Bài 1 (trang 168 SGK Đại số 11): Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a) \[y=\frac{x-1}{5x-2}\]
b) \[y=\frac{2x+3}{7-3x}\]
c) \[y=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{3-4x}\]
d) \[y=\frac{{{x}^{2}}+7x+3}{{{x}^{2}}-3x}\]
Lời giải
a) \[{y}'=\frac{{{\left( x-1 \right)}^{\prime }}.\left( 5x-2 \right)-\left( x-1 \right).{{\left( 5x-2 \right)}^{\prime }}}{{{\left( 5x-2 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{(5x-2)-\left( x-1 \right).5}{{{\left( 5x-2 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{3}{{{\left( 5x-2 \right)}^{2}}}\]
b) \[{y}'=\frac{{{\left( 2x+3 \right)}^{\prime }}.\left( 7-3x \right)-\left( 2x+3 \right).{{\left( 7-3x \right)}^{\prime }}}{{{\left( 7-3x \right)}^{2}}}=\frac{23}{{{\left( 7-3x \right)}^{2}}}\]
c) \[{y}'=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}^{\prime }}.\left( 3-4x \right)-\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right).{{\left( 3-4x \right)}^{\prime }}}{{{\left( 3-4x \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{\left( 2x+2 \right).\left( 3-4x \right)-\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right).(-4)}{{{(3-4x)}^{2}}}\]
\[=\frac{-2(2{{x}^{2}}-3x-9)}{{{(3-4x)}^{2}}}\]
\[d)y=\frac{{{x}^{2}}+7x+3}{{{x}^{2}}-3x}\]
\[\Rightarrow {y}'=\frac{\left( 2x+7 \right)\left( {{x}^{2}}-3x \right)-\left( {{x}^{2}}+7x+3 \right)\left( 2x-3 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]
\[{y}'=\frac{2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+7{{x}^{2}}-21x-2{{x}^{3}}-14{{x}^{2}}-6x+3{{x}^{2}}+21x+9}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]
\[{y}'=\frac{-10{{x}^{2}}-6x+9}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]
Bài 2 (trang 168 SGK Đại số 11):Giải các bất phương trình sau:
a) \[y'<0\] với \[\frac{{{x}^{2}}+x+2}{x-1}\]
b) \[y'\ge 0\] với \[y=\frac{{{x}^{2}}+3}{x+1}\]
c) \[y'>0\] với \[y=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}+x+4}\]
Lời giải
a) Ta có \[{y}'=\frac{({{x}^{2}}+x+2{)}'.(x-1)-({{x}^{2}}+x+2).(x-1{)}'}{{{(x-1)}^{2}}}\]\[=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{(x-1)}^{2}}}\]
Do đó, \[{y}'<0\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{(x-1)}^{2}}}<0\]
.png)
b) Ta có \[{y}'=\frac{({{x}^{2}}+3{)}'.(x+1)-({{x}^{2}}+3).(x+1{)}'}{{{(x+1)}^{2}}}\] \[=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}}\]
Do đó, \[{y}'\ge 0\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}}\ge 0\]
.png)
\[\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-3]\mathop{\cup }^{}[1;+\infty )\]
c) Ta có \[{y}'=\frac{(2x-1{)}'.({{x}^{2}}+x+4)-(2x-1).({{x}^{2}}+x+4{)}'}{({{x}^{2}}+x+4)}=\frac{-2{{x}^{2}}+2x+9}{({{x}^{2}}+x+4)}\]
Do đó, \[{y}'>0\Leftrightarrow \frac{-2{{x}^{2}}+2x+9}{({{x}^{2}}+x+4)}>0\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+2x+9>0\]
\[\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2}
Bài 3 (trang 168 SGK Đại số 11): Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\[a)y=5\sin x-3\cos x\]
\[b)y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\]
\[c)y=x\cot x\]\[c)y=x\cot x\]
\[d)y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}\]
\[e)y=\sqrt{1+2\tan x}\]
\[f)y=\sin \sqrt{1+{{x}^{2}}}\]
Lời giải
a) \[y'=5cosx-3\left( -sinx \right)=5cosx+3sinx\]
b) \[{y}'=\frac{{{(sinx+cosx)}^{\prime }}.(sinx-cosx)-(sinx+cosx){{(sinx-cosx)}^{\prime }}}{{{(sinx-cosx)}^{2}}}\]
\[=\frac{-2}{{{(sinx-cosx)}^{2}}}\]
c) \[{y}'=cotx+x.\left( -\frac{1}{si{{n}^{2}}x} \right)=cotx-\frac{x}{si{{n}^{2}}x}\]
d) \[{y}'=\frac{{{(sinx)}^{\prime }}.x-sinx.{{(x)}^{\prime }}}{{{x}^{2}}}+\frac{{{(x)}^{\prime }}.sinx-x{{(sinx)}^{\prime }}}{si{{n}^{2}}x}\]
