.PNG)
Giải bài 1 trang 132 SGK Đại số và Giải tích 11. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) \[\underset{x\to 4}{\mathop{lim}}\,\frac{x+1}{3x-2}\]
b) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}\]
Lời giải
a) Hàm số \[f(x)=\frac{x+1}{3x-2}\] xác định trên \[\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{2}{3} \right\}\] và ta có \[x=4\in \left( \frac{2}{3};+\infty \right)\]
Giả sử \[({{x}_{n}})\] là dãy số bất kì và \[{{x}_{n}}\in \left( \frac{2}{3};+\infty \right)\] ; \[{{x}_{n}}\ne 4\] và \[{{x}_{n}}\to 4\] khi \[n\to +\infty \]
Ta có \[\lim f({{x}_{n}})=\lim \frac{{{x}_{n}}+1}{3{{x}_{n}}-2}=\frac{4+1}{3.4-2}=\frac{1}{2}\]
Vậy \[\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{3x-2}=\frac{1}{2}\]
b) Hàm số \[f(x)=\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}\] xác định trên R.
Giả sử \[({{x}_{n}})\] là dãy số bất kì và \[{{x}_{n}}\to +\infty \] khi \[n\to +\infty \]
Ta có \[\lim f({{x}_{n}})=\lim \frac{2-5x_{n}^{2}}{x_{n}^{2}+3}=\lim \frac{\frac{2}{x_{n}^{2}}-5}{1+\frac{3}{x_{n}^{2}}}=-5\]
Vậy \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}\]=-5
Giải bài 2 trang 132 SGK Đại số và Giải tích 11. Cho hàm số
.png)
Và các dãy số \[({{u}_{n}})\] với \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n}\] \[({{v}_{n}})\] với \[{{v}_{n}}=-\frac{1}{n}\]
Tính limun, limvn, limf(un), limf(vn).
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x → 0?
Lời giải:
.png)
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn khi x → 0
Giải bài 3 trang 132 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính các giới hạn sau:
a) \[\underset{x\to -3}{\mathop{lim}}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}\] b) \[\underset{x\to -2}{\mathop{lim}}\,\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}\]
c) \[\underset{x\to -6}{\mathop{lim}}\,\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}\] d) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{2x-6}{4-x}\]
e) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{17}{{{x}^{2}}+1}\] f) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{-2{{x}^{2}}+x-1}{3+x}\]
Lời giải
a) \[\underset{x\to -3}{\mathop{lim}}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}\]=\[\frac{{{(-3)}^{2}}-1}{-3+1}=-4\]
b) \[\underset{x\to -2}{\mathop{lim}}\,\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}\]= \[\underset{x\to -2}{\mathop{lim}}\,(2-x)=4\]
c) \[\underset{x\to -6}{\mathop{lim}}\,\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}\] = \[\underset{x\to 6}{\mathop{lim}}\,\frac{(\sqrt{x+3}-3)(\sqrt{x+3}+3)}{(x-6)(\sqrt{x+3}+3)}\]
= \[\underset{x\to 6}{\mathop{lim}}\,\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}=\frac{1}{6}\]
d) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{2x-6}{4-x}\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{2-\frac{6}{x}}{\frac{4}{x}-1}=-2\]
e) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{17}{{{x}^{2}}+1}\] =0
f) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{-2{{x}^{2}}+x-1}{3+x}\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{-2+\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x}}=-\infty \]
Giải bài 4 trang 132 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính các giới hạn sau:
a) \[\underset{x\to 2}{\mathop{lim}}\,\frac{3x-5}{{{(x-2)}^{2}}}\]
b) \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{lim}}\,\frac{2x-7}{x-1}\]
c) \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{lim}}\,\frac{2x-7}{x-1}\]
Lời giải
a) Ta có \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,{{(x-2)}^{2}}=0\] và \[{{(x-2)}^{2}}>0\] với \[\forall x\ne 2\] và \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,(3x-5)=3.2-5=1>0\]
Do đó \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-5}{{{(x-2)}^{2}}}=+\infty \]
b) Ta có \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(x-1)=0\] và x-1<0 với mọi x và \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x-7)=2.1-7=-5<0\]
Do đó \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}=+\infty \]
c) Ta có \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x-1)=0\] và x-1>0 và \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(2x-7)=2.1-7=-5<0\]
Do đó \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{lim}}\,\frac{2x-7}{x-1}=-\infty \]
Giải bài 5 trang 133 SGK Đại số và Giải tích 11. Cho hàm số \[f(x)=\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}\] có đồ thị như trên hình 53.
