Bài 1: Trang 53 - sgk hình học 11
Cho điểm A không nằm trong mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. Lấy E,F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC
a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC)
b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF)
Lời giải
a) Theo giả thiết, ta có E ∈ AB và F ∈ AC
mà 3 điểm A,B, C tạo thành mặt phẳng (ABC)
=> E, F ∈ (ABC) => EF ⊂ (ABC) (đpcm)
b) Do EF ⊂ (ABC) (cmt)
mà I ∈ EF => I ∈ ( DEF) (đpcm)
Bài 2: Trang 53 - sgk hình học 11
Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α). Chứng minh M là điểm chung của (α) với một mặt phẳng bất kì chứa d.
Lời giải
Gọi (β) là mặt phẳng bất kì chứa d, ta có :
M ∈ d mà d ∈ (β) => M ∈ (β)
Mặt khác, M là giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (α ) => M ∈ (α )
Vậy M là điểm chung của (α ) và mọi mặt phẳng (β) chứa d
Bài 3: Trang 53 - sgk hình học 11
Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Lời giải
Gọi I = d1 ∩ d2
Mặt phẳng là mặt phẳng tạo bởi d1 và d3
Mặt phẳng là mặt phẳng tạo bởi d2 và d3
Ta có:
- I ∈ d1 => I ∈ (β)
- I ∈ d2 => I ∈ (ɣ)
=> I ∈ d3 (đpcm)
Bài 4: Trang 53 - sgk hình học 11
Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng qui.
Lời giải
Gọi M là trung điểm của CD.
Ta có \[{{G}_{A}}\in BM,{{G}_{B}}\subset AM\]. Gọi \[I=A{{G}_{A}}\cap B{{G}_{B}}\]
Dễ thấy \[\frac{M{{G}_{A}}}{MB}=\frac{M{{G}_{B}}}{MA}=\frac{1}{3}\]
=> GA GB // AB và \[\frac{IA}{I{{G}_{A}}}=\frac{AB}{{{G}_{A}}{{G}_{B}}}=3\]
Tương tự, ta có CGC,DGD cũng cắt AGA tại I', I''
từ đó suy ra \[\frac{{I}'A}{{I}'{{G}_{A}}}=3\], \[\frac{{I}''A}{{I}''{{G}_{A}}}=3\]
=> I ≡ I' ≡ I''
=> GA,GB,GC,GD đồng quy (đpcm)
Bài 5: Trang 53 - sgk hình học 11
Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm đoạn SC.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.
Lời giải
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
a) Trong mặt phẳng (α) vì AB và CD không song song nên AB ∩ DC = E
Trong (SDC) đường thẳng ME cắt SD tại N
=> N ∈ ME mà ME ⊂ (MAB)=> N ∈ ( MAB).
Mặt khác N ∈ SD => N = SD ∩ (MAB)
b) O là giao điểm của AC và BD => O ∈( SAC) , O ∈ (SBD)
Mặt khác S cũng là điểm chung của (SAC) và (SBD) => (SAC) ∩ (SBD) = SO
Trong mặt phẳng (AEN) gọi I = AM ∩ BN => I ∈ AM và I ∈ BN
Mà AM ⊂ (SAC) => I ∈ (SAC), BN ⊂ ( SBD) => I ∈ (SBD).
=> I là điểm chung của (SAC) và (SBD) => I ∈ SO => S, I, O thẳng hàng hay SO, AM, BN đồng quy. (đpcm)
Bài 6: Trang 53 - sgk hình học 11
Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).
Lời giải
a) Ta có : \[\frac{BN}{CD}=\frac{1}{2}\ne \frac{BP}{DB}=\frac{2}{3}\]
=>NP và CD không song song với nhau.
Gọi I là giao của NP và CD
=>I ∈ NP => I ∈ (MNP) mà I ∈ CD
Vậy I ∈ CD ∩ (MNP)
b) Gọi J = AD ∩ MI
J ∈ AD => J ∈ (ACD)
J ∈ MI => J ∈ (MNP)
=> J là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).
Mặt khác ta có M là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).
Vậy MJ = (ACD) ∩ (MNP).
Bài 7: Trang 54 - sgk hình học 11
Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)
b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN)
Lời giải
a) K ∈ BC => K ∈ (IBC)
I ∈ AD => I ∈ (KAD)
mà K ∈ (KAD) và I ∈ (IBC)
=> KI = (IBC) ∩ (KAD)
b) Ta có trong mặt phẳng (ABD):
BI ∩ DM = F => F ∈ (IBC) ∩ (DMN)
CI ∩ DN = E => E ∈ (IBC) ∩ (DMN)
Vậy (IBC) ∩ (DMN) = FE
Bài 8: Trang 54 - sgk hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD.
a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của hia mặt phẳng (PMN) và BC.
Lời giải
.png)
a) Trong mặt phẳng (ABD) ta có MP ∩ BD = E.
E ∈ MP => E ∈ (PMN)
E ∈ BD => E ∈ (BCD)
=> E ∈ (PMN) ∩ (BCD)
Vậy EN = (PMN) ∩ (BCD)
b) Trong mặt phẳng (BCD) :
EN ∩ BC = Q. Mà (PMN) ≡ (MEN) ≡ (MEQ)
Q ∈ (MEQ) ≡ ( PMN)
Mặt khác Q ∈ BC => Q = BC ∩ (PMN).
Bài 9: Trang 54 - sgk hình học 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C' là một điểm nằm trên cạnh SC
a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C'AE)
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C'AE)
Lời giải
.png)
a) Trong mặt phẳng (ABCD) có d cắt CD tại M:
=>M ∈ CD và M ∈ d
mà d ⊂ (C’AE)
=> M ∈ (C’AE)
Vậy M là giao điểm của CD và mặt phẳng (C’AE).
b) Trong mặt phẳng (SCD), MC’ cắt SD tại F.
=> F ∈ C'M mà C'M ⊂ (C’AE)
=> F ∈ (C’AE)
Mặt khác F ∈ SD
=> thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(C’AE) là tứ giác AFC’E.
Bài 10: Trang 54 - sgk hình học 11
Cho hình chóp S. ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC)
d) Tìm giao điểm P của SC và mặt pẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM)
Lời giải
a) Gọi N là giao điểm của SM và CD:
=> N ∈ SM mà SM ⊂ (SBM) => N ∈ (SBM)
Vậy N = CD ∩ (SBM).
b) Trong mặt phẳng (ABCD), BN và AC cắt nhau tại điểm O.
O ∈ BN => O ∈ (SBM)
O ∈ AC=> O ∈ (SAC)
=>O là một điểm chung của mặt phẳng (SBM) và (SAC).
Mặt khác ta cũng có S cũng là một điểm chung của (SBM) và (SAC).
=>SO = (SBM) ∩ (SAC).
c) Trong mặt phẳng (SBM) ta có I = BM ∩ SO
Ta có: I ∈ SO => I ∈ (SAC).
Vậy I = BM ∩ (SAC).
d) Trong mặt phẳng (SAC), P = AI ∩ SC ,
=> P ∈ SC và P ∈ AI.
=>P ∈ (ABM) hay P = (ABM) ∩ SC.
Trong mặt phẳng (SCD), PM ∩ SD = Q,
=> Q ∈ SD; Q ∈ PM => PM ∈ (ABM)
=>Q ∈ (BM) hay Q = (ABM) ∩ SD.
Vậy: (SCD) ∩ (ABM) = PQ.