Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11): Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
a) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{{{2}^{n}}-1}\] b) \[{{u}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}-1}{{{2}^{n}}+1}\]
c) \[{{u}_{n}}={{(1+\frac{1}{n})}^{n}}\] d) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}\]
Lời giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số là:
\[{{u}_{1}}=1\], \[{{u}_{2}}=\frac{2}{3}\], \[{{u}_{3}}=\frac{3}{7};{{u}_{4}}=\frac{4}{15};{{u}_{5}}=\frac{5}{31}\]
b) Năm số hạng đầu của dãy số là : \[{{u}_{1}}=\frac{1}{3},{{u}_{2}}=\frac{3}{5};{{u}_{3}}=\frac{7}{9};{{u}_{4}}=\frac{15}{17};{{u}_{5}}=\frac{31}{33}\]
c) Năm số hạng đầu của dãy số là
\[{{u}_{1}}=2\], \[{{u}_{2}}=\frac{9}{4};{{u}_{3}}=\frac{64}{27};{{u}_{4}}=\frac{625}{256};{{u}_{5}}=\frac{7776}{3125}\]
d) Năm số hạng đầu của dãy số là
\[{{u}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2}};{{u}_{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}};{{u}_{3}}=\frac{3}{\sqrt{10}};\] \[{{u}_{4}}=\frac{4}{\sqrt{17}};{{u}_{5}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\]
Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11): Cho dãy số Un , biết: u1 = -1; un+1 = un +3 với n ≥ 1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n -4.
Lời giải:
a) Từ u1 = -1 ta tìm được u2 = 2, lần lượt như vậy ta tìm được u3, u4, u5 có giá trị là 5, 8, 11.
b) Ta thấy,với n =1 thì u1 = 3.1 - 4 = -1.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1 => uk = 3k -4.
Xét với n = k +1 ta có:
uk+1 = uk + 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4 = 3n - 4 (đpcm)
Vậy hệ thức đúng với mọi n \[\in \] N*
Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11): Dãy số un cho bởi: u1 = 3; \[{{u}_{n+1}}=\sqrt{1+u_{n}^{2}},n\ge 1\]
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
Lời giải:
a) Từ u1 = 3 ta tìm được \[{{u}_{1}}=3;{{u}_{2}}=\sqrt{10};{{u}_{3}}=\sqrt{11};{{u}_{4}}=\sqrt{12};{{u}_{5}}=\sqrt{13}\]
b) Từ các kết quả của câu a ta dự đoạn công thức của dãy số như sau:
\[{{u}_{n}}=\sqrt{n+8}\](*)
Chứng minh.
Ta thấy, với n = 1 thì công thức (*) đúng.
Giả sử đúng với n = k ≥ 1, thì \[{{u}_{k}}=\sqrt{k+8}\]
Xét với n = k + 1, ta có:
uk+1 = \[\sqrt{1+u_{k}^{2}}=\sqrt{1+{{(\sqrt{k+8})}^{2}}}=\sqrt{(k+1)+8}\]\[=\sqrt{n+8}\] (đpcm)
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:
a) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n}-2\] b) \[{{u}_{n}}=\frac{n-1}{n+1}\]
c) \[{{u}_{n}}={{(-1)}^{n}}({{2}^{n}}+1)\] d) \[{{u}_{n}}=\frac{2n+1}{5n+2}\]
Lời giải:
a) Xét hiệu
\[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{n+1}-2-\left( \frac{1}{n}-2 \right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\]
Vì \[n+1>n\Rightarrow \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}\Rightarrow \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}<0\]
\[\Rightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}<0\forall n\in N*\]
=> dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Xét hiệu \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\]
=\[\frac{{{n}^{2}}+n-{{n}^{2}}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\]
\[\Rightarrow {{u}_{n}}+1>{{u}_{n}}\forall n\in N\]
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu có thừa số (−1)n (dãy đan dấu) là dãy số không tăng và cũng không giảm.
Vì:
+ \[{{(-1)}^{n}}>0\] nếu n chẵn, do đó \[{{u}_{n}}>0\]
+ \[{{(-1)}^{n}}<0\] nếu n lẻ, do đó \[{{u}_{n}}<0\]
d) Xét thương \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}\] (vì \[{{u}_{n}}>0\] với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]) rồi so sánh với 1.
Ta có \[\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5n+2}{2n+1}=\frac{10{{n}^{2}}+19n+6}{10{{n}^{2}}+19n+7}<1\]ới mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\]
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.
Bài 5 (trang 92 SGK Đại số 11): Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?
a) un = 2n2 -1;
b) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n(n+2)}\]
c) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{2{{n}^{2}}-1}\]
d) un=sinn+cosn
Lời giải:
a. un = 2n2 – 1
Ta có: n ≥ 1
<=> n2 ≥ 1 <=> 2n2 ≥ 2 <=> 2n2 -1≥1
Hay un ≤ 1
=> dãy (un) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.
Nhưng (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa:
un = 2n2 – 1 ≤ M ∀n ∈N*.
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.
b) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n(n+2)}\]
a thấy: un > 0 với mọi n ∈ N*.
Ta có: n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3 => \[\frac{1}{n(n+2)}\le \frac{1}{3}\]
\[\Rightarrow 0<{{u}_{n~}}~\le \frac{1}{3}\] với mọi n ∈ N*.=>dãy số bị chặn.
c) \[{{u}_{n}}=\frac{1}{2{{n}^{2}}-1}\]
Ta có: 2n2 - 1 > 0 => \[\frac{1}{2{{n}^{2}}-1}>0\]
mà 2n2 - 1≥ 1 => \[{{u}_{n}}=\frac{1}{2{{n}^{2}}-1}<1\]
=> 0 < un ≤ 1, với mọi n \[\in \] N* => Dãy số bị chặn.
d) un=sinn+cosn
Ta có:
\[\sin n+\cos n=\sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin n+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos n \right)\]
\[=\sqrt{2}\sin \left( n+\frac{\pi }{4} \right)\]
\[\Rightarrow -\sqrt{2}\le \sin n+\cos n\le \sqrt{2}\forall n\in {{N}^{*}}\]
Vậy \[-\sqrt{2}\le {{u}_{n}}\le \sqrt{2}\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] tức là dãy số là dãy bị chặn.