.png)
a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \[x\to -\infty \], \[x\to {{3}^{-}}\], \[x\to -{{3}^{+}}\]
b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\] với \[f(x)\] được xét trên khoảng \[(-\infty ;-3)\]
\[\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\] với \[f(x)\] được xét trên khoảng \[(-3,3)\]
\[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{lim}}\,f(x)\] với \[f(x)\] được xét trên khoảng \[(-3;3)\]
Lời giải
Quan sát đồ thị ta thấy \[x\to -\infty \] thì \[f(x)\to 0\] ; khi \[x\to {{3}^{-}}\] thì \[f(x)\to -\infty \]; khi \[x\to -{{3}^{+}}\] thì \[f(x)\to +\infty \]
b) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{9}{{{x}^{2}}}}=0\]
\[\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{lim}}\,f(x)=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{lim}}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{lim}}\,\frac{x+2}{x+3}.\frac{1}{x-3}=-\infty \]
\[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{lim}}\,f(x)=\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{lim}}\,f(x)\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}=+\infty \]
Giải bài 6 trang 133 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính:
\[a)\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{x}^{4}}-{{x}^{2}}+x-1)\]
\[b)\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5)\]
\[c)\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5})\]
\[d)\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}{5-2x}\]
Lời giải
\[a)\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{x}^{4}}-{{x}^{2}}+x-1)\]
\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)\]
Vì \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}=+\infty \] (giới hạn đặc biệt của hàm số)
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}-\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)=1>0\]
Giá trị (+) nhân (+) sẽ bằng (+)
\[b)\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5)\]
\[=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( -2+\frac{1}{x}-\frac{5}{{{x}^{2}}} \right)\]
\[=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}.\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2+\frac{1}{x}-\frac{5}{{{x}^{2}}} \right)=+\infty \]
c) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5})=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,|x|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{5}{{{x}^{2}}}}=+\infty \]
\[d)\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}{5-2x}\]
\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+1 \right)}{5-2x}\]
\[=\frac{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+1 \right)}{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5}{x}-2}\]
\[=\frac{1+1}{-2}=-1\]
Giải bài 7 trang 133 SGK Đại số và Giải tích 11. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và ảnh A'B' của nó tới quang tâm O của thấu kính (hình dưới).
.png)
a) Tìm biểu thức xác định hàm số \[{d}'=\varphi (d)\]
b) Tìm \[\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi (d)\] ; \[\underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi (d)\] và \[\underset{d\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\varphi (d)\]. Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.
Lời giải
a) Từ hệ thức \[\frac{1}{d}+\frac{1}{{{d}'}}=\frac{1}{f}.\] suy ra \[{d}'=\varphi (d)=\frac{fd}{d-f}\]
b)
\[+)\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{fd}{d-f}\]
\[\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( fd \right)={{f}^{2}}>0\]
\[\underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( d-f \right)=0;d\to {{f}^{+}}\Rightarrow d>f\Rightarrow d-f>0\]
\[\Rightarrow \underset{d\to {{f}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\varphi \left( d \right)=+\infty \]
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.
+ \[\underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{lim}}\,f(d)=\underset{d\to {{f}^{-}}}{\mathop{lim}}\,\frac{fd}{d-f}=-\infty \]
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực.
+ \[\underset{d\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\varphi (d)=\underset{d\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{fd}{d-f}=\underset{d\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\frac{f}{1-\frac{f}{d}}=f\]
Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F' và vuông góc với trục chính).