Bài 1 (trang 40 SGK Đại số 11):
a. Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b. Hàm số y = tan(x+ π/5) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?
Lời giải:
a.y= f(x) = cos3x là hàm số chẵn vì:
+ TXĐ: D = R
+ ∀x∈ D ta có: - x ∈ D
+ Xét: f(-x) = cos(-3x) = cos3x = f(x)∀ x∈ D
b) Ta có: \[y=f(x)=\tan \left( x+\frac{\pi }{5} \right)\] có tập xác định là \[D=R\setminus \left\{ \frac{3\pi }{10}+k\pi ,k\in Z \right\}\]
Mặt khác \[\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\] thì \[f(-x)=tan(-x+\frac{\pi }{5})\ne -tan(x+\frac{\pi }{5})=-f(x)\]
Nên y = tan(x+ π/5) không là hàm số lẻ.
Bài 2 (trang 40 SGK Đại số 11): Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn[-3π/2 ; 2π] để hàm số đó:
a. Nhận giá trị bằng -1
b. Nhận giá trị âm
Lời giải:
Đồ thị hàm số y = sinx:
a. Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy trên đoạn [-3π/2; 2π], để hàm số y = sinx nhận giá trị bằng -1 thì x = -/2 và x = 3/2
b. Đồ thị hàm số y = sinx nhận giá trị âm trên đoạn [-3π/2 ; 2π] trong các khoảng (- π, 0) và (π, 2π)
Bài 3 (trang 41 SGK Đại số 11): Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
\[a)y=\sqrt{2\left( 1+\cos x \right)}+1\]
\[b)y=3\sin \left( x-\frac{\pi }{6} \right)-2\]
Lời giải
a) Ta có:
\[-1\le \cos x\le 1,\forall x\in \mathbb{R}\]
\[\Leftrightarrow 0\le 1+\cos x\le 2\Leftrightarrow 0\le 2(1+\cos x)\le 4\]
\[\Leftrightarrow 1\le \sqrt{2(1+\cos x}+1\le 3\]
Dấu “ = “ xảy ra \[\Leftrightarrow cosx=1\Leftrightarrow x=k2\pi (k\in Z)\]
Vậy \[{{y}_{max}}=3\] khi \[x=k2\pi \]
b) Ta có:
Với mọi x∈R
\[\sin (x-\frac{\pi }{6})\le 1\]
\[\Leftrightarrow 3\sin (x-\frac{\pi }{6})\le 3\Leftrightarrow 3\sin (x-\frac{\pi }{6})-2\le 1\]
\[\Leftrightarrow y\le 1\]
Vậy \[{{y}_{max}}=1\] \[\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{6} \right)=1\]
\[\Leftrightarrow x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \left( k\in Z \right)\]
Bài 4 (trang 41 SGK Đại số 11): Giải phương trình sau:
a) \[\sin (x+1)=\frac{2}{3}\]
b) \[{{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\]
c) \[{{\cot }^{2}}\frac{x}{2}=\frac{1}{3}\]
d) \[\tan (\frac{\pi }{12}+12x)=-\sqrt{3}\]
Lời giải
a) Ta có:
\[sin(x+1)=\frac{2}{3}\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x=-1+\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi ;\] hoặc \[x=-1+\pi -arcsin\frac{2}{3}+k2\pi (k\in Z)\]
b) Ta có:
\[{{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1}{2}\]
\[\Leftrightarrow \cos 4x=0\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left( k\in Z \right)\]
c) Ta có:
\[(1)\Leftrightarrow \cot \frac{x}{2}=\cot \frac{\pi }{3}\Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+k\pi \]
\[\Leftrightarrow x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in z\]
\[(2)\Leftrightarrow \cot \frac{x}{2}=\cot (-\frac{\pi }{3})\Leftrightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi }{3}+k\pi \]
\[\Leftrightarrow x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;k\in Z\]
d) \[\tan (\frac{\pi }{12}+12x)=-\sqrt{3}\]
\[an(\frac{\pi }{12}+12x)=-\sqrt{3}\Leftrightarrow \tan (\frac{\pi }{12}+12\pi )=\tan (\frac{-\pi }{3})\text{ }\]
\[\Leftrightarrow \frac{\pi }{12}+12=\frac{-\pi }{3}+k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{5\pi }{144}+k\frac{\pi }{12},k\in Z\text{ }\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \[x=\frac{-5\pi }{144}+\frac{k\pi }{12},k\in \mathbb{Z}\]
Bài 5 (trang 41 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
b. 25sin2x + 15sin2x + 9cos2x = 25
c. 2sinx + cosx = 1
d. sinx + 1,5cotx = 0
Lời giải:
a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)
Đặt t = cosx với điều kiện – 1 ≤ t ≤ 1
(1) 2t2 – 3t + 1 = 0.png)
- Với t = 1 =>cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z
- Với \[t=\frac{1}{2}\]
\[\cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}\]
\[\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in z\text{ }\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \[x=k2\pi ,x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\]
b) Ta có:
\[25si{{n}^{2}}x+15sin2x+9co{{s}^{2}}x=25\]
\[\Leftrightarrow 25(1-co{{s}^{2}}x)+30sinxcosx+9co{{s}^{2}}x=25\]
\[\Leftrightarrow -25co{{s}^{2}}x+30sinxcosx+9co{{s}^{2}}x=0\]
\[\Leftrightarrow -16co{{s}^{2}}x+30sinxcosx=0\]
\[\Leftrightarrow -2\cos x(8\cos x-15\sin x)=0\]
c. 2sinx + cosx = 1 (3)
Chia cả hai vế của (3) cho \[\sqrt{5}\] ta được:
\[\frac{2}{\sqrt{5}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{5}}\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}\] (*)
Do \[{{(\frac{2}{\sqrt{5}})}^{2}}+{{(\frac{1}{\sqrt{5}})}^{2}}=1\] nên gọi α là góc thỏa mãn:
\[\sin \alpha \text{sinx}+\cos \alpha \cos x=\cos x\]
\[\Leftrightarrow x-\alpha =\pm \alpha +k2\pi \]
Vậy nghiệm của phương trình là: \[x=2\alpha +k2\pi ;x=k2\pi \] \[(k\in Z)\]
d. sinx + 1,5cotx = 0
Đk: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z.
