Bài 1 (trang 121 SGK Đại số 11): Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).
Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.
a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un)
b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6 g.
Lời giải
a) Ta có: \[{{u}_{1}}=\frac{1}{2}\] ; \[{{u}_{2}}=\frac{1}{4}\] và \[{{u}_{3}}=\frac{1}{8}\]
Từ đó ta dự đoán công thức \[{{u}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}\] \[\forall n\ge 1\]
Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.
Hiển nhiên công thức trên đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với mọi \[k\ge 1\], tức là có \[{{u}_{k}}=\frac{1}{{{2}^{k}}}\], ta chứng minh công thức đó đúng với mọi n=k+1, tức là cần chứng minh: \[{{u}_{k+1}}=\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]
Ta có \[{{u}_{k+1}}=\frac{{{u}_{k}}}{2}=\frac{1}{{{2}^{k}}}:2=\frac{1}{{{2}^{k}}}.\frac{1}{2}=\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]
Vậy \[{{u}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}\forall n\in {{N}^{*}}\]
b)
\[\lim {{u}_{n}}=\lim {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}=0\]
c)
Đổi \[{{10}^{-6}}g=\frac{1}{{{10}^{6}}}.\frac{1}{{{10}^{3}}}kg=\frac{1}{{{10}^{9}}}kg\]
Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để \[{{u}_{n}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}<\frac{1}{{{10}^{9}}}\Leftrightarrow {{2}^{n}}>{{10}^{9}}\Leftrightarrow n\ge 30\]
Nói cách khác, sau chu kì thứ 3030 (nghĩa là sau 30.24000=720000 (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.
Bài 2 (trang 121 SGK Đại số 11): Biết dãy số \[({{u}_{n}})\] thỏa mãn \[|{{u}_{n}}-1|<\frac{1}{{{n}^{3}}}\]với mọi n. Chứng minh rằng \[\lim {{u}_{n}}=1\]
Lời giải
Ta có
Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11): Tìm các giới hạn sau:
a) \[\lim \frac{6n-1}{3n+2}\] b) \[\lim \frac{3{{n}^{2}}+n-5}{2{{n}^{2}}+1}\]
c) \[\lim \frac{{{3}^{n}}+{{5.4}^{n}}}{{{4}^{n}}+{{2}^{n}}}\] d) \[\lim \frac{\sqrt{9{{n}^{2}}-n+1}}{4n-2}\]
Lời giải
a) \[\lim \frac{6n-1}{3n+2}=\lim \frac{6-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}\]\[=\frac{6}{3}=2\]
b) \[\lim \frac{3{{n}^{2}}+n-5}{2{{n}^{2}}+1}=\lim \frac{3+\frac{1}{n}-\frac{5}{{{n}^{2}}}}{2+\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\frac{3}{2}\]
c) \[\lim \frac{{{3}^{n}}+{{5.4}^{n}}}{{{4}^{n}}+{{2}^{n}}}=\lim \frac{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{n}}+5}{1+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}=\frac{5}{1}=\text{ }5.\]
d) \[\lim \frac{\sqrt{9{{n}^{2}}-n+1}}{4n-2}\]=\[\lim \frac{\sqrt{{{n}^{2}}\left( 9-\frac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}}{n(4-\frac{2}{n})}\]=\[\lim \frac{\sqrt{9-\frac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}}}}{4-\frac{2}{n}}\]=\[\frac{3}{4}\]
Bài 4 (trang 122 SGK Đại số 11): Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.