\[=\frac{x.cosx-sinx}{{{x}^{2}}}+\frac{sinx-x.cosx}{si{{n}^{2}}x}\]
\[=\frac{x.cosx-sinx}{{{x}^{2}}}-\frac{x.cosx-sinx}{si{{n}^{2}}x}\]
\[=(x.cosx-sinx)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{si{{n}^{2}}x} \right)\]
e) \[{y}'=\frac{{{(1+2tanx)}^{\prime }}}{2\sqrt{1+2tanx}}\]
\[=\frac{\frac{2}{co{{s}^{2}}x}}{2\sqrt{1+2tanx}}\]
\[=\frac{1}{co{{s}^{2}}x\sqrt{1+2tanx}}\]
f) \[{y}'={{(\sqrt{1+{{x}^{2}}})}^{\prime }}cos\sqrt{(1+{{x}^{2}})}\]
\[=\frac{{{(1+{{x}^{2}})}^{\prime }}}{2\sqrt{1+{{x}^{2}}}}cos\sqrt{(1+{{x}^{2}})}\]
\[=\frac{2x}{2\sqrt{1+{{x}^{2}}}}cos\sqrt{(1+{{x}^{2}})}\]
\[=\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}cos\sqrt{(1+{{x}^{2}})}\]
Bài 4 (trang 168 SGK Đại số 11): Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\[a)y=\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)\]
\[b)y=\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 7x-3 \right)\]
\[c)y=\left( x-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}\]
\[d)y={{\tan }^{2}}x-\cot {{x}^{2}}\]
\[e)y=\cos \frac{x}{1+x}\]
Lời giải
\[a)y=\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)\]
\[{y}'={{\left( 9-2x \right)}^{\prime }}(2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1)+\left( 9-2x \right){{(2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1)}^{\prime }}\]
\[=-4{{x}^{3}}+18{{x}^{2}}-2+54{{x}^{2}}-162x-12{{x}^{3}}+36{{x}^{2}}\]
\[=-16{{x}^{3}}+108{{x}^{2}}-162x-2\]
\[b)y=\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 7x-3 \right)\]
\[{y}'={{\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}.(7x-3)+\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right){{(7x-3)}^{\prime }}\]
\[=63\sqrt{x}-\frac{9}{\sqrt{x}}+\frac{7}{{{x}^{2}}}-\frac{6}{{{x}^{3}}}\]
\[c)y=\left( x-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}\]
\[{y}'={{(x-2)}^{\prime }}\sqrt{({{x}^{2}}+1)}+(x-2){{\sqrt{({{x}^{2}}+1)}}^{\prime }}\]
\[=\sqrt{({{x}^{2}}+1)}+\frac{{{x}^{2}}-2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\]
\[=\frac{2{{x}^{2}}-2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\]
\[d)y={{\tan }^{2}}x-\cot {{x}^{2}}\]
\[{y}'=2tanx.{{(tanx)}^{\prime }}-{{({{x}^{2}})}^{\prime }}\left( -\frac{1}{si{{n}^{2}}{{x}^{2}}} \right)=\frac{2tanx}{co{{s}^{2}}x}+\frac{2x}{si{{n}^{2}}{{x}^{2}}}\]
\[e)y=\cos \frac{x}{1+x}\]
\[{y}'={{\left( \frac{1}{1+x} \right)}^{\prime }}sin\frac{x}{1+x}=-\frac{1}{{{(1+x)}^{2}}}sin\frac{x}{1+x}\]
Bài 5 (trang 169 SGK Đại số 11): Tính \[\frac{{f}'(1)}{{\varphi }'(1)}\] biết rằng \[f(x)={{x}^{2}}\] và \[\varphi (x)=4x+sin\frac{\pi x}{2}\]
Lời giải
Ta có: \[{f}'\left( x \right)=2x\Rightarrow {f}'\left( 1 \right)=2\]
\[{\varphi }'\left( x \right)=4+\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi x}{2}\Rightarrow {\varphi }'\left( 1 \right)=4\]
\[\Rightarrow \frac{{f}'\left( 1 \right)}{{\varphi }'\left( 1 \right)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
Bài 6 (trang 169 SGK Đại số 11):Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a) \[{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\]
b) \[{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}+x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}-x \right)\]\[+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}+x \right)-2{{\sin }^{2}}x\]
Lời giải
a) Ta có:
\[{y}'=6{{\sin }^{5}}x.\cos x-6{{\cos }^{5}}x.\sin x+6\sin x.{{\cos }^{3}}x-6{{\sin }^{3}}x.\cos x\]
\[=-6{{\sin }^{3}}x.{{\cos }^{3}}x+6{{\sin }^{3}}x.{{\cos }^{3}}x=0\]
Vậy y′=0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.
