Bài 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:
a) (a + 2b)5
b) (a - √2)6;
c) \[{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{13}}\]
Lời giải
a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:\[{{(a+2b)}^{5}}={{a}^{5}}+5{{a}^{4}}(2b)+10{{a}^{3}}{{(2b)}^{2}}+10{{a}^{2}}{{(2b)}^{3}}+5a{{(2b)}^{4}}+(2b)\]
\[={{a}^{5}}+10{{a}^{4}}b+40{{a}^{3}}{{b}^{2}}+80{{a}^{2}}{{b}^{3}}+80a{{b}^{4}}+32{{b}^{5}}^{5}\]
b) Dựa vào tam giác Pa-xcan ta có:
\[{{(a-\sqrt{2})}^{6}}={{(a+(-\sqrt{2}))}^{6}}\]
\[={{a}^{6}}+6{{a}^{5}}(-\sqrt{2})+15{{a}^{4}}{{(-\sqrt{2})}^{2}}+20{{a}^{3}}{{(-\sqrt{2})}^{3}}\]
\[+15{{a}^{2}}{{(-\sqrt{2})}^{4}}+6a{{(-\sqrt{2})}^{5}}+{{(-\sqrt{2})}^{6}}\]
\[={{a}^{6}}-6(-\sqrt{2}){{a}^{5}}+30{{a}^{4}}-40(-\sqrt{2}){{a}^{3}}+60{{a}^{2}}-24(-\sqrt{2})a+8.\]
c) Dựa vào công thức của nhị thức Niu - tơn ta có:
.png)
Nhận xét: Trong trường hợp số mũ nn khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.
Câu 2: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: \[{{\left( x+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}\]
Lời giải
.png)
Trong tổng này, số hạng .png)
có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi: 
Do đó hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là: \[C_{6}^{1}{{.2}^{1}}=2.6=12\]
Câu 3: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 - 3x)n là 90. Tìm n.
Lời giải
Dựa vào nhị thức Niu - tơn ta có:.png)
Suy ra hệ số của x2 trong khai triển này là \[C_{n}^{2}{{.1}^{n-2}}.{{\left( -3 \right)}^{2}}\] . Theo giả thiết, ta có:
32C2n = 90 => C2n = 10
\[\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n-2)!}=10\Leftrightarrow n(n-1)=20\]
Câu 4: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \[~{{({{x}^{3}}~+\frac{~1}{x})}^{8}}\]
Lời giải
Ta có: .png)
Trong tổng .png)
số hạng không chứa x khi và chỉ khi 
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là C68 = 28.
Câu 5: Trang 57 - sgk đại số và giải tích 11
Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Lời giải
Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)17 bằng: f(1) = (3 – 4)17= (– 1)17 = -1.
Câu 6: Trang 58 - sgk đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng:
a) 1110 – 1 chia hết cho 100;
b) 101100– 1 chia hết cho 10 000;
c) \[\sqrt{10}[(1+\sqrt{10})100\text{ - }(1-\sqrt{10})100]\] là một số nguyên
Lời giải
a) \[{{11}^{10}}-1={{\left( 1+10 \right)}^{10}}-1=(1+C_{10}^{1}.10+C_{10}^{2}{{.10}^{2}}\]
\[+...+C_{10}^{9}{{.10}^{9}}+{{10}^{10}})-1\]
\[={{10}^{2}}+{{C}^{2}}_{10}{{10}^{2}}+\ldots +{{C}^{9}}_{10}{{10}^{9}}+{{10}^{10}}\]
Tổng sau cùng chia hết cho 100, vậy nên 1110 – 1 chia hết cho 100.
b) Ta có
101100 – 1 = (1 + 100)100 - 1
= (1 + C1100 100 + C2100 1002 + …+C99100 10099 + 100100) – 1.
= 1002 + C21001002 + …+ C9910010099 + 100100.
= 1002 (1 + C2100 + …+ C9910010097 + 10098). (2)
Ta thấy tổng (2) chia hết cho 100 000, vậy nên 101100 – 1 chia hết cho 100 000.
c) Ta có
\[{{(1+\sqrt{10})}^{100}}=1+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}+...\]\[+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}}+{{\left( \sqrt{10} \right)}^{100}}\]
\[{{(1-\sqrt{10})}^{100}}=1-C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}-...\]\[-C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}}+{{\left( \sqrt{10} \right)}^{100}}\]
\[\sqrt{10}\left[ {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}} \right]\] =
\[2\sqrt{10}.\left[ C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+..+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}} \right]\]
\[=2\left( C_{100}^{1}.10+C_{100}^{3}{{.10}^{2}}+...+C_{100}^{99}{{.10}^{50}} \right)\]
Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \[\sqrt{10}[{{(1+10)}^{100}}{{(1-\sqrt{10})}^{100}}]\] là một số nguyên.