a. Gọi un là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un
b. Tính lim Sn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un
Lời giải:
a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng \[\frac{1}{2}\] nên \[{{u}_{1}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\]
Hình vuông thứ hai có cạnh bằng \[\frac{1}{4}\] nên \[{{u}_{2}}={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{4}^{2}}}\]
Tương tự \[{{u}_{3}}={{\left( \frac{1}{8} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{4}^{3}}}\]
Tương tự, ta có \[{{u}_{n}}=\frac{1}{{{4}^{n}}}\]
b) Dãy số \[({{u}_{n}})\] là một cặp số nhân lùi vô hạn với \[{{u}_{1}}=\frac{1}{4}\] và \[q=\frac{1}{4}\]. Do đó \[\lim {{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\]
Bài 5 (trang 122 SGK Đại số 11): Tính tổng:
\[S=-1+\frac{1}{10}-\frac{1}{{{10}^{2}}}+...+\frac{{{(-1)}^{n}}}{{{10}^{n-1}}}+...\]
Lời giải
Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với \[{{u}_{1}}=-1\] và \[q=-\frac{1}{10}\]
Vậy \[S=-1+\frac{1}{10}-\frac{1}{{{10}^{2}}}+...+\frac{{{(-1)}^{n}}}{{{10}^{n-1}}}+...=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\]
\[=\frac{-1}{1-(-\frac{1}{10})}=\frac{-10}{11}\]
Bài 6 (trang 122 SGK Đại số 11): Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202…(chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số:
Lời giải:
Ta có \[a=1,020020...=1+\frac{2}{100}+\frac{2}{{{100}^{2}}}+...+\frac{2}{{{100}^{n}}}+...\]
Vì \[\frac{2}{100}\]; \[\frac{2}{{{100}^{2}}}\],...,\[\frac{2}{{{100}^{n}}}\];... là một cấp số nhân lùi vô hạn có: \[{{u}_{1}}=\frac{2}{100}\],\[q=\frac{1}{100}\]
\[\Rightarrow a=1+\frac{\frac{2}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1+\frac{2}{99}=\frac{101}{99}.\]
Bài 7 (trang 122 SGK Đại số 11): Tính các giới hạn sau:
a) \[\lim ({{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-n+1)\]
b) \[\lim (-{{n}^{2}}+5n-2)\]
c) \[\lim (\sqrt{{{n}^{2}}-n}-n)\]
d) \[\lim (\sqrt{{{n}^{2}}-n}+n)\]
Lời giải
\[a)\lim \left( {{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-n+1 \right)\]
\[=\lim {{n}^{3}}\left( 1+\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right)\]
\[\lim {{n}^{3}}=+\infty ;\lim \left( 1+\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right)=1>0\]
\[\Rightarrow \lim \left( {{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-n+1 \right)=+\infty \]
b) \[\lim (-{{n}^{2}}+5n-2)=\lim -{{n}^{2}}(1-\frac{5}{n}+\frac{2}{{{n}^{2}}})=-\infty \]
c) \[\lim (\sqrt{{{n}^{2}}-n}-n)=\lim \frac{(\sqrt{{{n}^{2}}-n}-n)(\sqrt{{{n}^{2}}-n}+n)}{\sqrt{{{n}^{2}}-n}+n}\]
\[=\lim \frac{{{n}^{2}}-n-{{n}^{2}}}{\sqrt{{{n}^{2}}-n}+n}\]
\[=\lim \frac{-n}{\sqrt{{{n}^{2}}\left( 1-\frac{1}{n} \right)}+n}\]
\[=\lim \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}\]
\[=\frac{-1}{1+1}=\frac{-1}{2}\]
d) \[\lim (\sqrt{{{n}^{2}}-n}+n)=\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}\left( 1-\frac{1}{n} \right)}+n \right)\]
\[=\lim n.\left( \sqrt{1-\frac{1}{n}}+1 \right)=+\infty \]
Bài 8 (trang 122 SGK Đại số 11): Cho hai dãy số (un) và (nn). Biết lim un = 3, lim vn = + ∞. Tính các giới hạn:
a) \[\lim \frac{3{{u}_{n}}-1}{{{u}_{n}}+1};\]
b) \[\lim \frac{{{v}_{n}}+2}{v_{n}^{2}-1}\]
Lời giải:
a) \[\lim \frac{3{{u}_{n}}-1}{{{u}_{n}}+1}=\frac{3.3-1}{3+1}=2\]
b) \[\lim \frac{{{v}_{n}}+2}{v_{n}^{2}-1}=\frac{\frac{1}{{{v}_{n}}}+\frac{2}{v_{n}^{2}}}{1-\frac{1}{v_{n}^{2}}}=0\]