b)
\[y=\frac{1+\cos \left( \frac{2\pi }{3}-2x \right)}{2}+\frac{1+\cos \left( \frac{2\pi }{3}+2x \right)}{2}+\frac{1+\cos \left( \frac{4\pi }{3}-2x \right)}{2}\]\[+\frac{1+\cos \left( \frac{4\pi }{3}+2x \right)}{2}-2{{\sin }^{2}}x\]
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được \[y'=\sin 2x+\sin 2x-2\sin 2x=0\]
Vậy y′=0 với mọi xx, do đó y′ không phụ thuộc vào x.
Bài 7 (trang 169 SGK Đại số 11): Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng:
a) \[f(x)=3\cos x+4\sin x+5x\]
b) \[f(x)=1-\sin (\pi +x)+2\cos \left( \frac{2\pi +x}{2} \right)\]
Lời giải
a) \[{f}'(x)=-3\sin x+4\cos x+5\]
Do đó \[f\prime (x)=0\Leftrightarrow -3sinx+4cosx+5=0\]
\[\Leftrightarrow 3sinx-4cosx=5\]
\[\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x-\frac{4}{5}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }cosx=1\] (1)
Đặt \[\cos \varphi =\frac{3}{5}\] \[\left( \varphi \in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \right)\Rightarrow \sin \varphi =\frac{4}{5}\], ta có:
(1) \[\Leftrightarrow \sin x.\cos \varphi -\cos x.\sin \varphi =1\Leftrightarrow \sin (x-\varphi )=1\]
\[\Leftrightarrow x-\varphi =\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\varphi +\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\]
b) \[{f}'(x)=-\cos (\pi +x)-\sin \left( \pi +\frac{x}{2} \right)=\cos x+\sin \frac{x}{2}\]
\[f\prime (x)=0\Leftrightarrow cosx+sinx2=0\Leftrightarrow sinx2=-cosx\]
Bài 8 (trang 169 SGK Đại số 11): Giải bất phương trình f'(x) > g'(x), biết rằng :
a) \[f(x)={{x}^{3}}+x-\sqrt{2}\], \[g(x)=3{{x}^{2}}+x+\sqrt{2}\]
b) \[f(x)=2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\sqrt{3}\], \[g(x)={{x}^{3}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}-\sqrt{3}\]
Lời giải
a) Ta có \[{f}'(x)=3{{x}^{2}}+1\], \[g'\left( x \right)\text{ }=\text{ }6x\text{ }+\text{ }1\]
\[\Rightarrow {f}'(x)>{g}'(x)\]
\[\Rightarrow 3{{x}^{2}}+1>6x+1\]
\[\Leftrightarrow 3x(x-2)>0\]
.png)
\[x\text{ }\in ~\left( -\infty ;0 \right)\text{ }\cup ~\left( 2;+\infty \right)\]
b) Ta có \[{f}'(x)=6{{x}^{2}}-2x\], \[{g}'(x)=3{{x}^{2}}+x\]
\[{f}'(x)>{g}'(x)\]
\[\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-2x>3{{x}^{2}}+x\]
.png)
\[x~\in ~\left( -\infty ;0 \right)~\cup ~\left( 1;+\infty \right)\]