Bài 1: Trang 34 - sgk hình học 11
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF.
a) Qua phép tịnh tiến theo \[\overrightarrow{AB}\]
b) Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE
c) Qua phép quay tâm O góc 120∘
Lời giải
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{AB}\] thì tam giác AOF thành tam giác BCO.
b) Qua phép đối xứng qua đường thẳng BE thì tam giác AOF thành tam giác DOC.
c) Qua phép quay tâm O góc 1200 thì tam giác AOF thành tam giác EOD.
Bài 2: Trang 34 - sgk hình học 11
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y+ 1= 0. Tìm ảnh của A và d
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\vec{v}\] = (2;1)
b) Qua phép đối xứng qua trục Oy
c) Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ
d) Qua phép quay tâm O góc 90∘
Lời giải
Gọi A' và d' theo thứ tự là ảnh của A và d qua phép biến hình trên
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\vec{v}\] = (2;1)
- \[A'=\left( -1+2;\text{ }2+1 \right)=\left( 1;3 \right)\]
- d // d', nên d có phương trình : 3x +y + C = 0. A' thuộc d => 3.1 +3 + C = 0. Suy ra C = -6 => phương trình của d' là \[3x\text{ }+\text{ }y-\text{ }6\text{ }=\text{ }0\]
b) Qua phép đối xứng qua trục Oy
- A (-1;2) và B(0;-1) thuộc d thành A'(1;2) và B'(0;-1).
- d' là đường thẳng A'B' có phương trình :
\[\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{-3}\] hay 3x - y - 1 =0
c) Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ
- A (-1 ; 2 ) thành A'=( 1;-2)
- d' có phương trình 3x + y -1 =0
d) Qua phép quay tâm O góc 90∘,
- A biến thành A'( -2; -1), B biến thành B'(1;0).
- d' là đường thẳng A'B' có phương trình
\[\frac{x-1}{-3}=\frac{y}{-1}\] hay x- 3y - 1 = 0
Bài 3: Trang 34 - sgk hình học 11
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3;-2), bán kính 3
a) Viết phương trình của đường tròn đó
b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I;3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2;1)
c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I;3) qua phép đối xứng qua trục Ox
d) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I;3) qua phép đối xứng qua gốc tọa độ
Lời giải
Gọi I' là ảnh của I qua phép biến hình nói trên
a) Phương trình của đường tròn (I;3) là \[{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9\]
b) Qua phép tính tiến \[{{T}_{{\vec{v}}}}\] thì (I) = I' (1;-1), bán kính giữ nguyên
=>phương trình đường tròn tâm I' là : \[{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=9\]
c) Qua phép đối xứng \[{{D}_{Ox}}\] (I) = I'(3;2), bán kính giữ nguyên.
=>phương trình đường tròn tâm I' là: \[{{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=9\]
d) Qua phép đối xứng \[{{D}_{O}}\] (I) = I'( -3;2), bán kính giữ nguyên.
=> phương trình đường tròn ảnh: \[{{(x+3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=9\]
Bài 4: Trang 34 - sgk hình học 11
Cho vectơ \[\vec{v}\] , đường thẳng d vuông góc với giá của vectơ \[\vec{v}\] . Gọi d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \[\frac{1}{2}\vec{v}\] . Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ \[\vec{v}\] là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d'
Lời giải
Lấy M tùy ý. Gọi Dd(M) = M', Dd′ (M') = M''. Ta có
\[\overrightarrow{M{M}''}=\overrightarrow{M{M}'}+\overrightarrow{{M}'{M}''}=\overrightarrow{{{M}_{0}}{M}'}+2\overrightarrow{{M}'{{M}_{1}}}=2\overrightarrow{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}=2\frac{{\vec{v}}}{2}=\vec{v}\]
Vậy M'' = Tv (M) = Dd′ (Dd(M)), với mọi M (đpcm)
Bài 5: Trang 35 - sgk hình học 11
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B, tỉ số 2.
Lời giải
Phép đối xứng qua đường thẳng IJ (ĐIJ)
- biến A thành B;
- biến E thành F ;
- biến O thành O ;
=> ∆AEO thành ∆BFO
Phép vị tự tâm B có tỉ số = 2 (V(B, 2))
- biến B thành C,
- biến F thành C,
- biến O thành D
=>∆BFO thành ∆BCD.
Vậy phép đồng dạng có được biến ∆AEO thành ∆BCD.
Bài 6: Trang 35 - sgk hình học 11
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(1; -3), bán kính 2. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox.
Lời giải
- Qua phép vị tự tâm O tỉ số bằng 3 ta được \[\overrightarrow{OJ}=3\overrightarrow{OI}\]=>Tọa độ J (3;-9)
- Bán kính R' = 3R = 3. 2 = 6
Qua phép đối xứng trục Ox
- Biến J (3;-9) thành J'(3;9)
- Bán kính giữ nguyên
=>Phương trình của đường tròn (J'; 6) là: (x – 3 )2 + (y – 9 )2 = 36
Bài 7: Trang 35 - sgk hình học 11
Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định.
Lời giải
Do MABN là hình bình hành
=> N là ảnh của M qua phép tịnh tiến TAB
=>Khi M di động trên (O) thì N di động trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến TAB