Bài 1 (trang 162 SGK Đại số 11): Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a. y = 7 + x – x2 tại xo = 1
b. y = x3 – 2x + 1 tại xo = 2.
Lời giải:
a) Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0=1. Ta có:
\[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y=f\left( 1+\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x \right)-f\left( 1 \right)\]
\[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y=7+\left( 1+\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x \right)-{{\left( 1+\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x \right)}^{2}}-7\]
\[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y=1+\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x-1-2\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x+\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{x}^{2}}\]
\[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y=\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{x}^{2}}-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x\]
\[\Rightarrow \frac{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x}=\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x-1\]
\[\Rightarrow \underset{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x}=\underset{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x-1 \right)=-1\]
Vậy \[{f}'(1)=-1\]
b) Giả sử Δx là số gia của số đối tại x0=2. Ta có:
\[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y=f\left( 2+\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x \right)-f\left( 2 \right)\]
\[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y={{\left( 2+\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x \right)}^{3}}-2\left( 2+\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x \right)+1-5\]
\[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y=8+12\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x+6\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{x}^{2}}+\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{x}^{3}}-4-2\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x-4\]
\[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y=\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{x}^{3}}+6\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{x}^{2}}+10\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x\]
\[\Rightarrow \frac{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x}=\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{x}^{2}}+6\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x+10\]
\[\Rightarrow \underset{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }y}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x}=\underset{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{x}^{2}}+6\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x+10 \right)=10\]
Vậy \[{f}'(2)=10\]
Bài 2 (trang 163 SGK Đại số 11): Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
- \[y={{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+2x-3\]
- \[y=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+{{x}^{2}}-0,5{{x}^{4}}\]
- \[y=\frac{{{x}^{4}}}{2}-\frac{2{{x}^{3}}}{3}+\frac{4{{x}^{2}}}{5}-1\]
- \[y=3{{x}^{5}}(8-3{{x}^{2}})\]
Lời giải:
a) \[{y}'=5{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}+2\]
b) \[{y}'=-\frac{1}{3}+2x-2{{x}^{3}}\]
c) \[{y}'=2{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\frac{8x}{5}\]
d) \[y=24{{x}^{5}}-9{{x}^{7}}\Rightarrow {y}'=120{{x}^{4}}-63{{x}^{6}}\]
Bài 3 (trang 163 SGK Đại số 11): Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a) \[y={{({{x}^{7}}-5{{x}^{2}})}^{3}}\]
b) \[y=({{x}^{2}}+1)(5-3{{x}^{2}})\]
c) \[y=\frac{2x}{{{x}^{2}}-1}\]
d) \[y=\frac{3-5x}{{{x}^{2}}-x+1}\]
e) \[y={{\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right)}^{3}}\] (m,n là các hằng số).
Lời giải:
a) \[{y}'=3.{{({{x}^{7}}-5{{x}^{2}})}^{2}}.{{({{x}^{7}}-5{{x}^{2}})}^{\prime }}\]
\[=3.{{({{x}^{7}}-5{{x}^{2}})}^{2}}.(7{{x}^{6}}-10x)\]
\[=3{{x}^{5}}.{{({{x}^{5}}-5)}^{2}}(7{{x}^{5}}-10)\]
b) \[y=5{{x}^{2}}-3{{x}^{4}}+5-3{{x}^{2}}\]
\[{y}'=-12{{x}^{3}}+4x=-4x.(3{{x}^{2}}-1)\]
c) \[{y}'=\frac{{{\left( 2x \right)}^{\prime }}.\left( {{x}^{2}}-1 \right)-2x{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{2.\left( {{x}^{2}}-1 \right)-2x.2x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{-2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\]
d) \[{y}'=\frac{{{\left( 3-5x \right)}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( 3-5x \right).{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{-5\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( 3-5x \right).\left( 2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{5{{x}^{2}}-6x-2}{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}}\]
e) \[{y}'=3.{{\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}.{{\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}\]
\[=-\frac{6n}{{{x}^{3}}}.{{\left( m+\frac{n}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}\]
Bài 4 (trang 163 SGK Đại số 11): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
- \[y={{x}^{2}}-x\sqrt{x}+1\]
- \[y=\sqrt{(2-5x-{{x}^{2}})}\]
- \[y=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\] ( a là hằng số);
- \[y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\]
Lời giải:
a) \[{y}'=2x-[{x}'\sqrt{x}+x{{(\sqrt{x})}^{\prime }}]=2x-\left( \sqrt{x}+x.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)=2x-\frac{3}{2}\sqrt{x}\]
b) \[{y}'=\frac{{{\left( 2-5x-{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{2.\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}}=\frac{-5-2x}{2\sqrt{2-5x-{{x}^{2}}}}\]
c) \[{y}'=\frac{{{({{x}^{3}})}^{\prime }}.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-{{x}^{3}}.\left( \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\]\[=\frac{{{x}^{2}}\left( 3{{a}^{2}}-2{{x}^{2}} \right)}{\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}\]
d) \[{y}'=\frac{{{\left( 1+x \right)}^{\prime }}.\sqrt{1-x}-\left( 1+x \right).{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{\prime }}}{1-x}\]\[=\frac{\sqrt{1-x}-\left( 1+x \right)\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}\]\[=\frac{2\left( 1-x \right)+1+x}{2\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}}\]
\[=\frac{3-x}{2\left( 1-x \right)\sqrt{1-x}}\]
Bài 5 (trang 163 SGK Đại số 11): Cho y=x3-3x2+2. Tìm x để:
a. y' > 0
b. y' < 3
Lời giải:
Ta có: \[{y}'=3{{x}^{2}}-6x\]
a) \[{y}'>0\Rightarrow 3{{x}^{2}}-6x>0\Leftrightarrow 3x(x-2)>0\]
Vậy x>2hoặc x<0.
b) \[{y}'<3\Rightarrow 3{{x}^{2}}-6x-3<0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-1<0\]
\[\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}
Vậy \[x\in \left( 1-\sqrt{2};1+\sqrt{2} \right)\]