\[\sin x+\frac{3}{2}.\frac{\cos x}{\sin x}\Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x+3\cos x=0\]
\[\Leftrightarrow 2(1-{{\cos }^{2}}x)+3\cos x=0\text{ }\]
\[\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-3\cos x-2=0\](*)
Đặt t = cosx với -1 < t < 1.
Khi đó, phương trình (*) trở thành:
\[2{{t}^{2}}-3t-2=0\]
Với \[t=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \left( k\in Z \right)\]
Bài 6 (trang 41 SGK Đại số 11): Phương trình cos x = sin x có số nghiệm thuộc đoạn [- π; π] là:
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
Lời giải:
Ta có: sinx = cosx <=> tanx = 1 (cos x ≠ 0 ) <=> x = π/4 + kπ (k ∈ Z)
Họ nghiệm x = π/4 + kπ có hai nghiệm thuộc đoạn [- π; π] tương ứng với k = - 1 và k = 1.
Vậy chọn đáp án A.
Bài 7 (trang 41 SGK Đại số 11): Phương trình \[\frac{\cos 4x}{\cos 2x}=\tan 2x\] có số nghiệm thuộc khoảng \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\] là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải
Điều kiện: \[cos2x\ne 0\Leftrightarrow sin2x\ne \pm 1\]
Ta có: \[\frac{\cos 4x}{\cos 2x}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\Rightarrow \cos 4x=\sin 2x\]
\[\Leftrightarrow 1-2si{{n}^{2}}2x=sin2x\]
\[\Leftrightarrow 2si{{n}^{2}}2x+\sin 2x-1=0\]
Ta có:
\[\sin 2x=\frac{1}{2}\]
Ta lại có: \[x\in (0,\frac{\pi }{2})\]
\[x=\frac{\pi }{12}+k\pi :0<\frac{\pi }{12}+k\pi <\frac{\pi }{2}\]
\[\Leftrightarrow 0<\frac{1}{12}+k<\frac{1}{2}\]
\[\Leftrightarrow -\frac{1}{12}
\[x=\frac{5\pi }{12}+l\pi :0<\frac{5\pi }{12}+l\pi <\frac{\pi }{2}\]
\[\Leftrightarrow -\frac{5}{12}
Vậy phương trình có đúng 22 nghiệm thuộc khoảng \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]
Bài 8 (trang 41 SGK Đại số 11): Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x + sin 2x = cos x + 2 cos2x là:
A. \[\frac{\pi }{6}\] B. \[\frac{2\pi }{3}\] C. \[\frac{\pi }{4}\] D. \[\frac{\pi }{3}\]
Lời giải
Ta có: sin x + sin2x = cosx + 2cos2x
<=>sin x + 2sinxcosx = cosx(1 + 2cosx)
<=>sinx (1+2cosx) = cosx(1 + 2cosx)
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : \[x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}\]
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \[x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}\]
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \[x=\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}\]
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \[x=\frac{\pi }{4}\]
Chọn đáp án C.
Bài 9 (trang 41 SGK Đại số 11): Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan22x + 5 tanx + 3 = 0 là:
- \[\frac{-\pi }{3}\] B. \[\frac{-\pi }{4}\] C. \[\frac{-\pi }{6}\] D. \[\frac{-5\pi }{6}\]
Lời giải
Ta có: 2tan2x + 5 tanx + 3 = 0
.png)
Nghiệm âm lớn nhất là \[x=-\frac{\pi }{4}\]
Chọn đáp án B.
Bài 10 (trang 41 SGK Hình học 11): Phương trình 2tanx – 2cox – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng(-π/2 ; π) là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
2tanx – 2cotx – 3 = 0 (1)
\[\Leftrightarrow 2tanx-\frac{2}{tanx}-3=0\]
\[\Rightarrow 2ta{{n}^{2}}x-3tanx-2=0\]
Vẽ đường tròn lượng giác với giá trị \[tanx=2\], \[\tan x=\frac{-1}{2}\] ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng .
Chọn đáp án C.