh \[{{C}_{n}}\] có độ dài cạnh là \[{{a}_{n}}\]. Ta sẽ tính cạnh \[{{a}_{n+1}}\] của hình vuông \[{{C}_{n+1}}\] . Theo hình 44, áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:
\[{{a}_{n+1}}=\sqrt{{{\left( \frac{1}{4}{{a}_{n}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{4}{{a}_{n}} \right)}^{2}}}={{a}_{n}}.\frac{\sqrt{10}}{4}\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]
Vậy dãy số (an) là cấp số nhân với số hạng đầu là \[{{a}_{1}}=4\] và công bội \[q=\frac{\sqrt{10}}{4}\