Giải bài 1 trang 174 SGK Đại số và Giải tích 11.
- Cho \[f(x)={{(x+10)}^{6}}\]. Tính \[f''(2)\]
- Cho \[f(x)=\sin 3x\]. Tính \[f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)\], \[f''(0)\], \[f''\left( \frac{\pi }{18} \right)\]
Lời giải
a) Ta có:
\[{f}'(x)=6(x+10{)}'.{{(x+10)}^{5}}=6.{{(x+10)}^{5}}\]
\[f''(x)=6.5{{(x+10)}^{\prime }}.{{(x+10)}^{4}}=30.{{(x+10)}^{4}}\]
\[\Rightarrow {f}''(2)=30.{{(2+10)}^{4}}=622080\]
b) Ta có
\[{f}'(x)={{(3x)}^{\prime }}.\cos 3x=3\cos 3x\]
\[f''(x)=3.[-{{(3x)}^{\prime }}.\sin 3x]=-9\sin 3x\]
\[\Rightarrow f\text{''}\left( -\frac{\pi }{2} \right)=-9\sin \left( -\frac{3\pi }{2} \right)=-9\]
\[\Rightarrow f\text{''}(0)=-9sin0=0\]
\[\Rightarrow f\text{''}\left( \frac{\pi }{18} \right)=-9\sin \left( \frac{\pi }{6} \right)=-\frac{9}{2}\]
Giải bài 2 trang 174 SGK Đại số và Giải tích 11.
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \[y=\frac{1}{1-x}\]
b) \[y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\]
c) \[y=\tan x\]
d) \[y={{\cos }^{2}}x\]
Lời giải
a) \[{y}'=\frac{{1}'.(1-x)-1.{{(1-x)}^{\prime }}}{{{(1-x)}^{2}}}=-\frac{{{(1-x)}^{\prime }}}{{{(1-x)}^{2}}}=\frac{1}{{{(1-x)}^{2}}}\]
\[y\text{''}=-\frac{{{[{{(1-x)}^{2}}]}^{\prime }}}{{{(1-x)}^{4}}}=-\frac{2.(-1)(1-x)}{{{(1-x)}^{4}}}=\frac{2}{{{(1-x)}^{3}}}\]
b) \[{y}'=-\frac{{{(\sqrt{1-x})}^{\prime }}}{1-x}=\frac{1}{2\sqrt{1-x}(1-x)}\]
\[y\text{''}=-\frac{1}{2}\frac{{{[(1-x)\sqrt{1-x}]}^{\prime }}}{{{(1-x)}^{3}}}\]
\[=-\frac{1}{2}\frac{-\sqrt{1-x}+(1-x)\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{{{(1-x)}^{3}}}\]
\[=\frac{3}{4{{(1-x)}^{2}}\sqrt{1-x}}\]
c) \[{y}'=\frac{1}{co{{s}^{2}}x}\]
\[y\text{''}=-\frac{{{(co{{s}^{2}}x)}^{\prime }}}{co{{s}^{4}}x}=\frac{2cosx.sinx}{co{{s}^{4}}x}=\frac{2sinx}{co{{s}^{3}}x}\]
d) \[y'=\text{ }2cosx.\left( cosx \right)'=2cosx.\left( -sinx \right)=-\text{ }2sinx.cosx=-sin2x\]
\[y''\text{ }=\text{ }-\left( 2x \right)'.cos2x\text{ }=\text{ }-2cos2x\]