Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11): Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
a) \[{{u}_{n}}=5-2n\] b) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{2}-1\]
c) \[{{u}_{n}}={{3}^{n}}\] d) \[{{u}_{n}}=\frac{7-3n}{2}\]
Lời giải
a) Với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] ta có:
\[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=5-2\left( n+1 \right)-\left( 5-2n \right)\]
\[=5-2n+2-5+2n=2\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có \[{{u}_{1}}=3\] và công sai \[d=-2\]
b) Với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] ta có:
\[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n+1}{2}-1-(\frac{n}{2}-1)=\frac{1}{2}\]
Vậy dãy số là cấp số cộng với \[{{u}_{1}}=-\frac{1}{2}\] và \[d=\frac{1}{2}\]
c) Ta có: \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{3}^{n+1}}-{{3}^{n}}={{3}^{n}}\left( 3-1 \right)={{2.3}^{n}}\] không là hằng số (phụ thuộc n).
Vậy dãy số không phải là cấp số cộng.
d) Với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] ta có:
\[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{7-3\left( n+1 \right)}{2}-\frac{7-3n}{2}=\frac{7-3n-3-7+3n}{2}=-\frac{3}{2}\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có \[{{u}_{1}}=2\] và \[d=-\frac{3}{2}\]
Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
.png)
Lời giải
Bài 3 (trang 97 SGK Đại số 11):
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \[{{u}_{1}},n,d,{{u}_{n}},S\]
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
.png)
Lời giải
a.Có thể sử dụng các công thức:
un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2
\[{{S}_{n}}=\frac{n({{u}_{1}}+{{u}_{n}})}{2}\Leftrightarrow {{S}_{n}}=n.{{u}_{1}}+\frac{n(n-1)}{2}.d\]
b. Điền vào bảng
Bài 4 (trang 98 SGK Đại số 11): Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.
a. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân.
b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Lời giải:
a. Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m.
=> n bậc thang cao 0,18.n (m)
Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân sẽ là:
hn = (0, 5 + 0, 18n) (m)
b.Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:
h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)
Bài 5 (trang 98 SGK Đại số 11): Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu có chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng tiếng giờ?
Lời giải:
Số tiếng chuông của đồng hồ theo giờ từ 0 đến 12 giờ là một cấp số cộng hữu hạn u1, u2,…, u12 trong đó un với n = 1, 2, …, 12 với số hạng đầu tiên u1 = 1, công sai d = 1.
Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:
\[S=1+2+3+...+12=\frac{(1+12).12}{2}=78\](tiếng)
Vậy đồng hồ đánh 78 tiếng chuông.